斜多项式二次超曲面代数

【摘" "要】" "为丰富非交换二次超曲面代数奇点表示理论和分类结果，以分次斜多项式代数为研究对象，讨论二次正则中心元并刻画相应极大Cohen-Macaulay模范畴的稳定范畴。 建立分次斜多项式系数矩阵与二次中心元之间联系，分别得到了[n]元[（±1 ）-]分次斜多项式和4元分次非[（±1）-]斜多项式的二次正则中心元的分类；通过图论方法和Clifford形变，计算了相关非交换二次超曲面代数的极大Cohen-Macaulay模范畴的稳定范畴。可为后续非交换二次超曲面代数的分类提供帮助。

【关键词】" "非交换二次超曲面；中心元；极大Cohen-Macaulay模范畴；Clifford形变

【Abstract】" " To enrich the singularity representation theory and classification results of non - commutative quadratic hypersurface singularity， this paper takes graded skew polynomial algebras as the research object， discusses the quadratic regular central elements and characterizes the stable categories of the corresponding maximal Cohen-Macaulay module categories. By establishing the relationship between the coefficient matrix of the graded skew polynomial and the quadratic central element， the classification of quadratic central elements of [n] variable graded [（±1）-]skew polynomial and 4 variable graded non-[（±1）-]skew polynomial is obtained respectively. Through the graph theory methods and Clifford deformations， the stable categories of the maximal Cohen-Macaulay module category of the related non-commutative quadric hypersurface algebras are calculated. The result is helpful for the classification of non-commutative quadric hypersurface algebras.

【Key words】" " "non-commutative quadric hypersurface; central element; maximal Cohen-Macaulay module category; Clifford deformation

〔中图分类号〕 O153.3" " " " " " 〔文献标识码〕" A" " " " "〔文章编号〕 1674 - 3229（2024）04 - 0005 - 09

DOI：10.20218/j.cnki.1674-3229.2024.04.001

0" " "引言

非交换二次超曲面代数是非交换代数几何和非交换代数的重要研究对象，相应的Cohen-Macaulay表示理论成为众多研究者关心的课题，在非交换代数几何、代数表示论等方面有着重要应用。

经典交换二次超曲面[K[x1，…， xn]（f）]的研究已获得了丰富的成果［1-2］，其中[f∈（x1， …， xn）2]，且由惯性定理可知交换二次超曲面的分类是清楚的。 而在非交换情形下，诺特Koszul Artin-Schelter正则代数[A]可看作一类量子射影空间的齐次坐标环［3］，亦被认为是一类非交换多项式。若[z]是[A]的二次正则中心元，那么称[S=A（z）]是非交换二次超曲面代数。相较于交换二次超曲面，非交换二次超曲面的情形更为丰富和复杂。

Smith和Van den Bergh［4］借鉴了Buchweitz等［5］处理交换二次超曲面的方法， 引入了与非交换二次超曲面代数相关的一个有限维代数[C （ S ）]。然而，对于一般的非交换二次超曲面代数[S]，直接计算[C （ S ）]会有困难。He和Ye［6］首先构造与二次正则中心元[z]对应的Clifford映射[θz]，接着对[A！]做Clifford形变得到[ℤ2-]分次代数[CA！（z）]，最后给出了关于[C （ S ）]的一种新的描述：[C（S）≅CA！（z）0]。

