对数平均不等式的证明、背景、隔离及其推广

摘" 要：先给出对数平均不等式及其新颖证明，然后从广义对数平均的单调性得到不等式链，并给出证明，这就得到了对数平均不等式的背景和隔离，最后将对数平均不等式进行推广，并得到不等式链.

关键词：对数平均不等式；背景；隔离；推广；不等式链

中图分类号：G632""" 文献标识码：A""" 文章编号：1008-0333（2024）22-0032-05

收稿日期：2024-05-05

作者简介：李映芝（1989.11—），女，贵州省遵义人，研究生，中学一级教师，从事高中数学教学研究.

对数平均不等式在高考题与模拟题中频繁出现，已经有不少文献对其进行研究［1］. 笔者先从基本不等式的视角给出对数平均不等式的新颖证明，然后从广义对数平均的单调性说明其背景，最后给出对数平均不等式的隔离与推广.

1" 对数平均

定义" 两个正数a，b的对数平均为［2］L（a，b）=b-alnb-lna，a≠b，a，a=b.

事实上，由洛必达法则，得

limb→ab-alnb-lna=limx→ax-alnx-lna

=limx→a11/x

=limx→ax=a.

2" 对数平均不等式

设bgt;agt;0，则ablt;b-alnb-lnalt;a+b2.①

①式称为对数平均不等式.

3" 对数平均不等式的新颖证明

常规的证明方法是构造函数，利用函数的单调性；或者利用几何意义（函数y=1x的凹性），比较梯形与曲边梯形的面积［3］.下面笔者另辟蹊径，从基本不等式的角度给出对数平均不等式的新颖证明.

证明" ①式等价于

2a+blt;lnb-lnab-alt;1ab（bgt;agt;0）. ②

设f（x）=lnb+xa+x，则

lnb-lna=lnba

=f（0）-f（+

SymboleB@ ）

=-∫+

SymboleB@ 0f ′（x）dx

=（b-a）∫+

SymboleB@ 0dx（x+a）（x+b）.③

由基本不等式，得

（x+ab）2lt;（x+a）（x+b）lt;（x+a+b2）2（xgt;0）.④

由③④，得

lnb-lnab-a=∫+

SymboleB@ 0dx（x+a）（x+b）

gt;∫+

SymboleB@ 0dx［x+（a+b）/2］2

=-1x+（a+b）/2" +

SymboleB@ 0

=2a+b，

lnb-lnab-a=∫+

SymboleB@ 0dx（x+a）（x+b）

lt;∫+

SymboleB@ 0dx（x+ab）2

=-1x+ab" +

SymboleB@ 0

=1ab.

故②式得证.

评析" 通过构造函数f（x）=lnb+xa+x，利用微积分基本定理，得到lnb-lnab-a=∫+

SymboleB@ 0dx（x+a）（x+b），再结合基本不等式得到④式，然后放缩即可得证.证明思路清晰，证明方法新颖［4］.

4" 对数平均不等式的背景

定义" 两个正数a和b的广义对数平均（Stolarsky平均）［5］为：

Lr（a，b）=［br-arr（b-a）］1r-1，a≠b，b，""""""""" a=b.

1975年，Stolarsky.K.B［6］证明了：当a≠b时，Lr（a，b）是r的严格递增函数.

经过计算，可得：

定理1" 当r=-1，0，1，2，及agt;0，bgt;0，a≠b时，有

L-1（a，b）=ab（几何平均），

L0（a，b）=limr→0Lr=b-alnb-lna（对数平均），

L1（a，b）=limr→1Lr=1e（bbaa）1b-a（指数平均），

L2（a，b）=a+b2（算术平均）.

证明" L-1（a，b）=ab和L2（a，b）=a+b2是显然的.由洛必达法则，并注意到agt;0，bgt;0且a≠b，故

limr→0br-arr（b-a）=limr→0brlnb-arlnab-a=lnb-lnab-a.

于是L0（a，b）=limr→0Lr=b-alnb-lna.

又因为lnLr=1r-1lnbr-arr（b-a），所以

limr→1lnLr=limr→1ln{（br-ar）/［r（b-a）］}r-1

=limr→1r（b-a）br-ar·（brlnb-arlna）r（b-a）-（br-ar）（b-a）r2（b-a）2

=limr→1［（brlnb-arlna）r-（br-ar）］r（br-ar）

=limr→1（brlnb-arlnabr-ar-1r）

=1b-aln（bbaa）-1，

故L1（a，b）=limr→1Lr=1e（bbaa）1b-a.

