关于时间中点与位移中点的两个结论及其应用

摘" 要：时间中点与位移中点，是描述质点运动的两个重要概念.关于时间中点与位移中点，有两个结论.结论一指出，在匀变速运动中，质点在一段时间内的平均速度等于该段时间中间时刻的瞬时速度；结论二指出，在匀变速运动中，合外力的作用线通过时间中点及相对应的位移中点，且合外力的方向由时间中点相对应的点指向位移中点.本文在推证结论的基础上例举应用.

关键词：匀变速运动；时间中点；位移中点

中图分类号：G632""" 文献标识码：A""" 文章编号：1008-0333（2024）22-0117-04

收稿日期：2024-05-05

作者简介：许冬保 （1963—），男，江西省九江人，正高级教师，特级教师.从事高中物理教学研究.

时间中点与位移中点，是描述质点运动的两个重要概念.时间中点即中间时刻.在直线运动中，位移中点即中间位置；在曲线运动中，位移中点即质点相对某参考点位置矢量变化量的中点.关于时间中点与位移中点的相关论述，充斥在教学辅导参考书［1-2］之中的莫过于如下的内容：在匀变速直线运动中，若已知始、末速度，便可求出中间位置的速度与中间时刻的速度，且中间位置的速度大于中间时刻的速度.在匀变速运动中，本文提出与时间中点与位移中点相关的两个结论，并在推证的基础上介绍其应用.

1" 结论一

在匀变速运动中，质点在一段时间内的平均速度等于该段时间中间时刻的瞬时速度.

对于匀变速直线运动，结论一显然是成立的.在匀变速曲线运动中仍然成立［3-4］.下面以平抛运动为例验证.

设质点以初速度v0做平抛运动，如图1，经时间t运动至Q点，Q点坐标为（x、y），位移l与x轴偏角为α；若P点为质点在t2的位置，速度为v，其两个分量分别为vx、vy，速度v与x轴偏角为β.由平抛运动的规律，有

x=v0t，y=12gt2，l=x2+y2，tanα=yx.

vx=v0，vy=12gt，v=v2x+v2y，tanβ=vyvx.

图1" 平抛运动速度分析

联立解得

v=v20+14g2t2， tanα=tanβ=gt2v0.

t内质点运动的平均速度大小为 v-=lt=v20+14g2t2，显然 v-=v.

综上：做匀变速曲线运动的质点，在一段时间t内的平均速度等于t2时刻的速度.强调指出的是，此处速度相等既包括大小也包括方向；速度方向相同在图形上表现为轨迹线上某点切线方向（即瞬时速度方向）与相应的一段弦（即位移方向）是平行关系.

2" 结论二

在匀变速运动中，合外力的作用线通过时间中点及相对应的位移中点，且合外力的方向由时间中点相对应的点指向位移中点.

以下依匀变速直线运动及匀变速曲线运动进行分析.

2.1" 匀变速直线运动中时间中点与位移中点间的关系

如图2，质点由A向B做匀加速直线运动，中间时刻、中间位置对应图中P、Q两点，由于中间位置的速度大于中间时刻的速度，因此P在Q之左侧，显然加速度方向由P指向Q.

图2" 匀加速直线运动分析" 图3" 匀减速直线运动分析

如图3，质点由A向B做匀减速直线运动，同理可知，P在Q之右侧，加速度方向由P指向Q.

由牛顿运动定律知，合外力方向与加速度方向相同，因此，在匀变速直线运动中，合外力方向是由中间时刻对应的点指向中间位置的.

2.2" 匀变速曲线运动中时间中点与位移中点间的关系

对于匀变速曲线运动，以斜上抛运动为例，进行论证.以下分几种情形进行讨论.

2.2.1" 质点与抛出点在同一水平线上

如图4，质点以初速度v0做斜上抛运动，a为抛出点，b

点与a处在同一水平面上.若质点仅受重力作用，则质点做匀变速曲线运动.建立图示坐标系，最高点为p.由对称性知，质点沿ap段运动时间与沿pb段运动时间相等.取ab连线中点c，则重力的作用线一定通过pc连线，重力方向竖直向下，由p指向c.

图4" 斜抛运动最高点分析

2.2.2" 质点在通过抛出点水平线的上方

考查质点在抛出点上方（图5）的情形，图中apb为研究的一段曲线，b′为b在x轴上的投影.若过p点的切线方向与ab连线平行，则p点为质点在ab曲线上运动中间时刻的位置；作p在x轴上的投影c′，因质点在水平方向做匀速运动，故c′为ab′连线中点；作ab连线中点c，则c、c′必为Δabb′的中位线，显然，p、c、c′在同一竖直线上.因此，重力的作用线一定通过pc连线，方向由p指向c.

图5" 斜抛运动抛出点上方分析

质点在抛出点水平线下方的情形，同理可证.

2.2.3" 质点在抛物线上的任意两位置

如图6，对质点在任意一段曲线apb进行分析.a′、b′分别为a、b在x轴上的投影.若过p点的切线方向与ab平行，则p点为质点沿apb曲线运动的中间时刻的位置；作p点在x轴上的投影c′，因质点的水平分运动为匀速运动，故c′为a′b′连线中点.如图7，过c′点作ab平行线a″b″；a″、b″分别在aa′连线及b′b延长线上，容易得到 Δa″c′a′Δb″c′b′，则pc′连线与ab连线之交点c，一定在ab连线之中点.因此，重力的作用线一定通过pc连线，方向由p指向c.