为了得到非交换二次超曲面代数的分类，数学工作者从特殊的Koszul Artin-Schelter正则代数入手，同时，使用并推广了交换代数几何中的部分工具。Hu［7］对特殊的非交换圆锥曲线代数[S=A（z）]进行了分类，其中[A]为3维量子多项式并且[S]的二次对偶[S！]是交换的，证明了此时[A]的二次正则中心元只可能为[ax21+bx22+cx23]的形式，其中[a，b，c∈K]，随后通过[A]的分次自同构群以及Clifford形变的方法，得到了非交换二次超曲面代数的分类并且得到了相对应的有限维代数[C （ S ）]。Ayako和Masaki ［8］证明任意3-维量子多项式的分次有限生成模范畴和某个3-维Calabi-Yau量子多项式的分次有限生成模范畴等价。受此启发，Hu等［9］对Calabi-Yau的2-维射影空间中的非交换圆锥曲线代数进行了分类，即此时[A]为3-维Calabi-Yau量子多项式。对于斜多项式[A=Kx1，…， xn（xixj-εijxjxi）1≤i，j≤n]这一类特殊的Artin-Schelter正则代数，Vitoria［10］和Belmans等［11］分别给出了斜多项式二次超曲面代数[S]的点概型[E]的定义。Ueyama［12］首先利用点概型的手段对更特殊的[（±1）-]斜多项式进行研究，给出了当[n≤5]且[z=x21+…+x2n]时非交换二次超曲面代数[S]的分类。Mori和Ueyama ［13］利用非交换[Knorrer]周期性定理和图论方法对[n-1]维量子射影空间中的光滑二次超曲面代数以及[n]元[（±1）-]斜多项式超曲面代数进行了分类，其中[n≤6]。 随后Higashitani等 ［14］和Ueyama ［15］给出了当[A]为任意[n]元分次[（±1）-]斜多项式且[z=x21+…+x2n]和[z=x21+…+x2n-1]时非交换二次超曲面代数的分类。

然而，对于维数大于3的诺特Koszul Artin-Schelter正则代数，相对应的非交换二次超曲面代数的分类结果还比较少。另一方面，相较于分次[（±1）-]斜多项式，一般的分次非[（±1）-]斜多项式的二次正则中心元具有更丰富和更复杂的选取可能性， 因此会产生更多样的非交换二次超曲面代数。 如何刻画中心元并对相关非交换二次超曲面代数分类成为相关研究者关心的问题。针对上述问题，本文主要研究了更为一般的斜多项式超曲面代数。首先利用斜多项式系数与非零二次正则中心元之间的关系， 给出了[n]元[（±1）-]分次斜多项式和4元分次非[（±1 ）-]斜多项式的二次正则中心元的分类。 接着利用二次正则中心元的分类结果， 结合图论和Clifford形变等方法，给出了相关非交换二次超曲面代数[S]更精确的分类以及[S]的极大Cohen-Macaulay模范畴的稳定范畴的刻画。

本文约定：[K]表示一个特征为0的代数闭域，所有向量空间都表示为域[K]上的。除了特殊声明，张量[⊗]表示[⊗K]。

1" " 预备知识

令[A=⊕g∈GAg]是一个[G-]分次代数，其中[G=ℤ]或者[G=ℤ2]。记[modA]为有限生成右[A-]模范畴，[grGA]为[G-]分次有限生成右[A-]模范畴。当[G=ℤ]时，如果[A]的每个齐次子空间[Ai]都是有限维向量空间，则称[Ai]是局部有限的。若局部有限的[ℤ]-分次代数[A]进一步满足： 当[ilt;0]时，[Ai=0]，且[A0=K]，则称[A]是连通分次代数。

定义1.1［3］" " 设[A]是一个连通分次代数并满足条件：

（b）当[i≠d]时，[ExtiA （KA， AA） = ExtiA （AK， AA） = 0]并且[ExtdA（KA， AA）]，[ExtdA（AK，AA）]都是1维的，则称[A]是一个[d]维Artin-Schelter Gorenstein代数。

如果[A]是一个整体维数有限的[d]维Artin-Schelter Gorenstein代数，则称[A]是一个[d]维Artin-Schelter正则代数。

定义1.2［16］" " 如果[A=⊕i∈ℤAi]是一个连通分次代数，并且平凡模[KA]有如下的自由分解：

其中对于任意[i≥0]，[Pi]是一个由 [i] 次生成的分次自由右[A-]模，则称[A]是一个Koszul代数。Kosuzl代数[A]可以表示为[A≅T（V）/（R）]，其中[V]是一个有限维线性空间，线性空间[R⊆V⊗V]。令[V*]是[V]的线性对偶空间，并且[R⊥]是在[V*⊗V*]中的正交子空间，则称[A！=T（V*）/（R⊥）]是[A]的Koszul对偶，并且Koszul对偶[A！] 也是一个Koszul代数［17］。

