试触法判断电流表内外接的物理依据

摘" "要：待测电阻未知时，试触法是判断电流表采用内接或外接的重要方法，通过比较电压相对变化量和电流相对变化量的大小判断电流表采用内接或外接。利用比较内接法和外接法的相对误差为这一判断方法找到理论依据，论证了电压相对变化量大于电流相对变化量等价于外接相对误差小于内接相对误差。

关键词：试触法；内接法；外接法；相对误差；电表内阻

中图分类号：G633.7 文献标识码：A " " 文章编号：1003-6148（2025）1-0075-3

伏安法是测量电阻的重要方法，由于电压表和电流表均有内阻，测量值不等于电阻的真实值，测量存在误差。电流表有内接和外接两种方式，电流表的接法是电学实验的重点考查内容。当待测阻值未知时，常采用试触法决定电流表的连接方式。各种教辅资料对试触法均有详细的解释，但缺少对试触法可行性的定量分析。以下从比较相对误差的角度说明试触法的物理原理，为试触法的使用找寻物理依据。

1" " 判断内、外接的方法

电压表内阻为RV，电流表内阻为RA，待测电阻阻值为Rx。若知道待测电阻Rx的估计值，Rxgt;，使用电流表内接法；Rxlt;，使用电流表外接法。比较电流表内接和外接的相对误差大小，并应用RAlt;lt;RV（对于磁电式电表，该条件成立），可以得到上述判断公式［1-2］。

若待测电阻估计值未知，采用试触法选择电流表的连接方式，如图 1所示。将电压表一端的导线空出，接在a点时，电压表示数为U1，电流表示数为I1；接在b点时，电压表示数为U2，电流表示数为I2。电压表示数变化明显，选择外接法；电流表示数变化明显，选择内接法。电压表示数变化明显，即电流表的分压作用明显，表明电流表内阻RA较大，因此选择外接法。电流表示数变化明显，即电压表的分流作用显著，表明电压表内阻不是足够大，故选择内接法［3］。如何判断哪一个电表的示数变化更显著？比较电压和电流的相对变化，即比较和。若gt;，采用外接法；若lt;，采用内接法［4］。比较电表示数的相对变化定量解决了变化显著的问题，但需要注意分母中的U和I是内接还是外接时的电压值和电流值。文献［5］从内外接绝对误差相等推理得到R=R（R+R），让gt;且分母中的U和I取内接时的电压值和电流值，也推理得到R=R（R+R）。但如果分母取的是外接时的电压值和电流值，无法得到R=R（R+R），认为分母应取内接时的电压值和电流值［5］。

笔者认为，计算电压和电流的相对变化量时，分母取内接对应的电压值和电流值或者取外接对应的电压值和电流值均可。取不同的电压值和电流值，电压或电流的相对变化量数值略有差异，但电压相对变化量和电流相对变化量的大小关系是相同的，对于判断电流表采用哪种接法没有影响。下文通过具体计算论证这一点。

2" " 试触法的物理依据

上述对比较相对变化量判断电流表的内外接的解释是一种定性分析的方法，定性分析不如定量分析严谨、深入。电流表采用内接法或外接法的判断依据是：哪种接法测量值更接近真实值，即相对误差越小，就应选择对应的连接方式。若从gt;能证明外接的相对误差δ小于内接的相对误差δ，就选用外接法。接下来，推理论证上述判断的正确性。

电流表内接时的电阻测量值R=R+R，内接的相对误差为δ==。电流表外接时的电阻测量值R=，外接的相对误差为δ==。由δlt;δ得到

R-RR-RRlt;0（1）

不等式的解为

0lt;Rlt;≈（2）

最后的约等于号用到近似条件RAlt;lt;RV，忽略根号外面的RA和根号里的R。只要（1）式成立，可以逆向推理得到δlt;δ，即δlt;δ⇐⇒" "R-RR-RRlt;0，应选择电流表外接法。

下面证明从gt;可以得到（1）式。

参见图 1电路，将电路接在输出电压为U的恒压源上。电流表内接时，电压表示数为U1=U，电流表示数为I1，U1=I1（R+R）。电流表外接时，电压表示数为U2，电流表示数为I2。由串、并联规律，有U=U=U和=。

电压满足U1gt;U2，电流满足I1lt;I2。

电压相对变化量==1-，电流相对变化量==-1。利用I=和=，得=·

电流相对变化量为=-1=·-1（3）

由gt;，将=1-和（3）式代入，化简得+·lt;2（4）

利用U=U和U=U，得=，代入（4）式，得+=

gt;，即从电压相对变化量大于电流相对变化量可以推理得到外接时电阻的相对误差小于内接时的相对误差。

上述计算中和的分母U和I取的是内接时的电压值和电流值。如果取外接时的电压值和电流值，将得到相同的结果，计算如下。

（6）式左边是关于R的一元三次方程，利用一元三次方程的求根公式判断出有三个实根，并且为两个负根，一个正根。通过一个具体实例说明，取RA=0.1 Ω，RV=160 Ω，用几何画板绘制关于Rx的一元三次函数图像，如图2所示。

图 2中的A、B和C为三个零点，可以看出xBlt;0，xClt;0，xAgt;0。保持RA值不变，增大RV，发现C点向左移动，A点向右移动。利用几何画板的度量功能得到xA=4.15，即0lt;Rxlt;4.15 Ω时，（6）式成立，gt;成立。取RA=0.1 Ω，RV=160 Ω，计算得=4.05 Ωlt;4.15 Ω，二者很接近。将和中的U和I取为电流表内接时的电压值和电流值，根据gt;求解得到的Rx一定满足gt;。无论分母取内接时的电压值和电流值或者取外接时的电压值和电流值，和的大小关系是相同的。

对不等式（6）左边方程做近似处理。利用RAlt;lt;RV，可以认为RV-RA≈RV，R+2RR≈2RR，2RR+RR≈RR。每一项除以RV，（6）式变为

R-2RR-RRRx-RRlt;0（7）

RRV是RA的二阶小量，忽略不计，约去一个Rx，得到

R-2RRx-RRlt;0（8）

（8）式的解为

0lt;Rxlt;R+≈（9）

（9）式最后的约等于号利用了RAlt;lt;RV，R+≈。由gt;和gt;求解得到的Rx的取值范围近似是相同的。因此，在计算电压相对变化量和电流相对变化量时，分母取内接或外接时的电压值和电流值均可。

3" " 结" 论

从比较内外接相对误差的角度定量分析试触法判断电流表内外接的物理依据，证明了电压相对变化量大于电流相对变化量等价于外接的相对误差小于内接的相对误差。在计算电压相对变化量和电流相对变化量时，分母取内接或外接对应的电压值和电流值均可，判断出的电流表连接方式相同。

参考文献：

［1］郭雪鹏.一个常用电流表内外接判断公式的理论依据探讨［J］.物理教学，2018，40（3）：35-36.

［2］李茜.电流表内外接法两种选择的理论依据及等价性探析［J］.中学物理（高中版），2014，32（15）：53-54.

［3］陈清梅，邢红军，朱南.也谈伏安法测电阻时电流表内、外接法的判定条件［J］.大学物理，2007，26（8）：42-43.

［4］何崇荣.用试触法判断电流表内接和外接的依据［J］.中学物理，2011，29（13）：34-36.

［5］谭一伟.电流表内接还是外接——“试触法”释疑［J］.物理通报，2015（8）：38-39.

（栏目编辑" " 蒋小平）