由“动生电动势公式E=Blv的推导过程”引发的思考

摘" "要：从动生电动势产生的微观机理出发，通过界定“扫过的面积”和“回路的面积”，对动生电动势的产生条件以及动生电动势和感应电动势的关系进行再梳理，明确了动生电动势公式E=Blv是感应电动势公式E=的一个特例，从而帮助学生对相关内容实现再认识。

关键词：动生电动势；感应电动势；闭合导线；回路的面积

中图分类号：G633.7 文献标识码：A " " 文章编号：1003-6148（2025）1-0067-3

高中课本上动生电动势公式推导选用的是一个特殊的情境，学生由此推导过程会衍生出一些认识并造成认知冲突，用这些认识处理实际问题就会遇到困难。下面从这些“冲突”和“困难”出发去推理论证，让“认识”更加明晰、透彻。

1" " 课本上动生电动势公式的推导过程

人教版高中物理选择性必修第二册中“法拉第电磁感应定律”一节根据法拉第电磁感应定律推导出动生电动势的表达式，其推导过程如下。

如图1所示，已知磁感应强度为B，线框平面跟磁感线垂直［1］。设线框可动部分导体棒MN的长度为l，它以速度v向右运动，在Δt时间内，由原来位置MN移到M1N1。这个过程线框面积变化量为

ΔS=lvΔt

故穿过闭合电路的磁通量的变化量为

ΔΦ=BΔS=BlvΔt

根据法拉第电磁感应定律E=-，可得感应电动势E=Blv。

由上述推导过程可以得出三点认识：

（1）动生电动势公式E=Blv适用于闭合电路中部分导体做切割磁感线运动的情形；

（2）动生电动势的产生原因是闭合电路“回路的面积”的磁通量发生变化；

（3）动生电动势公式E=Blv是感应电动势公式E=的一个特例，故动生电动势也可以用公式E=计算。

2" " 非闭合回路切割磁感线能产生动生电动势

对于认识（1），动生电动势公式E=Blv适用于闭合电路的部分导体做切割磁感线运动的情形。但是，图2中导体棒没有连接成闭合回路或者说不是闭合导线，没有闭合回路谈磁通量以及磁通量变化也就无意义，那么如何能产生感应电动势，又如何能够用公式E=Blv计算呢？

要弄清上述问题，还必须从产生动生电动势的微观机理去推导其表达式。

如图3所示，当导体棒MN以速度v向右平移时，它里面的电子也随之向右运动。由左手定则知电子受到的洛伦兹力向下并促使自由电子向下运动。所以，电子同时参与两个方向的运动，一边随导体棒向右运动，一边沿导体棒向下运动［2］。随着导体棒向右运动的速度为vx=v，对应的洛伦兹力为fy=evx B=evB；沿着导体棒向下运动的速度为vy，对应的洛伦兹力为fx=evy B。

在导体棒内通过洛伦兹力fy=evB克服静电力不断把电子从M端搬运到N端，从而产生感应电动势。可见，洛伦兹力fy=evB充当了产生动生电动势的非静电力，即F=fy=evB，则单位电荷所受的非静电力= =vB。

由电动势定义E=知，电动势在数值上等于单位电荷受到的非静电力所做的功，即

E=vBdl=vBl=Blv

而所有电子受到fx=eBvy的合力，宏观上即为导体棒受到的安培阻力。从能量的转化和守恒角度来看，产生动生电动势的过程就是通过外力克服安培阻力做功把其他形式的能转化为电能的过程。

由上述推导过程可以明确，非闭合回路的导线切割磁感线运动可以产生动生电动势，即动生电动势的产生不依赖于电路的闭合，只要导线切割磁感线即可。

那么，又如何理解认识（2）中产生动生电动势时的磁通量变化呢？

3" " 产生动生电动势的原因是导体“扫过的面积”磁通量发生变化

在第二种推导中，l是导体棒MN的长度，v是MN在单位时间内移过的距离，故vl是MN在单位时间里“扫过的面积”（图4），亦是单位时间里“扫过的面积”的增加量。于是，Blv便是“扫过的面积”的磁通量在单位时间内的变化量，即磁通量变化率，这与法拉第电磁感应定律一致。

回看第一种推导，“回路的面积”的磁通量变化也等于“扫过的面积”的磁通量变化，它产生动生电动势的条件应理解成：切割磁感线的导体“扫过的面积”的磁通量发生变化。

再从另一方面来说明产生动生电动势的这一条件。如图5所示，闭合线框abcd整体在匀强磁场中向右做切割磁感线运动。

因“回路的面积”的磁通量不变化，所以闭合回路没有感应电动势。若从“扫过的面积”来看，边ab、cd都扫过一定的面积，所以ab、cd两边都产生动生电动势Bl1v，因两电动势反向串联，所以对整个回路来说电动势还是为零。

4" " 动生电动势公式E=Blv是感应电动势公式E=的一个特例

综上，可以把动生电动势公式E=Blv纳入到法拉第电磁感应定律E=的体系中，即动生电动势E=Blv是感应电动势E=的一个特例，动生电动势大小也可以用公式E=计算。

产生动生电动势时磁通量的变化可理解成导体切割磁感线运动“扫过的面积”的磁通量变化，而不一定是“回路的面积”的磁通量变化。只要闭合电路的部分导体或非闭合回路的导线切割磁感线运动“扫过的面积”的磁通量发生改变，无论是平动还是转动，无论电路是否闭合，都会产生动生电动势，都能用公式E=Blv计算，也都一定能用公式E=计算。至此，我们肯定了认识（3）。下面再以实例加以说明。

5" " 用公式E=计算动生电动势实例分析

高中物理中一些用“回路的面积”的磁通量不好解决的问题，用“扫过的面积”的磁通量就很好解决了。

如图6中导体棒转动切割磁感线产生的动生电动势，就可以用导体棒转动过程中“扫过的面积”的磁通量变化率来推导。

导体棒M端的速度

v=ωl

Δt时间导体棒转动扫过的面积

ΔS=vΔtl=ωl2Δt

磁通量的变化量

ΔΦ=BΔS=B·ωl2Δt

由法拉第电磁感应定律有

E==Bωl2

这个推导过程不依赖于“闭合回路”，也没有用动生电动势公式，而是直接用感应电动势公式即可。

再如图7所示，导体棒MN以速度v向右匀速切割磁感线运动。

上述情形用动生电动势公式E=Blv求解很容易理解，用法拉第电磁感应定律E=求解学生就会有疑惑，左边回路磁通量变大，右边回路磁通量变小，怎么理解和列式。但若理解成导体棒MN“扫过的面积”的磁通量变化率问题就迎刃而解了，则E====Blv。

参考文献：

［1］梁灿彬，秦光戎，梁竹健.电磁学［M］.北京：高等教育出版社，1980：363-365.

［2］人民教育出版社，课程教材研究所，物理课程教材研究开发中心.普通高中教科书物理必修第三册［M］.北京：人民教育出版社，2020：31-32.

（栏目编辑" " 蒋小平）