定义1.3" "设[A=T（V）/（R）]是一个[d]维诺特 Koszul Artin-Schelter正则代数，并且[z]是[A]中的一个二次非零正则中心元，则称商代数[S=A/（z）]是一个非交换二次超曲面代数。

命题1.4［4］" "设[A=T（V）/（R）]是一个[d]维诺特 Koszul Artin-Schelter正则代数，则非交换二次超曲面代数[S=A/（z）]是一个内射维数为[d-1]的Koszul Artin-Schelter Gorenstein代数。

定义1.5" "设[S]是一个[d-1]维Artin-Schelter Gorenstein代数，[N]是一个有限生成的[ℤ-]分次右[S]模。如果[N]的局部上同调满足：

其中[m=S≥1]，则称[N]是极大Cohen-Macaulay模，简称MCM模。

记由所有MCM模构成的[grℤS]的满子范畴为[mcm S]，并且记[mcm S]的稳定范畴为[mcm S]，[ mcm S]是一个三角范畴。

定义1.6［6］" 设[A=T（V）/（R）]是一个Koszul代数，[z∈A2]是[A]中的一个非零正则中心元， [z∈V⊗2]是[z]的提升。称[CA！（z）=T（V*）/（f-θz（f） ： f∈R⊥）]是[A！]的Clifford形变， 其中

定理1.7［6］" 设[S=A/（z）]是一个非交换二次超曲面代数，则[CA！（z）]是一个强[ℤ2-]分次代数，并且有如下三角范畴等价：

定义1.8" "设[n]是正整数，[ε=εij|i， j=1…n，]并且对于任意[i， j]满足[εii=1]，[εijεji=1]，则称[Aε=]

记[Δε：=（εij）1≤i， j≤n]为[Aε]对应的系数矩阵。当[Δε]中的元素只有[±1]时，称[A]是一个分次[（±1）-]斜多项式。

2" " "分次斜多项式的中心

设[Aε]是一个分次斜多项式，记[Ω：=xixj|xixj属于]

[A 的中心，1≤i≤j≤n]，并且记[Ω]为有限集合[Ω]中元素的个数。先考虑分次斜多项式的二次正则中心元与系数矩阵之间的关系，再将分次斜多项式分为分次[（±1 ）-]斜多项式和分次非[（±1）-]斜多项式，分别讨论它们的中心。

引理2.1" "设[Aε=Kx1，…，xn（xixj-εijxjxi）1≤i，j≤n]是分次斜多项式。对于[1≤i≤j≤n]，[xixj]是[Aε]的正则中心元，当且仅当对于任意[1≤k≤n]有[εikεjk=1]。

证明：对任意[1≤k≤n]，[xixjxk=εikεjkxkxixj。] 因此，[xixj]是正则中心元当且仅当[εikεjk=1]。

2.1" "分次[（±1 ）-]斜多项式

引理2.2" "设[Aε]是一个分次[（±1）-]斜多项式。如果[xjxk，xjxl∈Ω]，那么[xkxl∈Ω]。

证明：由于[xjxk， xjxl∈Ω]，根据引理2.1可知对于任意[1≤i≤n]，[εkiεji=1]且[εliεji=1]，因此[εki=εli]。由于此时[Aε]为[（±1）-]斜多项式，所以[εkiεli=1]。又由引理2.1可知[xkxl∈Ω]。