图6" 斜抛运动任意一段曲线分析1

图7" 斜抛运动任意一段曲线分析2

3" 结论应用

3.1" 斜面上平抛运动的应用

例1" 如图8，在倾角为θ的斜面上，以初速度v0水平抛出一小球，经过一段时间后，小球仍落在斜面上.若不计空气阻力，重力加速度为g.则从抛出开始计时，求：

（1）经多长时间小球离斜面的距离最大；

（2）小球离斜面距离最大处与小球位移中点之间的距离.

解析" （1）如图9，建立坐标系，小球离开斜面的距离达到最大时（对应a点），其速度方向一定平行斜面；将a点的速度沿x、y坐标轴进行分解，有 v0tanθ=gt，解得 t=v0tanθg.

图8" 斜面上的平抛运动

（2）因v与Oc平行，故由结论1知，a点是平抛运动中间时刻的位置.a点的纵坐标为 ya=12gt2；取Oc中点b，由结论2知，重力作用线通过ab连线.小球到达c点时，有 yc=12g2t2=2gt2，则b点的纵坐标为 yb=12yc=gt2.

因此 ab之长度为Δy＝yb-ya=12gt2.

代入问题（1）中所得时间t，得 Δy=v20tan2θ2g.

图9" 斜面上的平抛运动分析

点评" a点是小球离开斜面距离最大的点，因此，a点的速度方向平行于斜面，且a点为中间时刻的位置.本题第（2）问，还有另一种分析方法：沿平行斜面及垂直斜面两个方向建立坐标系，并将速度v0及加速度g进行分解，则小球在垂直于斜面方向的初速度大小为v0sinθ、加速度大小为gcosθ，可以得到小球离开斜面的最大距离为 H=v20sin2θ2gcosθ；根据结论2，ab为竖直方向，则ab之长度为 Δy＝Hcosθ，所得结果同上.

3.2" 平面上类平抛运动的应用

例2" 如图10，水平面内有一固定直角坐标系，质量为m=1 kg的质点从原点O以一定的初速度沿+y方向运动，同时对质点施加两个恒力，其中F1 沿-y方向、大小为10 N，F2沿第一象限角平分线、大小未知，质点恰沿抛物线x=4y2运动，且通过点P（14m，14m），则 （" ）.

图10" 质点沿抛物线运动

A.F2的大小为10 N

B.质点初速度大小为5 m/s

C.从O点运动到P点的过程中，F2对质点所做的功为5 J

D.从O点运动到P点的过程中，F1对质点的冲量大小为5N·s

解析" 对抛物线方程x=4y2微分，有 dydx=18y.为在抛物线上寻找与OP平行的切线方向，令dydx=tan45°=1，纵坐标为 y=18m，对应图11中的a点.由结论一知，a点为质点运动中间时刻的位置.根据P点的坐标及过OP直线的分布可知，OP连线中点b的纵坐标为 y=18m.由结论二及曲线运动中力与运动的关系知，合外力方向一定平行x轴由a指向b.因此 F1=F2sin45°，F=F2cos45°.解得F2=102 N.由牛顿运动定律知，质点运动的加速度大小为a=Fm=10 m/s2.

图11" 质点受力与运动情况的分析

由类平抛运动规律，得 14=v0t，14=12at2.解得 t=510 s，v0=52 m/s［5］.

在O点到P点的过程中，F2对质点做功为

W=F2·OP=5 J.

在O点到P点的过程中，F1对质点的冲量I=F1·t=5 N·s.

综上，正确选项是C、D.

点评" 试题给出初速度方向，结合抛物线轨迹，能够判定质点作类平抛运动，且O点为平抛运动起始点.根据平抛运动的定义，可以得到质点所受合外力的方向必沿x轴正方向，如此分析，对学生的理解能力及推理能力要求较高.根据结论一、二进行分析推理，思路简洁明了，有利于促进思维品质的优化.

3.3" 电场中类平抛运动的应用

例3" 在匀强电场中，一带正电的粒子仅在电场力作用下的一段运动轨迹如图12，电场未画出.轨迹上c点处的切线与ab连线平行，c点处速度方向如图，d为ab连线的中点.下列说法正确的是

（" ）.

A.粒子在ac间运动的时间等于在bc间运动的时间

B.粒子在c点时速度最小

C.场强方向沿cd连线方向，且由c指向d

D.场强方向与ab连线方向垂直图12" 匀强电场中粒子运动

解析" 由题意知，带电粒子在匀强电场中做匀变速曲线运动.已知轨迹上c点处的切线与ab连线平行，由结论一知，抛物线上的c点即为粒子运动的中间时刻的位置.

已知“d为ab连线的中点”，由结论二知，cd连线方向即为电场力的方向，粒子带正电，则电场强度的方向由c指向d.速度最小处，粒子的速度方向一定与电场力的方向垂直.综上，正确选项是A、C.

点评" 该例表明，匀变速曲线运动中的结论一、二，同样适用于分析匀强电场中的情形.应用结论分析问题，既简洁明了又快捷高效.

4" 结束语

综上，对于匀变速曲线运动，结论一与结论二“联姻”使用，可谓相辅相成、相得益彰.在问题解决中，通过化难为易、化繁为简，能有效促进学科能力与素养的提升.

参考文献：［1］

张大同，赵伟.高中物理精英读本（上）［M］.上海世纪出版集团，2014：21-22.

［2］ 顾得才，张越.重点中学高中物理导读（修订版）［M］.上海：上海教育出版社，2021：4-6.

［3］ 曹闯.“中间时刻速度等于平均速度”对于匀变速曲线运动也成立［J］.中学物理，2014（1）：64.

［4］ 许冬保，朱文惠.匀变速曲线运动的一个结论及其应用［J］.数理化学习，2018（3）：55-56.

［5］ 许冬保.质点沿抛物线运动的三种分析方法［J］.数理化解题研究，2021（13）：74-75.

［责任编辑：李" 璟］