对一道曲率与曲率圆试题的解析与探究

摘"要"本文对温州市普通高中2024届二模一道新定义—“曲率与曲率圆”试题进行分析与解答，提升学生思维品质，并给出一些备考建议，发展学生直观想象、数学运算等数学核心素养

关键词"曲率;曲率圆;解法探究

2024年新高考地区第19题以高等数学或者竞赛试题为背景的，引入了一个新材料和新情景，考生需要通过阅读材料、分析题意，然后进行作答，这对于考生来讲，是一个不小的挑战，值得引起重视.曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通常用曲率来衡量曲线弯曲的程度，它表明曲线偏离直线的程度. 曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大.曲率的倒数就是

曲率半径.近年来，以曲率与曲率圆为背景的新情境试题在各类考试中频繁出现.曲率圆：设曲线C在其上一点P处的曲率K≠0.若过点P作一个半径为ρ=1K的圆，使它在点P处与曲线C有相同的切线，并在点P近旁与曲线位于切线的

同侧（图1）.我们把这个圆称为曲线C在点P处的曲率圆.曲率圆的半径（ρ=1K）和圆心P0称为曲线C在点P处的曲率半径和曲率中心.曲率半径等于最接近该点处曲线的圆弧的半径.

命题1"若曲线由y=f（x）表示，则相应的曲率公式为K=y″1+y′232．

命题2"曲率中心公式：曲线y=f（x）在点x，y处的曲率中心a，b的公式为a=x－y′1+y′2y″，b=y+1+y′2y″.

1.试题呈现

题目"（温州市普通高中2024届二模第19题）如图2，对于曲线Γ，存圆C满足如下条件：

①圆C与曲线Γ有公共点A，且圆心在曲线Γ凹的一侧;

②圆C与曲线Γ在点A处有相同的切线;

③曲线Γ的导函数在点A处的导数（即曲线Γ的二阶导数）等于圆C在点A处的二阶导数（已知圆x－a2+y－b2=r2在点Ax0，y0处的二阶导数等于r2b－y03.

则称圆C为曲线Γ在A点处的曲率圆，其半径r称为曲率半径．

（1）求抛物线y=x2在原点的曲率圆的方程;

（2）求曲线y=1x的曲率半径的最小值;

（3）若曲线y=ex在（x1，ex1）和（x2，ex2）（x1≠x2）处有相同的曲率半径，求证：x1+x2＜－ln2.

2.解法探究

2.1"第（1）题解法探究

解法1 记f（x）=x2，由对称性知，圆心在y轴上，设抛物线y=x2在原点的曲率圆的方程为x2+y－b2=b2，其中r=b.则f′（x）=2x，f″（x）=2，故2=f″0=b2b－03=1b，解得b=r=12，故抛物线y=x2在原点的曲率圆的方程为x2+y－122=14.

评注"由题意可知曲率圆圆心在y轴上，如图3，x为它们的公切线，利用题目所给信息易于求出曲率圆方程.

解法2"（公式法）

r=1K=1+y′232y″|x=0=12，由命题2知a=［x－y′1+y′2］|x=0=0，b=［y+1+y′2］|x=0=0+12=12，故抛物线y=x2在原点的曲率圆的方程为x2+y－122=14.

评注"由命题1与2直接代入公式可求出所求圆的圆心与半径，进而得到曲率圆的方程.

2.2"第（2）问题法探究解法1"（曲率半径+基本不等式） 设曲线y=f（x）在Ax0，y0的曲率半径为r，则f′（x）=－x－2，f″（x）=2x－3，2x30=r2b－y03，－x20b－y0a－x0=－1，解得y0－b=－（r22）13x0，x0－a=－（r22）131x0，由于x0－a2+y0－b2=r2，则r=12x20+1x2032≥122x201x2032=2，当且仅当x20=1x20，即x20=1时取等号，故r≥2，曲线y=1x在点1，1处的曲率半径r=2．

评注 由题目所给信息，推导出了曲率半径r的表达式，考察了学生数学运算的能力，再利用均值不等式求出了曲率半径r的最小值，也可以利用导数求出r的最小值.

解法2"（曲率半径公式）设曲线y=f（x）在Ax0，y0的曲率半径为r，则f′x0=－x－20，f''（x）=2x－30，f′x0y0－bx0－a

=－1，f″x0=r2b－y03，因为x0－a2+y0－b2=r2，所以f′x02+1=r2y0－b2，r2=y0－b2{f′x02+1}，r3=f′x02+132y0－b3=r2f′x02+132f″x0，即r=f′x02+132f″x0，故曲线y=1x在点x0，y0处的曲率半径r=－1x202+132÷2x30，所以r2=14x20+1x203≥2，则r=12x20+1x2032≥2，当且仅当x20=1x20，即x20=1时取等号，故r≥2，曲线y=1x在点1，1处的曲率半径r=2.

评注"也可由命题1得r=1K=1+y′232y″x=x0==－1x202+132÷2x30，下同方法2.曲率半径r的推导有些复杂，主要考察学生数学运算、逻辑推理的核心素养，这也是命题2曲率半径的推导过程.

2.3"第（3）问题解法探究解法1"（换元+因式分解） f′（x）=ex，f''（x）=ex，由2.2方法二知函数y=ex的图象在x，ex处的曲率半径r=f′x02+132f″x0=e2x+132ex，故r23=e43x+e－23x，由题意可得e43x1+e－23x1=e43x2+e－23x2，令t1=e23x1，t2=e23x2，则t21+1t1=t22+1t2，t21－t22=1t2－1t1，t1－t2t1+t2=t1－t2t1t2，t1t2t1+t2=1.因为x1≠x2，所以t1≠t2，1=t1t2t1+t2＞t1t2·2t1t2=2t1t232=2ex1+x2，故x1+x2＜－ln2．

评注 "利用2.2方法2，得到曲率半径，再因式分解，最后利用均值不等式证明了原命题，解法巧妙，考察了学生数学运算、逻辑推理能力.