引理2.3" "设[Aε]为[n]元分次[（±1）-]斜多项式，其中[n≥3]。如果[Aε]为非交换多项式，则[|Ω| ≤n2 +1]。

证明：显然[|Ω|≤ n2 +n]。因为[Aε]为非交换斜多项式，不妨设[xn-1xn∉Ω]，由引理2.1可知对于任意[1≤jlt;n-1]，[xjxn-1， xjxn]中至少有一项不在集合[Ω]中。因此：

[|Ω| ≤ n2 +n-（n-2）-1=n2 +1]。

设[Aε]为[4]元分次[（±1）-]斜多项式。显然对于任意[1≤i≤4]，[x2i∈Ω]。探讨[|Ω| gt;4]的情形，此时必存在[1≤i， j≤4]，使得[xixj∈Ω]。不妨设[x1x2∈Ω]，下面给出此时的情况。

命题2.4" "设[Aε]为[4]元分次[（±1）-]斜多项式且[x1x2∈Ω]，则[Ω]为如下情形之一：

（a） [Ω=x2i， xkxl|1≤k≤l≤4]，此时[Aε]为[4]元多项式；

（b）[ Ω=x2i， x1x2， x1xk， x2xk|1≤i≤4 ， k∈{3 ，4}]；

（c） [Ω=x2i， x1x2， x3x4|1≤i≤4]；

（d） [Ω=x2i， x1x2|1≤i≤4]。

证明：（a） 如果[|Ω| ≥8]，由引理2.3可知，此时[Aε]为[4]元多项式。

（b） 如果[|Ω| =7]，则必存在[k∈3， 4]，使得[x1xk∈Ω]或者[x2xk∈Ω]。 不妨设[x1xk∈Ω]，利用引理2.2可知[x2xk∈Ω]。此时[Ω=x2i， x1x2， x1xk， x2xk|1≤i≤4]。

例：

（c） 如果[|Ω| =6]，由（b）可知对于任意[k∈3， 4]，[x1xk∉Ω]且[x2xk∉Ω]。

因为[|Ω| =6]，此时[Ω=x2i， x1x2， x3x4|1≤i≤4]。

例：

（d） 如果[|Ω| =5]，由于[x1x2∈Ω]，此时[Ω=x2i， x1x2|1≤i≤4]。

例：

定义2.5" "设[Aε]为[n]元分次[（±1）-]斜多项式。对任意[xi， xj∈Aε]，若[xixj]是[Aε]的中心元，则称[xi]与[xj]等价，记[xi∼xj]。

引理2.6" "关系[\"∼\"]为集合[x1， x2，…， xn]上的等价关系。

证明：由引理2.1可知自反性成立。

若[xixj]是中心元，由引理2.1可知对任意[1≤k≤n] ，[εikεjk=1]。因此[εjkεik=1]，再由引理2.1可知[xjxi]也是中心元，对称性成立。

若[xixj]，[xjxk]是中心元，由引理2.2可知[xixk]是中心元，传递性成立。

利用定义2.5中定义的等价关系[\"∼\"]，在集合[x1， x2，…， xn]上给出一个划分[x1，x2，…， xn=p=1tθp]。

引理2.7" "对任意[xi∈θp]，[xi′∈θp′]有关系如下：

[xixi′=xi′xi， p=p′;kpp′xi′xi， p≠p′。]" "其中[kpp′∈{±1}]

证明：对于任意[1≤p≤t]，如果[xi， xj∈θp]，则[xixj]为[Aε]的中心，且[xixjxj=xjxixj]。又因为[Aε]是整环，所以[xixj=xjxi]。

对于任意[p≠p′]，设[xi， xj∈θp]，[xi′， xj′∈θp′]，由于[xixj]是中心元，由引理2.1可知[εii′εji′=1]且[εij′εjj′=1]。因此[εii′=εji′]且[εij′=εjj′]。又由于[xi′xj′]是中心元，同理可得[εii′=εij′]且[εji′=εjj′]，取[kpp′=εii′]即可。

定理2.8" "设[Aε] 为 [n] 元分次[（±1）-]斜多项式，则分次代数：

[Aε（xixj∈ Ωaijxixj）≅Aε（k=1nbkx2k）]