由Lr（a，b）的单调性和定理1，得到

定理2" 当bgt;agt;0时，Lr（a，b）有不等式链

L-

SymboleB@ （a，b）lt;…lt;L-1（a，b）lt;L0（a，b）lt;L1（a，b）lt;L2（a，b）lt;…lt;L+

SymboleB@ （a，b），

即alt;…lt;ablt;b-alnb-lnalt;1e（bbaa）1b-alt;a+b2lt;…lt;b.⑤

由广义对数平均（Stolarsky平均）的单调性及以上两个定理，可窥见对数平均不等式的背景及其来龙去脉.

5" 对数平均不等式的一个隔离

定理3" 当bgt;agt;0时，有

ablt;b-alnb-lnalt;a+ab+b3

lt;1e（bbaa）1b-alt;a+b2.

证明" （1） b-alnb-lnalt;a+ab+b3等价于

b/a-1ln（b/a）lt;1+b/a+b/a3.

令x=bagt;1，则只需证

2（1+x+x2）lnxgt;3x2-3.

设f（x）=2（1+x+x2）lnx-3x2+3（xgt;1），则

f ′（x）=（2+4x）lnx+2x+2-4x.

因为xgt;1，所以f ″（x）=4lnx+2（x-1）x2gt;0.

所以f ′（x）在（1，+

SymboleB@ ）单调递增.

故f ′（x）gt;f ′（1）=0.

所以f（x）在（1，+

SymboleB@ ）单调递增.

故f（x）gt;f（1）=0.

即2（1+x+x2）lnxgt;3x2-3.

（2）下面证明：ablt;1e（bbaa）1b-alt;a+b2.

先证明如下引理：

引理" 设f（x）是［a，b］上的连续凹函数，则

f（a）+f（b）2lt;1b-a∫baf（x）dxlt;f（a+b2）.

证明" （ⅰ）对x1，x2∈［a，b］和λ∈（0，1），

令x=（1-λ）a+λb，因为f（x）是凹函数，所以

∫baf（x）dx=（b-a）∫10f［（1-λ）a+λb］dλ，

gt;（b-a）∫10（1-λ）f（a）+λf（b）dλ

=（b-a）12f（a）+12f（b）

=（b-a）f（a）+f（b）2.

所以f（a）+f（b）2lt;1b-a∫baf（x）dx.

（ⅱ）因为f（x）是凹函数，令x0=a+b2，则

f（x）lt;f（x0）+f ′（x0）（x-x0）.

所以∫baf（x）dxlt;（b-a）f（x0）+f ′（x0）∫ba（x-x0）dx=f（x0）.

所以1b-a∫baf（x）dxlt;f（a+b2）.

由（ⅰ）（ⅱ）知引理得证.

因为

e1b-a∫balnxdx=e1b-a（blnb-b-alna+a）

=e1b-a［lnbbaa-（b-a）］

=e1b-alnbbaa-1

=1e（bbaa）1b-a，

所以

ablt;1e（bbaa）1b-alt;a+b2

elnablt;e1b-a∫balnxdxlt;elna+b2

lna+lnb2lt;1b-a∫balnxdxlt;lna+b2.

令f（x）=lnx，则f（x）是［a，b］上的凹函数，根据引理可得

lna+lnb2lt;1b-a∫balnxdxlt;lna+b2.

问题得证.

（3）a+ab+b3lt;1e（bbaa）1b-a的证明留给读者完成.

评析" H（a，b）=a+ab+b3称为a，b的Heron平均.

记L=L0（a，b）=b-alnb-lna，

I=L1（a，b）=1e（bbaa）1b-a，

则定理3即：

Glt;Llt;13G+23Alt;Ilt;A.

下面继续探究G，L，A之间的关系，并将其进行推广.

6" 对数平均不等式的推广

在Llt;13G+23Alt;I的基础上，2001年J.Sandor［7］得到如下结果

I2lt;13G2+23A2.

受到上式的启示，笔者研究了G，L，A的类似关系，得到

L2lt;13G2+23A2.⑥

再将⑥式进行推广，得到如下的结论.

定理4" （1）设0≤λ≤23，则L2lt;λG2+（1-λ）A2.

（2）设λ≥1，则L2gt;λG2+（1-λ）A2.

