两道圆锥曲线试题的探究与推广

本文对2024届安徽省A10联盟和2018年河南赛区预赛圆锥曲线试题进行拓展延伸，得出一类圆锥曲线倒数平方和为定值的结论.

1.试题呈现

例1" （2024届安徽省A10联盟第17题）已知双曲线C：x2a2－y2b2=1agt;0，bgt;0的左、右焦点分别为F1，F2，点A－6，2在C上，且ΔAF1F2的面积为6.

（1）求双曲线C的方程；

（2）记点A在x轴上的射影为点B，过点B的直线l与C交于M，N两点.探究：1BM2+1BN2是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

例2" （2018年河南赛区预赛第7题）设经过定点Ma，0的直线l与抛物线y2=4x相交于P，Q两点，若1PM2+1QM2为常数，则a的值为.

2.试题延伸

结论1" 已知双曲线C：x2a2－y2b2=1（agt;0，bgt;0且a≠b），T±aa2+b2a2－b2，0，过点T的直线l与C交于M，N两点，则1TM2+1TN2=a2－b2b4.

证明" 当直线l与x轴不重合时，设Tt，0，直线l方程为x=my+t，Mx1，y1，Nx2，y2，联立x=my+t，

x2a2－y2b2=1 得b2m2－a2y2+2b2mty+b2t2－a2=0，由韦达定理可知y1+y2=2b2mta2－b2m2，y1y2=b2t2－a2b2m2－a2，所以1TM2+1TN2=11+m2y21+11+m2y22=y1+y22－2y1y21+m2y21y22=4b4m2t2a2－b2m22－2b2t2－a2b2m2－a21+m2b4t2－a22b2m2－a22=4b2m2t2－2t2－a2b2m2－a2b21+m2t2－a22=2t2+a2t2－a22+2t2a2－b2－2a2a2+b2b21+m2t2－a22.

当2t2a2－b2－2a2a2+b2=0，即T±aa2+b2a2－b2，0时，此时1TM2+1TN2=2t2+a2t2－a22=2a2a2+b2a2－b2+a2a2a2+b2a2－b2－a22=a2－b2b4.当直线l与x轴重合，T±aa2+b2a2－b2，0时，此时1TM2+1TN2=1t+a2+1t－a2=2t2+a2t2－a22=a2－b2b4.

结论2" 已知抛物线C：y2=2pxpgt;0，Tp，0，过点T的直线l与C交于M，N两点，则1TM2+1TN2=1p2.

证明" 设Tt，0，直线l方程为x=my+t，Mx1，y1，Nx2，y2，联立x=my+t，y2=2px， 得y2－2pmy－2pt=0，由韦达定理可知y1+y2=2pm，y1y2=－2pt，所以1TM2+1TN2=11+m2y21+11+m2y22=y1+y22－2y1y21+m2y21y22=1t2+t－ppt21+m2.当t=p时，1TM2+1TN2为定值1p2.

结论3" 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1agt;bgt;0，T±aa2－b2a2+b2，0，过点T的直线l与C交于M，N两点，则1TM2+1TN2=a2+b2b4.（证明过程与结论1类似）