其中对于任意[i， j]，[aij∈K]，对于任意[1≤k≤n]，[bk∈0，1]。

证明：考虑划分[x1， x2， …， xn=p=1tθp]。任取[1≤p≤t]，根据引理2.7，对于任意[xi， xj∈θp] ，有[xixj= xjxi]。利用惯性定理可知，存在多项式代数[K[xi|xi∈θp]]上的分次自同构[fp]，使得[fp（xi，xj∈θpaijxixj）=xi∈θpbix2i]，其中[bi∈0，1]。

由于[x1， x2，…， xn=p=1tθp]，故自由代数[Kx1，…， xn]上存在分次代数自同构[f]， 使得若[xi∈θp]，则[f（xi）=fp（xi）]，其中[1≤p≤t]且

又由引理2.7得[f]可诱导为[Aε]上的分次代数自同构，结合上式结论得证。

2.2" "分次非[（±1）-]斜多项式

对于2元和3元分次非[（±1）-]斜多项式，二次正则中心容易得到。接下来考虑4元分次非[（±1 ）-]斜多项式的二次正则中心。根据引理2.1，对于平方项是否属于[Ω]的判定是清楚的，并且对于分次非[（±1）-]斜多项式而言，并非所有平方项都在[Ω]中。所以较为感兴趣的是[Ω]中至少含有一个交叉项的情况，因此在下面的讨论中，规定[Ω]中至少含有一项交叉项。不失一般性，设[x1x2∈ Ω]，此时[Aε]对应的系数矩阵可表示为：

由于[Aε]为分次非[（±1 ）-]斜多项式，因此至少存在一个[i∈1， 2， 3]，使得[ki≠±1]。

定理2.9" "[Aε=Kx1，…， x4（xixj-εijxjxi）1≤i，j≤4]是一个4元分次非[（±1）-]斜多项式。此时[Ω]的情况如下：

（a） 如果只有[k1≠±1]，那么此时[Ω=x24， x1x2]；

（b） 如果只有[k2≠±1]，那么此时[Ω=x23，x1x2]；

（c） 如果只有[k3≠±1]，那么此时[Ω=x21， x22， x1x2]；

（d） 如果[k1， k2≠±1]并且[k1=1k2， k3=1]，那么此时[Ω=x1x2， x3x4]；

（e） 如果[k1， k3≠±1]并且[k1=k3， k2=1]，那么此时[Ω=x1x2， x1x4]；

（f） 如果[k1， k3≠±1]并且[k2=1k3， k1=1]，那么此时[Ω=x1x2， x1x3]；

（g） 如果是其他情况，那么此时[Ω=x1x2]。

证明：首先证明情况（a），由引理2.1可知[x2j∈Ω]当且仅当对任意[1≤i≤4]有[εij=±1]，即系数矩阵的第[j]列中的元素全部为[±1]。因此若[k2=±1， k3=±1]且[k1≠±1]，则平方项仅有[x24∈Ω]。又由于[k1≠±1]，[k2=±1]，[k3=±1] 由引理2.1可知[x1x3， x1x4， x2x3， x2x4， x3x4∉Ω]，则[Ω=x24， x1x2]。类似地，可以得到情况（b）（c）。

接着证明情况（d），由于[k1，k2≠±1]，由引理2.1可知对于任意[1≤i≤4]，[x2i∉Ω]。又因为[k1=1k2， k3=1] ，所以对于任意[1≤j≤4]，[εj3εj4=1]，因此由引理2.1可知[x3x4∈Ω]。由于[k1， k2≠±1]，再次使用引理2.1可知[x1x3，x1x4，x2x3，x2x4∉Ω]。类似地，可以得到情况（e）（f）（g）。

命题2.10" "设[Aε]是一个4元分次非[（±1）-]斜多项式，若其对应的系数矩阵[Δε]中仅有[k3≠±1]，则可以得到如下分次代数同构：

其中[ai∈K，bt∈0， 1。]

