导体球壳内外电场与电势分布的可视化研究

［摘 要］内屏蔽的相关知识抽象性强、复杂度高，是培养资优生科学素养的拓展素材。文章结合内屏蔽内容，针对学生的学习困惑，探究点电荷位于非球心位置时导体球壳内外电场与电势的分布情况。利用镜像法确定了导体球壳内表面感应电荷的分布；基于叠加原理，推导出了导体球壳空间电场电势的表达式；根据电场强度与电势的微分关系，得到了电场的分布情况。通过Mathematica软件进行数值计算与绘图，实现了电场与电势分布的可视化，帮助学生构建了清晰的内屏蔽概念。

［关键词］内屏蔽;导体球壳;电场；电势；分布

［中图分类号］" " G633.7" " " " " " " " ［文献标识码］" " A" " " " " " " " ［文章编号］" " 1674-6058（2024）32-0033-04

人教版高中物理必修第三册第九章第四节“静电的防止与利用”介绍了静电屏蔽的概念，作为静电平衡知识的拓展。静电屏蔽分为外屏蔽和内屏蔽两类。教材详细分析了外屏蔽现象并实验验证了导体内部不受外电场影响。物理规律往往展现出对称之美，既然导体内部可以不受外电场影响，那么导体外部是否可以免受内电场的影响呢？教材对此并未给出明确的解释与说明。内屏蔽的相关知识抽象性强、复杂度高，较难理解，可作为培养资优生科学思维的拓展素材。教师应根据学生情况进行拓展教学。

已有学者对屏蔽内电场的教学展开研究，如田双老师运用高斯定理分析了点电荷位于导体球壳球心时的场强情况[1]。本文聚焦学生常感到困惑的两大问题“若点电荷位于非球心位置，空间电场的电势如何分布？为什么导体球壳内点电荷的移动对球壳外电场没有影响？”进行探讨。

一、利用“镜像法”确定导体球壳内表面感应电荷分布

处于静电平衡的导体球壳（内径为[R1]，外径为[R2]）内距球心[a]处有一点电荷[+Q]。以球心O为坐标原点，球心与点电荷的连线为[y]轴正方向，建立空间直角坐标系，如图1所示。

导体球壳内表面感应负电荷与点电荷在球壳内部区域所产生的作用效果（包括力学和电磁学效应）均可等效为镜像电荷与点电荷共同产生的作用效果。因此，导体球壳内任意一点的电势可表示为：

由①式可得导体球壳内表面感应电荷面密度：

利用电荷密度的面积分求出导体球壳内表面感应电荷的电量：

可以看出，球壳内壁感应出等量的负电荷。

二、基于“叠加原理”推导导体球壳空间电场电势的表达式

镜像法在利用点电荷与镜像电荷的共同作用等效求解空间电场电势时存在局限性。它主要适用于求解点电荷所在区域（即球壳内部空间）的电场强度，而对于球外空间的电场强度无法直接求解。为了打破这一限制，我们可以转换思路，利用叠加原理来求解。具体来说，可以根据球壳表面感应电荷分布以及点电荷的位置来确定球外空间的电势分布，再结合电场强度与电势之间的微分关系进一步确定电场强度的大小。由于整体系统关于[y]轴对称，因此研究过[y]轴的任一平面便可推断球外空间的整体情况。为此，可选取[z=0]这一平面（以下简称平面）展开研究，[P（x，y，0）]为该平面上的任意一点。

（一）接地导体球壳

1.电势分布

导体球壳内表面感应负电荷产生的电势：

导体球壳接地时，外表面不带电，因此总电势为点电荷与内表面感应负电荷产生电势的叠加，即[U=UQ+U1]" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " ⑥

2.电场分布

由电场强度与电势的关系知：[E=-∇U]" " " " "⑦

可得：

由⑥、⑧式可得到平面内电场的分布情况，作出电场分布图（见图3）。从图3可以看出，球壳内壁以外空间电场强度恒为0，球壳内部电场强度大于0，且在球壳内表面处发生跃变。其中[y=1]时，跃变量最大，以[x=0]为对称轴，随着[y]的减小，球壳内表面两侧电场强度的差值逐渐减小；当[y=-1]时，跃变量最小。说明与点电荷距离近的球壳处，电场强度突变快;与点电荷距离远的球壳处，电场强度突变慢。