证明" 要证（1），即证

（b-alnb-lna）2lt;λab+（1-λ）（a+b）24.

两边同时除以a2，并令x=bagt;1，得

（x-1lnx）2lt;λx+（1-λ）（1+x）24.

设h（x）=［4λx+（1-λ）（1+x）2］ln2x4（x-1）2（xgt;1），则只需证h（x）gt;1即可.

求导，得

h′（x）=

-lnx2x（x-1）3·

（2xlnx-3λx2+3λx+x+1-x2-x3-λ+λx3+2x2lnx），

设g（x）=2xlnx-3λx2+3λx+x+1-x2-x3-λ+λx3+2x2lnx，xgt;1，则

g′（x）=3+2lnx-6λx+3λ-3x2+3λx2+4xlnx，

g″（x）=2x-6λ-6x+6λx+4+4lnx，

g（x）=-2x2-6+6λ+4x

=2（-1-3x2+3λx2+2x）x2.

显然，因为xgt;1，0≤λ≤23，所以

g（x）=2（-1-3x2+3λx2+2x）x2

≤2（-1-3x2+2x2+2x）x2

=-2（x-1）2x2lt;0.

从而g″（x）在（1，+

SymboleB@ ）上单调递减.

所以g″（x）lt;g″（1）=0.

从而g′（x）在（1，+

SymboleB@ ）上单调递减.

所以g′（x）lt;g′（1）=0.

从而g（x）在（1，+

SymboleB@ ）上单调递减.

所以g（x）lt;g（1）=0.

故h′（x）gt;0.

从而h（x）在（1，+

SymboleB@ ）上单调递增.

由洛必达法则，得

limx→1+h（x）=

limx→1+18x-8

·{

［4λ+2（1-λ）（1+x）］ln2x+2［4λx+（1-λ）（1+x）2］lnxx}

=limx→1+{14（1-λ）ln2x+12［4λ+2（1-λ）（1+x）］lnxx+14［4λx+（1-λ）（1+x）·1-lnxx2］

=2［4λ+4（1-λ）］8=1.

所以h（x）gt;h（1）=1.（1）得证.

当λ≥1时，因为xgt;1，所以

g（x）=2（-1-3x2+3λx2+2x）x2

≥2（-1-3x2+3x2+2x）x2

=2（2x-1）x2gt;0.

类似可得，h（x）在（1，+

SymboleB@ ）上单调递减.

所以h（x）lt;h（1）=1，（2）得证.

注意到，bgt;agt;0，Glt;A，从而当0≤qlt;λ≤1时，有

λG2+（1-λ）A2lt;qG2+（1-q）A2.⑦

事实上，

λG2+（1-λ）A2-［qG2+（1-q）A2］

=（λ-q）G2-（λ-q）A2

=（λ-q）（G2-A2）lt;0.

由⑦式及定理4，得到不等式链

G2lt;…lt;34G2+14A2lt;…lt;L2lt;23G2+13A2lt;…lt;12G2+12A2lt;13G2+23A2lt;A2.

7" 结束语

对数平均不等式活跃在最近几年的高考试题中，所以有必要对其进行深度研究.从广义对数平均的单调性可知对数平均不等式的背景就是L-1（a，b）lt;L0（a，b）lt;L2（a，b），而且还得到了对数平均不等式的隔离，最后将对数平均不等式进行推广，并获得关于L，G，A的不等式链.对数平均不等式的隔离及其不等式链也许会成为高考命题人命制导数题的背景，读者值得留意.

参考文献：

［1］

蓝云波，何洪标.活跃在各类考试中的对数平均不等式［J］.数学教学，2016（05）：22-25.

［2］ 李鸿昌，徐章韬.关于对数平均的一个不等式的推广［J］.数学通报，2023，62（08）：50-52.

［3］ 甘志国.对数平均不等式及其应用［J］.数学通讯，2019（15）：9-12.

［4］ 张君.对数平均不等式的六种新颖证明及其应用［J］.中学数学研究（华南师范大学版），2023（11）：40-42.

［5］ 匡继昌.常用不等式［M］.5版.济南：山东科学技术出版社，2021.

［6］ K.B.Stolarsky.Generalizations of the Logarithmic Mean［J］.Mathematics Magazine，1975，48（2） ：87-92.

［7］ József Sándor，Tiberiu Trif.Some new inequalities for means of two arguments［J］.International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences，2008，25（8）：525-532.

［责任编辑：李" 璟］