证明：类似定理2.8可以得到证明。

3" " "4元分次斜多项式超曲面代数的MCM模范畴的稳定范畴

本文第二部分给出了[n]元[（±1）-]分次斜多项式和4元分次非[（±1 ）-]斜多项式的二次正则中心元的分类，从而得到了更加多样的二次超曲面代数。 下面集中讨论4元分次斜多项式的情形，利用第二部分二次正则中心元的分类结果，给出了相关非交换二次超曲面代数[S]的分类，并且计算了相关非交换二次超曲面代数的极大Cohen-Macaulay模范畴的稳定范畴。

3.1" "[Aε]为分次[（±1 ）-]斜多项式

下面采用文献 ［14］中的图论方法，对其中涉及的概念和符号作简要介绍。图[G]包括顶点的集合[V（G）]和边的集合[E（G）]。在本文中，规定图[ G ]既没有环路也没有多重边。对于顶点 [i∈V（G）]，记[NG（ i ）={j∈V（G）|ij∈E（G）}]。如果[NG（ i ）=∅]， 则称顶点 [i] 为孤立点。对于4元分次[（±1 ）-]斜多项式[Aε]，固定以下记号：

（a） 图[Gε]的顶点集合[V（Gε）={1， 2， 3，4}]，[E（Gε）={ij|εij=1且i≠j}]。易知图[Gε]和4元分次[（±1）-]斜多项式[Aε]一一对应；

（b） 中心元[z=x21+…+x2k∈Aε]，其中[1≤k≤4]；

（c） 非交换二次超曲面代数[Sε=Aε（z）]。

定义3.1（突变）" "参考［14］中的定义2.1，设[i]是图[Gε]的一个顶点，[Gε]在点[i]处的突变记为[μi（Gε）]，其中[V（μi（Gε））={1，2， 3， 4}]，[E（μi（Gε））={ij|j∈V（Gε）＼NGε（i）}⋃E（Gε＼{i}）。]

引理3.2（突变引理）" "参考［14］中的引理2.4，如果对于[Gε]的某个顶点[i]，有[Gε′=μi（Gε）]，则有[mcm Sε≅ mcm Sε′]。

命题3.3" "设[Gε]是4元分次斜多项式[Aε]对应的图，则存在以1为孤立点的图[Gε′]，使得[mcm Sε≅mcm Sε′]。

证明：设[N={jj∈V（Gε）且1j∈E（Gε）}]。在[Gε]上对所有[j∈N]实施突变，得到[Gε′]，易知1为图[Gε′]中的孤立点。并且根据引理3.2可知[mcm Sε≅ mcm Sε′]。

接下来固定1为图[Gε]的孤立点。由命题3.3可知在[mcm Sε]等价的意义下，图[Gε]的分类如下：

由定理2.8可知为了计算4元分次[（±1）-]非交换二次超曲面代数[Sε]的MCM模范畴，仅需考虑二次中心元[z=x21+…+x2k]的情况，其中[1≤k≤4]。而中心为[x21+x22+x23+x24]和[x21+x22+x23]的情况可以分别参考［12］中的定理3.9和［15］中的定理8。

下面分别讨论中心为[x21+x22]和中心为[x21]的情况。记[Sεt=Aεt（z）]是图[Gεt]对应的非交换二次超曲面代数。

定义3.4（相对突变）" 参考［14］中的定义2.4，令[i， j]是[Gε]的两个不同的顶点。[Gε]在点[i]处相对[j]的突变记为[μi←j（Gε）]，其中[V（μi←j（Gε））={1， 2， 3， 4}]，并且

[E（μi （Gε））={ ik | k∈NGε（ j ） ＼ NGε（ i ）}⋃{ ik |k∈NGε（ i ） ＼ NGε（ j ）}⋃E （Gε＼ { i }）]