3.电场线与等势面分布图

为了直观展示电场强度的矢量特性及其与电势的关系，我们作出了平面电场线与等势面分布图（见图4）。图4显示，导体球壳及外部电场强度与电势均为0。在球壳内部，电场强度受到点电荷与感应负电荷的影响，靠近点电荷的地方，球壳内表面感应电荷面密度越大，其附近电场强度大，电场线与等势面密集。

（二）不接地导体球壳

1.电势分布

当导体球壳不接地时，内表面会感应出等量异种电荷，且感应负电荷分布情况不变；外表面会感应出正电荷，总量为[Q]，分布情况由所处电场及导体形状决定。

由于导体球壳内表面感应电荷与点电荷在球壳内壁以外的空间中激发的合电场强度恒为0，因此球壳外表面感应正电荷不受外部电场的作用力，均匀分布在外球面上。

导体球壳外表面感应电荷面密度：

导体球壳外表面感应正电荷产生的电势：

总电势为点电荷、导体球壳内表面感应负电荷与外表面感应正电荷产生电势的叠加：

[U=UQ+U1+U2]" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "⑪

将④、⑤、⑩式代入⑪式即可求得平面内电势，电势分布如图5所示。由图5可以看出，各部分电势呈现连续分布。其中，球壳外部电势随着离球心距离增大而降低；球壳内部电势保持恒定，球壳内部越靠近点电荷的地方，电势升高越快。与接地导体球壳周围空间的电势相比，两者球内电势分布趋势相同，外表面感应电荷对球内电势的影响仅是将各部分电势都提高一个定值，但对球壳外部的电势有作用，使得外部电势不为0。

2.电场分布

由电场强度与电势的微分关系有：

[E′=-∇U]" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "⑫

可得：

由⑪、⑬式即可得出平面内的场强分布，并作出电场分布图（见图6）。从图6可以看出，导体球壳内电场强度为0，球壳内外电场强度均大于0，且电场强度在球壳内外表面处发生跃变。其中，在球壳外表面两侧，电场强度的跃变量相同，而在球壳内表面两侧，电场强度的跃变量则不同，越靠近点电荷的地方跃变量越大。与接地时导体球壳周围空间的电场分布相比，球壳内电场强度分布保持不变。这表明球壳外表面感应电荷对球壳内空间电场没有贡献，而球壳外部电场会受到外表面感应正电荷的影响，导致电场强度随着离球心距离的增大而减小。

3.电场线与等势面分布

为了直观展示电场线与等势面的空间分布，我们作出了平面内电场强度与等势面分布图（见图7）。图中显示，导体球壳及其内部的电场线分布与球壳接地时情形相同。球壳外部空间的电场电势分布与一个位于球心、电荷量相等的点电荷产生的作用效果相同，在球壳外表面处电场强度最大、电势最高，随着离球心距离的增大电场强度减小，电势降低。

三、小结

研究发现，导体球壳对内电场有屏蔽作用。当球壳外壁接地时，球壳内表面感应电荷与点电荷在导体球壳外部空间共同激发的合电场强度为0，即外部空间不受到内电场的影响，实现了内屏蔽。当球壳外壁不接地时，外表面感应电荷在球壳外部激发的电场与球壳内点电荷所处的位置无关，可以等效为电荷集中于球心处的点电荷产生的电场。究其本质是由于点电荷与内表面感应电荷产生的电场在壳外空间能够相互抵消，不显示作用效果。因此，外表面上的感应电荷始终保持均匀分布，外部电场也不随点电荷位置的变化而变化，这同样可以被视为一种“屏蔽”。

内屏蔽的内容较抽象且难度较大，主要考查学生的科学推理与分析能力。真正理解内屏蔽概念需形成正确的科学本质观，即内电场与内表面感应电荷产生的电场在球壳外部始终相互抵消，内电场变化对外部空间电场没有影响。

本文通过Mathematica软件进行数值计算与绘图，从数理方法与图形结合两个方面向学生展示内屏蔽的本质规律，既丰富了学生的感性认识，又提升了学生的模型建构能力，实现了对知识的深度理解。

［" "参" "考" "文" "献" "］

[1]" 田双.关于屏蔽内电场的教学研究[J].中学物理教学参考，2023（10）：11-13.

[2]" 郭硕鸿.电动力学[M].3版.北京：高等教育出版社，2008.

[3]" 廖其力，邓娅，余艳.导体球壳内的电场[J].物理与工程，2019（5）：90-95.