遵循原则巧分类，化整为零找技巧

摘要：分类讨论是解决问题的一种重要方法，它要求在遵循分类原则的前提下，灵活运用“化整为零、分别对待、各个击破”的策略与技巧；分类讨论的过程，充分体现了“同中求异”与“异中求同”两种思维方式的有机结合.本文中结合具体案例，给出了合理分类”三原则“，以及分类讨论思想在解题中的运用技巧.

关键词：分类三原则；常规类问题；不确定问题；动态图形问题

分类思想，就是根据数学对象属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种重要的数学思想.所谓数学分类讨论方法，就是指根据一定的原则和标准，采用“化整为零、分别对待、各个击破”的策略，将数学对象分成几类，通过分别讨论来解决问题的一种数学方法.在具体的运用过程中，先抓住问题涉及的对象的不同特点，分为若干既不重复、又不遗漏的几类，分别进行讨论，这是同中求异的过程；然后将各类情况的共同特征加以综合，得出结论，这又是异中求同的过程.

在初中数学的学习中，分类讨论思想随处可见：既有对“数”的分类，也有对“形”的分类；既有概念、公式、法则、性质上的分类，也有解题方法上的分类.例如，在代数中含有字母系数的方程、不等式、函数的解析式等问题常常需要分类讨论.在几何中，如果题目中给出直角三角形，那么需要讨论哪个角是直角；如果给出等腰三角形的一条边，那么就要讨论这条边是底还是腰[1]；如果是动态图形，就要讨论图形的位置.由于分类讨论是初中数学中的重要思想，因此也成为了近几年各地中考命题的热点.

1 合理分类“三原则”

将研究对象进行合理分类，需要遵循以下三条原则：

（1）分类要按同一标准（分类的一致性或同一性）

例如三角形，按角可分为直角三角形斜三角形锐角三角形钝角三角形

按边可分为非等腰三角形等腰三角形仅两边相等的三角形等边三角形

（2）分类不能有遗漏（分类的完备性）

例如，已知a为任意实数，试比较a与2a的大小.

正确的解答是分三种情况讨论：

当agt;0时，alt;2a；当alt;0时，agt;2a；

当a=0时，a=2a.

有些同学只答了agt;0和alt;0两种情况，而遗漏了a=0的情况，这样的分类就是不完备的.

（3）分类不能重复（分类的纯粹性）

例如，有些同学把三角形错误地分成不等边三角形、等腰三角形、等边三角形.由于等边三角形包含在等腰三角形中，因此，这种分类法就重复出现了等边三角形.

2 分类讨论思想在解题中的运用技巧

2.1 常规类型问题

例1""等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1∶2，则等腰三角形的顶角为（""）.

A.30°

B.60°

C.150°

D.30°或150°

解：如图1，在锐角等腰三角形ABC中，CD为腰AB上的高，CD∶AB=1∶2.因为AB=AC，所以CD∶AC=1∶2.故在Rt△ADC中，∠A=30°.

如图2，在钝角等腰三角形ABC中，CD为腰AB上的高，交BA的延长线于点D.在Rt△ADC中，因为CD∶AC=1∶2，所以∠DAC=30°.因为∠BAC+∠DAC=180°，所以∠BAC=150°.

综上所述，等腰三角形的顶角为30°或150°.

故答案应选：D.

思路与技巧：本题属于常规类型问题.已知条件中只给出等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1∶2，而符合条件的等腰三角形可能是锐角等腰三角形，也可能是钝角等腰三角形，这就要分两种情况进行讨论.由此可见，在解答有关三角形常规类问题，特别是求与角或边有关的问题时，在没有特别说明腰、底边、顶角、底角的情况下，常要用到分类讨论思想.

2.2 不确定因素问题

例2""已知点P到圆O的最近距离为3 cm，最远距离为9 cm.求圆O的半径.

解：（1）当点P在圆O外时，如图3，PA=3 cm，PB=9 cm，则有AB=PB－PA=9－3=6（cm），所以圆O的半径为3 cm.

（2）当点P在圆O内时，如图4，PA=3 cm，PB=9 cm，则有AB=AP+PB=9+3=12（cm），所以圆O的半径为6 cm.

综上所述，圆O的半径为3 cm或6 cm.

思路与技巧：本题已知条件中点P与圆O的位置关系不确定，因此需要分类讨论.由已知可得点P不可能在圆O上，所以点P的位置可能在圆O内，也可能在圆O外.

2.3 动态图形中的位置问题

例3""如图5，正三角形ABC的边长为1，点P在AB上运动（与点A，B不重合），PQ⊥BC，QR⊥AC，RS⊥AB，Q，R，S分别为垂足，设BP=x，AS=y.

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当点P到点S的距离为14时，求AP的长.

解：（1）由含30°角的直角三角形性质，可得AR=2y，则RC=1－2y，所以CQ=2CR=2－4y，BQ=1－CQ=4y－1，BP=2BQ=8y－2，即x=8y－2.

所以y=x8+14（0lt;xlt;1）.

（2）当点P到点S的距离为14时，有下列两种情况.

①如图5，当点S在线段AP上时，有y+14+x=1，则x8+14+14+x=1，解得x=49.

所以AP=1－BP=1－x=59.

②如图6，当点S在线段BP上时，有y－14+x=1，则x8+14-14+x=1，解得x=89.

所以AP=1－BP=1－x=19.

综上所述，当点P到点S的距离为14时，AP的长为59或19.

思路与技巧：在动态图形中要抓住动点（动直线）与定点或定直线的不同位置进行分类讨论.例如，本题中的点P可能在点S的两侧，所以要分“点S在线段AP上”“点S在线段BP上”两种情况讨论.

运用分类讨论思想解题时，要注意标准统一，且不重不漏[2]；要遵循分类原则，明确分类标准，熟练掌握“化整为零、各个击破”，“同中求异”与“异中求同”有机结合等方法与技巧；在解决不同类型的具体问题时，要灵活运用“转化”策略，准确理解题意，认真分析题设条件，为我所用，达到快速、高效解题的目的.

参考文献：

[1]顾艳.分类讨论思想在数学教学中的渗透——以中考一轮复习课《等腰三角形问题》为例[J].教育研究与评论（课堂观察），2019（4）：60-63.

[2]陈艳阳.分类讨论思想在数学解题中的运用[J].数理化解题研究，2021（23）：30-31.