初中几何入门教学的建议和思考

摘要：三角形内角和定理的证明是初中阶段进入几何证明的开篇，但是，有的教师在教学实践中缺少立足于学生认知现状的自然过渡.在教学“三角形内角和为180°”一课时，教师可以借助小学阶段的撕、拼直观操作活动，再结合学生已有的知识储备，较自然地获得推理论证的途径.

关键词：三角形内角和；直观操作；推理论证

几何入门教学历来被重视，但是学生的学习效果并不是很理想.初中的学生在添加辅助线、证明思路的获得上颇为困难.本文中以“三角形的内角和为180°”一课为例，针对几何入门教学做一些探讨.

1 理解数学知识的地位和作用

个别教师在三角形内角和这一课时教学中，没有引导学生关注初中阶段和小学阶段数学学习的区别与联系，而是直接指出“在小学阶段已经学习过三角形的内角和等于180°，今天我们一起来证明这个结论”，然后就开始向学生直接展示如何添加辅助线进行证明，最后用几何语言书写.但是，学生对于为什么进入初中后要证明这个结论，以及为什么要如此作辅助线不得而知.这样的教学没有做到前后知识的连贯，只是一味地将知识灌输给学生，使得学生不能达到对知识的结构性理解与建构.

2 深度理解学生

教学活动的出发点是学生的发展，教师在授课前应充分了解学生.具体体现在以下三点：

（1）学生的知识储备.学生在小学阶段已经掌握了哪些知识，进入初中阶段，前面学习的哪些知识可以为今天这节课提供帮助？学生在小学阶段已经知道“三角形内角和等于180°”这个结论，但是并没有证明；在今天这节课之前，学生已经学习了线段、射线、直线和角的相关知识，还学习了平行线的性质和判定定理.

（2）学生的认知经验.在小学阶段，学生是通过测量或撕纸得到三角形的内角和等于180°的，即是通过形象的观察和操作得到的.进入初中阶段，学生要经历从前面实验几何的合情推理到后面论证几何的演绎推理，思维水平正处在形象思维到抽象思维的过渡时期[1].学生不仅要学习具体的新知识，还要体会直观操作和几何论证的区别与联系，并且理解证明的必要性.

（3）学生可能存在的学习困难.七年级的学生正处于小学向初中的过渡时期，在学习三角形内角和定理时，主要存在以下几个方面的困难：第一是作图、识图困难，他们还停留在小学阶段的直观感受；第二是探索证明的思路困难，特别是构造正确的辅助线对大多数学生来说更是难上加难；第三是几何语言的表述困难，学生对于几何语言的书写还比较陌生，对于文字语言、符号语言的转换还比较困难；第四个是知识难以结构化[2].

3 教学过程应关注学生思维的发展

师：小学我们就知道，三角形的内角和等于180°.那在小学阶段是怎么得到这个结论的呢？

生1：分别测量三角形三个角的度数，再把它们加起来；还能把三个角撕下来，拼在一起形成平角.（学生上台展示.）

师：很好，看来同学们小学的基础非常扎实.同学们刚才提到的测量以及撕、拼操作，都存在一定的误差，那进入初中，我们能不能用所学的知识来证明它呢？

教学说明：从小学知识入手，让学生动手参与到课堂中来，并从中感受到初中数学与小学数学的区别和联系.

师：这是（图1）生1刚才说的撕、拼的结果，此时∠EAF是一个什么角？

生：平角.

师：那请问同学们，怎么确定点E，A，F在同一条直线上呢？

生2：∵∠1＝∠B，∠2＝∠C，

∴AE∥BC，AF∥BC.

∴点E，A，F在同一条直线上（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行）.

∴∠1+∠BAC+∠2=180°.

∴∠B+∠C+∠BAC=180°.

教学说明：从小学的测量以及撕、拼操作，到初中阶段的推理证明，感受数学的严谨性，引导学生逐步形成证明思路.

师：非常好！但是我们不可能每次拿着一个三角形都靠撕角的方法来解决吧，类比撕、拼的方法，如果任意给你一个三角形，又该如何处理呢？

生2：如图2，过顶点A作其对边BC的平行线.

∵EF∥BC，

∴∠EAB=∠B，∠FAC=∠C.

又∠EAB+∠BAC+∠FAC=180°，

∴∠B+∠BAC+∠C=180°.

师：很好，通过推理，我们就从小学阶段的测量和撕、拼操作转化为初中阶段的几何证明.

教学说明：从动手操作到纯几何证明，引导学生将实际问题转化为数学问题，并能够用数学语言来表述.

师：要证明三角形内角和为180°，除了平角外，你还能想到什么？

生：两直线平行，同旁内角互补.

师：那怎样构造出同旁内角呢？

生3：∠EAC和∠C.

师：非常好！那相当于就是过顶点A作角A对边的什么？

生：作平行于BC的射线.

师：有没有同学能够按照这个思路证明呢？

生4：如图3，过点A作射线AE∥BC.

∵AE∥BC，

∴∠EAB＝∠B，

∠C+∠EAC=180°.

∴∠EAB+∠BAC+∠C=180°.

∴∠B+∠C+∠BAC=180°.

师：很好，几何语言也很正确！那如果在它的基础上延长CA，如图3，又该如何证明呢？

生5：∵AE∥BC，

∴∠C＝∠2，∠B=∠1.

又∠1+∠2+∠BAC=180°，

∴∠B+∠C+∠BAC=180°.

师：非常完美，给你点赞！通过刚才的推导过程，我们知道要证明三角形的内角和为180°，主要是构造出平角或者同旁内角.那么，如果在三角形的边上或者三角形的内部（外部）任取一点P，可否通过作辅助线证明三角形内角和等于180°呢？这个问题留着同学们课后探讨.

教学说明：鼓励学生从不同角度思考问题，发散思维.

在本节课的教学中，教师要让学生知道，为什么小学阶段已经学习过三角形内角和等于180°，但是到了初中阶段还要继续研究并对其进行证明.对于初中的学生，思维的发生发展既要有合情推理也要进行演绎推理，做到二者相辅相成、相互支撑，才更有利于他们的几何入门学习[3].在初中“图形与几何”领域的教学中，要善于引导学生利用合情推理发现一些结论，并理解证明的必要性；再依据学过的数学原理来论证这些结论的正确性，发展学生的直观想象、数学抽象和逻辑推理能力.

4 结束语

几何的教学方法多种多样，但教师应重在帮助学生掌握研究平面图形的一般方法和技巧，形成知识体系，锻炼学生自己解决问题的能力.数学的学习是螺旋上升的，教师需要理解学生现状，清楚知道不同学段有不同的教学要求，重视对学生知识的构建以及数学迁移能力的培养.通过合理的教学设计和实施方法，注重培养学生各方面的素养，从而使其能更好地适应未来的发展需要.

参考文献：

[1]孟惠.初中几何课教学中提升学生的数学核心素养——以《三角形的内角和是180°》为例[J].读写算，2021（10）：191-192.

[2]李婷.HPM视角下的“三角形内角和定理”教学设计[J].中小学数学（初中版），2021（5）：54-56.

[3]陈静.波利亚解题思想在初中几何命题教学中的实践研究——以“三角形的内角和定理”为例[J].数学教学研究，2022，41（6）：37-41.