命题3.5" "当[z=x21+x22]时，在[mcm Sε]等价的意义下，对[Aε]有如下分类。

（a） 当[Aε=Aε1]或[Aε=Aε2]时，[CA！ε（z）0≅Ka， b， c（ab+ba，ac+ca，bc-cb，a2-1， b2， c2）] 。

（b） 当[Aε=Aε3， Aε4， Aε5， Aε6]时，[CA！ε（z）0≅Ka， b， c（ab+ba， ac-ca， bc-cb，a2-1， b2， c2）] 。

（c） 当[Aε=Aε7]时，[CA！ε（z）0≅Ka， b（ab+ba， a2， b2）×2。]

（d） 当[Aε=Aε8]时，[CA！ε（z）0≅K[a， b]（a2， b2）×2。]

证明：（a） 由于[Gε2=μ3←2（Gε1）]，参考［15］中的定理28，可知[ mcm Sε1≅ mcm Sε2]。通过计算易知

[CA！ε1（z）≅Kx1， x2， x3， x4x1x2-x2x1， x1x3-x3x1，x1x4+x4x1，x2x3-x3x2， x2x4+x4x2，x3x4+x4x3，x21-1， x22-1， x23，x24]

令[a=x1x2]，[b=x1x3]，[c=x1x4]，则[{1， a， b， c}]是[CA！ε1（z）0]的一组基，通过直接计算可知：

[CA！ε1（z）0≅Ka， b， c（ab+ba， ac+ca， bc-cb， a2-1， b2， c2）]

因此，[mcm Sε1≅ Db（mod T1）]，其中[T1=Ka，b， c（ab+ba， ac+ca， bc-cb， a2-1， b2， c2）]

（b） 由于[Gε5=μ4←2（Gε3）]，[Gε6=μ3←2（Gε4）]，由［15］可知[mcm Sε3≅ mcm Sε5]，[mcm Sε4≅ mcm Sε6]。而在3和4轮换的意义下，[Gε3=Gε4]，因此[Sε3=Sε4]。类似地，利用Clifford形变，[mcm Sε3≅ Db（mod T2）]， 其中

[T2=Ka， b， c（ab+ba， ac-ca，bc-cb， a2-1，b2， c2）]

（c） 对于图[Gε7]，类似地，利用Clifford形变可知[mcm Sε7≅ Db（mod T23）]，其中[T3=Ka， b（ab+ba， a2， b2）]。

（d） 对于图[Gε8]，类似地，利用Clifford形变可知[mcm Sε8≅ Db（mod T24）]，其中[T4=K[a， b]（a2， b2）]。

命题3.6" "当[z=x21]时，在[mcm Sε]等价的意义下，对[Aε]有如下的分类。

（a） 当[Aε=Aε1]时， [CA！（z）0≅Ka，b， c（ab+ba，ac+ca， bc+cb， a2， b2， c2）。]

（b） 当[Aε=Aε2， Aε3， Aε4]时，[CA！（z）0≅Ka， b， c（ab+ba， ac+ca， bc-cb， a2， b2， c2）。]

（c） 当[Aε=Aε5， Aε6， Aε7]时，[CA！（z）0≅Ka， b， c（ab+ba， ac-ca， bc-cb， a2， b2， c2）。]

（d） 当[Aε=Aε8]时，[CA！（z）0≅K[a， b， c]（a2， b2， c2）。]

证明：（a） 对于图[Gε1]，利用Clifford形变可知[mcm Sε1≅ Db（mod T5）]，其中

[T5=Ka， b， c（ab+ba， ac+ca， bc+cb， a2， b2， c2）]

（b） 在2， 3， 4轮换的意义下， [Gε2=Gε3=Gε4]，因此[Sε2=Sε3=Sε4]。利用Clifford形变， [mcm Sε2≅ Db（mod T6）]，其中

[T6=Ka， b， c（ab+ba， ac+ca， bc-cb， a2， b2， c2）]