解法2"（构造函数+均值不等式）同上函数y=ex的图象在x，ex处的曲率半径r=e2x+132ex，则r2=e2x+13e2x=e4x+3e2x+3+e－2x，令t1=e2x1，t2=e2x2，则有t21+3t1+3+1t1=t22+3t2+3+1t2，则t1－t2t1+t2+3－1t1t2=0，故t1+t2+3－1t1t2=0，因为x1≠x2，所以t1≠t2，0=t1+t2+3－1t1t2＞2t1t2+3－1t1t2，令t=t1t2，则2t+3－1t2＜0，即0＞2t3+3t2－1=（t+1）22t－1，故t＜12，所以ex1+x2=t1t2=t＜12，即x1+x2＜－ln2.

评注""利用曲率半径公式构造函数，利用换元法、因式分解、基本不等式证明出结论，要求学生具有较强的数学运算能力.

解法3"（换元+构造函数） 由方法二可知2t+3－1t2＜0，令m（t）=2t+3－1t2（t＞0），则m'（t）=2+21t3＞0，因此m（t）在（0，+）上单调递增，因为m（t）=2t+3－1t2＜0=m（12），所以ex1+x2=t1t2=t＜12，即x1+x2＜－ln2.

评注 "利用构造函数巧解不等式，方法巧妙，有利于发散学生的思维，提升学生的思维品质.

解法4"（极值点偏移）函数y=ex的图象在x，ex处的曲率半径r=e2x+132ex，则r23=e43x+e23x，设g（x）=e43x+e23x，则g′（x）=43e43x－23e－23x=23e－23x2e2x－1，所以当x∈（－，－12ln2）时g′（x）＜0，当x∈（－12ln2，+）时g′（x）＞0，所以g（x）在（－，－12ln2）上单调递减，在（－12ln2，+）上单调递增，故x1＜－12ln2＜x2.所以x1，－ln2－x2∈（－，－12ln2），要证x1+x2＜－ln2，即证x1＜－ln2－x2，即证gx2=gx1＞g－ln2－x2（*），设函数G（x）=g（x）－g－ln2－x（x＞－12ln2），则G'（x）=g'（x）+g′－ln2－x=232e2x－1e23x－2－13e－43x＞0，故G（x）在R上单调递增，G（x）＞G－12ln2=0，故gx2＞g－ln2－x2（*）成立，因此x1+x2＜－ln2．

评注""利用分析法由果导因，将问题转化为证明（*）式，易于构造出函数，利用导数证明了不等式，思路清晰，计算量较大，有利于培养学生的数学运算等核心素养.

解法5"（构造函数+极值点偏移）

函数y=ex的图象在x，ex处的曲率半径r=e2x+132ex，则r2=e2x+13e2x=e4x+3e2x+3+e－2x.设h（x）=e4x+3e2x+3+e－2x，则h′（x）=4e4x+6e2x－2e－2x=2e－2xe2x+122e2x－1，当x∈（－，－12ln2）时h′（x）＜0，当x∈（－12ln2，+）时h′（x）＞0，故h（x）在（－，－12ln2）上单调递减，在（－12ln2，+）上单调递增.故有x1＜－12ln2＜x2，所以x1，－ln2－x2∈（－，－12ln2），要证x1+x2＜－ln2，即证x1＜－ln2－x2，即证hx2=hx1＞h－ln2－x2（*）．设H（x）=h（x）－h－ln2－x（x＞－12ln2），则H′（x）=h′（x）+h′（－ln2－x）=2e2x－121+12e－2x+14e－4x＞0，故H（x）在R上单调递增，故H（x）＞H－12ln2=0 ，故hx2＞h－ln2－x2（*）成立，因此x1+x2＜－ln2．

评注""将r平方后，在构造函数，利用分析法将问题转化为（*）式，构造函数利用导数易于证明，考察了学生数学运算、逻辑推理的核心素养.这道新结构压轴题是以曲率圆与曲率半径为背景明制而成的，在高考、强基计划、自主招生、竞赛中经常会遇到.

推论1"抛物线y2=2px（p＞0）在点P（x0，y0）的曲率圆方程为x－3x0－p2+y+y30p2=2x0+p3p.

推论2"抛物线y2=2px（p＞0）有最小曲率圆，其方程为x－p2+y2=p2．

推论3"双曲线x2a2－y2b2=1无最大曲率圆，它的最小曲率圆方程为x±c2a2+y2=b4a2．

3.结语

新高考最后一题为一道新定义的试题，情景新颖，思维强度高，主要是问题中定义了高中数学没学过的一些概念、新运算、新符号，着重于对新定义的理解，利用新符号的推理过程，作为试卷的压轴题，重点考察学生的阅读能力和逻辑推理能力，彰显数学思维，选拔人才.考生应仔细阅读题目，理解题目的要求和背景;分析题目的结构，找出题目的关键词和条件，将其进行分解，理解每部分的作用;对于一些设计图形与数据的题目，画图或列表;回顾与题目相关的高中数学知识，若题目设计多个变量或者条件，可以尝试先考虑一些简单情况;多做类似题目，有助于提高对这类题目的理解与解题能力，应重视基础知识、通性通法、数学思维，体会算理算法，培养学生新知识的学习能力，深度理解数学的本质，进一步培养和提升学生的数学学科素养，希望本文对读者的学习有一定的启发作用.

基金项目：榆林市课题《GeoGebra在新人教A版高中函数教学中的应用研究》（课题编号：YWX242992）