基于残差修正GM(1,1)灰色动态模型群的城市用水量预测研究

摘 要：【目的】探究残差修正GM（1，1）灰色动态模型群在城市用水量预测中的应用。【方法】在传统单一GM（1，1）灰色模型的基础上，采用对数曲线对预测结果进行残差拟合修正，分别构建传统单一GM（1，1）灰色模型和残差修正GM（1，1）灰色动态模型群，利用济宁市2013—2022年实际城市用水量数据进行实例验证和预测分析。【结果】相对于传统单一GM（1，1）灰色模型，残差修正GM（1，1）灰色动态模型群拟合精度和预测精度均有明显提升，传统单一GM（1，1）灰色模型拟合相对误差为0.22%～4.22%，预测相对误差为0.91%～2.74%，预测平均相对误差为1.62%，预测均方误差为0.143，残差修正GM（1，1）0灰色动态模型群拟合相对误差在0.02%～3.09%，预测相对误差为0.75%～2.42%，预测平均相对误差为1.32%，预测均方误差为0.102。【结论】济宁市未来用水量呈下降趋势，这与济宁市严格落实最严格水资源管理制度、刚性约束用水相关指标、用水效率得到提升的情况吻合。残差修正GM（1，1）灰色动态模型群能够满足城市用水量预测。

关键词：残差修正；灰色动态模型群；用水量预测；济宁市

中图分类号：TV213.9" " "文献标志码：A" " 文章编号：1003-5168（2024）22-0090-05

DOI：10.19968/j.cnki.hnkj.1003-5168.2024.22.019

Prediction of Urban Water Consumption Based on Residual Modified GM（1，1） Grey Dynamic Model Group

Abstract：[Purposes] This paper aims to explore the application of residual modified GM（1，1） grey dynamic model group in urban water consumption prediction.[Methods] On the basis of the traditional single GM（1，1） gray model， the logarithmic curve was used to fit and correct the residual results， and the traditional single GM（1，1） gray model and the residual modified GM（1，1） gray dynamic model group were constructed， the actual urban water consumption data of Jining City from 2013 to 2022 were used for case verification and prediction analysis. [Findings] Compared with the traditional single GM（1，1） gray model， the fitting accuracy and prediction accuracy of the traditional single GM（1，1） gray model group were significantly improved， and the fitting relative error of the traditional single GM（1，1） gray model was 0.22%～4.22%， the prediction relative error was 0.91%～2.74%， the prediction average relative error was 1.62%， the prediction mean square error was 0.143， and the residual modified GM（1，1）0 gray dynamic model group fitting relative error was 0.02% ～3.09%， the relative error of prediction is 0.75%～2.42%， the average relative error of prediction is 1.32%， and the mean square error of prediction is 0.102.[Conclusions] Through the prediction results of Jining's water consumption from 2023 to 2030， it can be seen that Jining's future water consumption is on a downward trend， which is consistent with Jining's strict implementation of the strictest water resources management system， rigid constraints on water-related indicators， and the improvement of water use efficiency.And the residual modified GM （ 1，1 ） gray dynamic model group can meet the prediction of urban water consumption.

Keywords：residual correction; grey dynamic model group; water consumption forecasting; Jining City

0 引言

灰色模型因具有建模所需数据样本较少、计算简单且预测精度较好等特点而被广泛应用［1］。目前，灰色模型在地质演变、经济指标、气候环境等方面的预测应用较多［2］。在城市用水量预测中，大多学者采用基于单一灰色模型用水量的预测［3-4］，但灰色模型本身具有随预见期增长误差增大的特点。为解决这一问题，蒋白懿等［5］提出了神经网络与灰色模型相结合的计算方法，该方法提高了预测精度，但需要较多的原始数据变量，对原始数据的要求高，而且单一灰色模型难以消除气候变化、政策调整等不确定因素的影响，会造成预测结果不准确。因此，本研究在传统GM（1，1）灰色模型的基础上提出构建残差修正GM（1，1）灰色动态模型群。该方法计算简便，能够克服气候变化、政策调整等不确定因素的影响，提高预测精度以济宁市为研究对象，对构建的模型进行实例验证和预测分析，探索灰色模型在城市用水量预测中的应用，为济宁市水资源优化配置提供参考。