（c） 在2， 3， 4轮换的意义下，[Gε5=Gε6=Gε7]，因此[Sε5=Sε6=Sε7]。利用Clifford形变， [mcm Sε5≅ Db（mod T7）]，其中

[T7=Ka， b， c（ab+ba， ac-ca， bc-cb， a2， b2， c2）]

（d） 对于图[Gε8]，利用Clifford形变可知[mcm Sε8≅ Db（mod T8）]， 其中[T8=K[a， b， c]（a2， b2， c2）]。

3.2" "[Aε]为分次非[（±1）-]斜多项式

在定理2.9中对4元分次非 [（±1）-] 斜多项式[Aε]的中心进行了分类，下面使用Clifford形变计算[CA！ε（z）]，从而得到非交换二次超曲面代数[Sε=Aε/（z）]的MCM模范畴的稳定范畴。为方便起见，在下面的计算中将Koszul对偶中的[x*i]记为[xi]。下面将计算结果列出。

命题3.7" "设[Aε]是4元分次非[（±1）-]斜多项式的中心，[z]是[Aε]的二次正则中心元，则[CA！ε（z）]有如下的分类。

（a） 当[z=a1x1x2+a2x24]或[z=a1x1x2+a2x23]时，

[CA！ε（z）≅Kx1， x2， x3， x4x1x2+x2x1-a1， x1x3+k1x3x1， x1x4+k2x4x1，x2x3+1k1x3x2， x2x4+1k2x4x2， x3x4+k3x4x3，" " " " " " " " " " " " "x21， x22， x23， x24-a2]

（b） 当[z=a1x21+a2x22]时，

[CA！ε（z）≅Kx1， x2， x3， x4x1x2+x2x1， x1x3+k1x3x1， x1x4+k2x4x1，x2x3+1k1x3x2， x2x4+1k2x4x2， x3x4+k3x4x3，" " " " " " " " " "x21-a1， x22-a2， x23， x24]

（c） 当[z=a1x1x2+a2x3x4]时，

[CA！ε（z）≅Kx1， x2， x3， x4x1x2+x2x1-a1， x1x3+k1x3x1， x1x4+k2x4x1，x2x3+1k1x3x2， x2x4+1k2x4x2， x3x4+x4x3-a2，" " " " " " " " " " " " " " " "x21， x22， x23， x24]

（d） 当[z=a1x1x2+a2x1x4]时，

[CA！ε（z）≅Kx1， x2， x3， x4x1x2+x2x1-a， x1x3+k1x3x1， x1x4+k2x4x1-a2，x2x3+1k1x3x2， x2x4+1k2x4x2， x3x4+x4x3，" " " " " " " " " " " " " " " "x21， x22， x23， x24]

（e） 当[z=a1x1x2+a2x1x3]时，

[CA！ε（z）≅Kx1， x2， x3， x4x1x2+x2x1-a1， x1x3+k1x3x1-a2， x1x4+k2x4x1，x2x3+1k1x3x2， x2x4+1k2x4x2， x3x4+x4x3，" " " " " " " " " " " " " " " " "x21， x22， x23， x24]

4" " "结论

本文在分次代数同构的意义下，对[n]元分次[（±1）-]斜多项式进行了分类。对于4元非[（±1）-]斜多项式， 给出了中心至少含有一项交叉项时中心与斜多项式系数之间的关系，得到了更加丰富的非交换二次超曲面代数。而后利用图论方法以及Clifford形变，刻画了4元分次斜多项式二次超曲面代数的极大Cohen-Macaulay模范畴的稳定范畴。后续可以在此基础上考虑使用非交换[Knorrer]周期性定理，并将其用于非交换二次超曲面代数的分类。

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责任编辑" "孙" "涧

［收稿日期］" "2024-08-18

［基金项目］" "浙江省自然科学基金项目（LY24A010006）

［作者简介］" "刘旸（1999- ），男，浙江理工大学理学院硕士研究生，研究方向：非交换代数。