1 GM（1，1）灰色动态模型群的构建

1.1 单一传统GM（1，1）灰色预测模型构建

传统GM（1，1）灰色模型的构建主要有3个步骤：一是对收集的原始样本数据进行处理使其呈现指数规律；二是构建一阶微分方程并计算结果；三是对计算结果累减得到预测值。

1.1.1 GM（1，1）模型微分方程。设初始非负数据序列见式（1）。

[X（0）=x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）]" " " " " " （1）

通过累加运算后得到X（0）的一阶累加序列可以弱化x（0）的扰动，见式（2）。

Z（1）是X（0）的紧邻均值生成的序列见式（3）、式（4）。

得 GM（1，1）模型对应微分方程为式（5）。

[x（0）（k）+az（1）（k）=b] （5）

式中：z（1）为GM（1，1） 模型的背景值。

1.1.2 构建数据矩阵B及数据向量Y。矩阵B和向量Y见式（6）。

1.1.3 预测模型公式。灰色微分方程的最小二乘估计参数列满足式（7）。

[u=abT=BTB-1BTY]" " " " " " "（7）

式中：a为发展系数，决定样本序列的演化趋势和速度；b为灰色作用量，体现样本序列的变动关联。​

构建传统GM（1，1）灰色模型的一阶微分方程并计算结果，计算结果经过累减即为模型预测结果。方程为式（8）。

1.2 单一残差修正GM（1，1）灰色预测模型构建

为提升残差修正效果，需要对残差进行正化处理，根据残差正负符号，构建残差符号矩阵C式（19）。

利用传统GM（1，1）灰色预测模型计算拟合值与实际值的残差序列，对残差序列进行正化处理，建立正化残差序列见式（11）。

残差修正目的是将所有残差序列的平方和最小化，此时的曲线就是新建立的残差非线性的拟合曲线，再使用该残余偏差曲线调整所有的预测值，以此达到提高估计准确性的目的。通过对照试验取可用对数公式校正残差，校正方法见式（12）。

式中：a0、a1为系数。

采用公式（12）对正化残差序进行拟合，得到修正正残差序列[ε+0（k）]。

将得到的残差修正值进行正负符号恢复，见式（13）。

1.3 残差修正灰色动态模型群构建

以GM（1，1）表示传统灰色模型，以GM（1，1）0表示残差修正灰色模型。对于灰色模型，构建模型使用的样本数据的数量应至少4个。假定样本数据序列X（1）（k）的数量为n，那么样本数据序列的最后一个数的组合数为n－3，则可建立起n－3个子模型共同构建的灰色动态预测模型群，单一残差修正GM（1，1）0灰色模型按式（14）构建，以单一模型预测值的算术平均值作为灰色动态模型群的预测值。

1.4 模型精度检验

模型残差精度检验采用相对误差法（MAPE）和均方误差法（MSE）。利用参加模型构建的用水量数据实际值与拟合值计算拟合相对误差，未参加模型构建的用水量数据实际值与预测值计算预测相对误差和预测均方误差。

2 实例验证与预测应用

2.1 研究区域概况

济宁市位于山东省鲁西南腹地，与泰安、临沂、菏泽、枣庄、江苏徐州接壤，降雨量空间分布不均匀，降水量自东南向西北递减。根据《第三次济宁市水资源调查评价报告》，济宁市多年平均年降水量为695.3 mm，多年平均天然水资源总量为224 960万m3。济宁市降水年内分布变化较大，汛期降水占全年降水量的70%以上，季节性缺水、工程性缺水的问题依然突出。因此，开展济宁市城市需水量预测具有重要意义。根据《济宁市水资源公报》济宁市2013—2022年用水量见表1。

2.2 不同模型对比分析

2.2.1 济宁市用水量灰色模型群构建。采用济宁市2013—2019年用水量数据，分别构建传统单一GM（1，1）灰色模型和4个残差修正GM（1，1）0灰色模型，4个残差修正GM（1，1）0灰色模型组成济宁市GM（1，1）0灰色动态模型群。传统单一GM（1，1）灰色模型采用2013—2019年数据构建，单一残差修正GM（1，1）0模型1采用2016—2019年数据，模型2采用2015—2019年数据，模型3采用2014—2019年数据，模型4采用2013—2019年数据，残差修正GM（1，1）0模型群的输出结果为4个单一残差修正GM（1，1）0模型的平均值。本次以单一残差修正GM（1，1）0模型4为例，说明单一灰色模型构建方法。

首先构建传统单一GM（1，1）灰色模型，采用2013—2019年济宁市用水量数据，因此X（0）=（24.10，22.39，23.60，23.50，21.59，21.53，21.36），X1（0）=（24.10，46.49，70.08，93.58，115.18，136.71，158.06）。

根据式（6）构建数据矩阵B及数据向量Y，见式（16）。

矩阵B和向量Y带入式（8）得a=0.017，b=23.87，因此，传统单一GM（1，1）灰色模型为式（17）。

（k）=-1 380.02e-0.017（k-1）+1 404.12 （17）

k=2，…，n

根据式（11）模型的残差修正公式为式（18）。

按照上述方法构建4个不同的济宁市用水量预测残差修正GM（1，1）0灰色模型，构建公式见表2。

4个不同的济宁市用水量预测残差修正GM（1，1）0灰色模型组成灰色动态模型群，取各模型输出结果的算数平均作为灰色动态模型群的预测结果。

2.2.2 模型精度对比。对传统单一GM（1，1）灰色模型和残差修正GM（1，1）0灰色动态模型群的拟合精度和预测精度进行对比。采用参加模型构建的2013—2019年实际值和拟合值对比计算拟合相对误差（MAPE），采用未参与模型构建的2020—2022年用水量实际值和预测值对比计算预测相对误差（MAPE）和预测均方差（MSE）。结果表明，传统单一GM（1，1）灰色模型拟合相对误差为0.22%～4.22%，拟合平均相对误差为2.14%，预测相对误差为0.91%～2.74%，预测平均相对误差为1.62%，预测均方误差为0.143。残差修正GM（1，1）0灰色动态模型群拟合相对误差在0.02%～3.09%，拟合平均相对误差为0.03%～1.26%，预测相对误差为0.75%～2.42%，预测平均相对误差为1.32%，均方误差为0.102。可见，相对于传统单一GM（1，1）灰色模型，残差修正GM（1，1）0灰色动态模型群相对误差和均方误差更小，拟合精度和预测精度均有提升。两种模型拟合精度结果见表3，预测精度结果见表4。

2.2.3 济宁市用水量预测。利用上述方法构建残差修正GM（1，1）0灰色动态模型群对2023—2030年济宁市用水量预测，预测结果见表5。可以看出济宁市用水量呈下降趋势，到2025年用水量减少为20.22×108m3，比2022年下降2.9%；到2030年用水量减少为18.84×108m3，比2022年下降9.5%。用水量减少的主要影响因素是“十三五”以来，济宁市严格落实水资源管理制度，将用水总量控制、万元GDP用水量、万元GDP用水量下降率、万元工业增加值用水量下降率、工业用水重复利用率、农田灌溉水有效利用系数等指标作为济宁市“十三五”和“十四五”规划的刚性约束指标。根据《济宁市统计年鉴》《济宁市水资源公报》，得到2013—2022年济宁市用水效率指标，济宁市万元GDP用水量和万元工业增加值用水量呈下趋势，2013—2022年的10年间，万元GDP用水量由68.8m3下降到39.2m3，下降了43.0%；万元工业增加值用水量由18.4m3下降到14.3m3，下降了22.3%。通过对2013—2022年济宁市用水量与万元GDP用水量、万元工业增加值用水量之间的Pearson相关系数分析可以看出，济宁市用水量与万元GDP用水量相关系数达到0.964，为极强相关等级，与万元工业增加值用水量相关系数为0.557，为中等相关等级。可见，用水效率的提升是济宁市用水量减少的重要因素之一。Pearson相关系数等级［6］见表6，济宁市各指标与用水量Pearson相关系数及相关程度见表7。

3 结论

①通过对传统GM（1，1）灰色动态模型和残差修正GM（1，1）0灰色动态模型群的构建和对比可以看出，残差修正灰色动态模型群的精度有了较大提升，残差修正GM（1，1）0灰色动态模型群可以应用于用水量的预测。

②根据预测结果，济宁市用水量呈下降趋势，这与“十三五”以来济宁市严格落实水资源管理制度，刚性约束用水相关指标的情况吻合。参照预测结果，水资源管理部门可在水资源用水趋势的预见期内，提前布局，适时提升高新技术产业规模，合理优化配置水资源。

③构建的残差修正GM（1，1）0灰色模型群为动态模型，随时间推移可以不断更新构建模型的原始数据系列，达到提高预测精度的目的。

参考文献：

［1］蒋延军，李运德，李树德，等.基于灰色GM（1，1）模型的桂林市GDP预测研究［J］.桂林航天工业学院学报，2022，27（4）：533-538.

［2］秦杰.净零目标下长江中游城市群空气质量的分数阶灰色预测研究［D］.重庆：重庆工商大学，2023.

［3］蒋白懿，杲红双，孙志民，等.基于ES残差优化的GM（1，1）模型预测城市用水量［J］.水电能源科学，2022，40（12）：85-88.

［4］赵伟丽，林洪娟.基于灰色预测模型的水资源现状分析和预测探讨［J］.中国设备工程，2021（9）：255-256.

［5］蒋白懿，牟天蔚，王玲萍.灰色遗传神经网络模型对居民年需水量预测［J］.给水排水，2018，54（1）：137-142.

［6］张健，刘猛，梁斐斐，等.近二十年南四湖水环境演变及其驱动因素分析［J］.宁波大学学报（理工版），2023，36（4）：42-47.