2023年高考物理全国乙卷第33题的深入分析

摘" 要：文章对2023年高考物理全国乙卷一道选考题目进行剖析.通过改变题目给出的封闭容器的形状，得到一个与原来高考题目背景材料类似的变式，并对变式问题进行分析求解.

关键词：封闭容器；等温变化；圆柱形；三棱柱；水银柱；倒置

中图分类号：G632""" 文献标识码：A""" 文章编号：1008-0333（2024）22-0097-03

收稿日期：2024-05-05

作者简介：王伟民（1964—），男，本科，中学高级教师，从事物理解题研究.

理想气体状态方程问题是近几年高考物理的热点问题.

此类问题，在知识层面可以考查学生对理想气体的体积、压强和温度之间横向关系的掌握情况；在能力方面，重点考查学生数理结合思想处理物理问题的能力，因为这类问题的求解过程，通常需要将理想气体状态方程和相关数学知识有机结合.

1" 原题呈现

例1" （2023年高考物理全国乙卷选考题33（2））如图1所示，竖直放置的封闭玻璃管由管径不同、长度均为20 cm的A、B两段细管组成，A管的内径是B管的2倍，B管在上方.管内空气被一段水银柱隔开，水银柱在两管中的长度均为10 cm.现将玻璃管倒置，使A管在上方，平衡后，A管内的空气柱长度改变1 cm.求B管在上方时，玻璃管内两部分气体的压强.（气体温度保持不变，以cmHg为压强单位）图1" 水银在玻璃管内图示

2" 题目分析及解答

本题内容简短，仅用一百多字符的篇幅就把需要交代的物理情景和要求解的物理问题叙述得清楚明白，没有任何歧义或费解之处，体现了编者高超的编拟原创题目的水平.题目以粗细不等的两个柱形玻璃管组成的容器，封闭一定量的气体和水银的组合设置物理模型，考查学生是否具有灵活应用数学知识解决复杂物理问题的能力［1］.

解析" B管在上方时，设B管上方封闭气体的压强为px（单位cmHg，下同），则A管下方封闭气体压强为px+20.玻璃管倒置后，假如里面的水银柱相对容器的位置保持不变，则两部分封闭气体的压强也将分别保持不变，这样，密闭容器中上面封闭气体的压强将大于下面封闭气体的压强.再考虑水银柱自身重力的影响，

水银柱

相对容器会向下移动，而随着水银柱的不断下移，上面封闭气体的体积增大，压强减小，下面封闭气体的体积减小，压强增大，当水银柱向下运动到上、下方向所受气体压力差（指下面压力大于上面压力的情形）与水银柱重力相等位置时，水银柱相对容器保持静止，水银柱在容器中最终情形如图2所示.

图2

玻璃管倒置后与原玻璃管比较图示

因为A管的内径是B管内径的2倍，所以，A管横截面积是B管横截面积的4倍，跟原来液柱相对容器的位置相比，倒置并稳定之后，A管中的水银面下降的高度ΔhA=1 cm，B管水银下面的液面下降ΔhB=4 cm.因此，倒置后管内水银柱的总高度变为23 cm，即上下两部分封闭气体的压强差为23 cmHg.因为一定量的理想气体做等温变化时压强与体积成反比，所以，倒置后A容器上方封闭的气体压强为1011（px+20），B容器下面封闭气体的压强为106px，则有：106px-1011（px+20）=23.解得：px=54.36，所以px+20=74.36.即B管在上方时，玻璃管内上面部分气体的压强为54.36 cmHg，下面部分气体的压强是74.36 cmHg.

在题设其他条件不变的情况下，如果将容器设置为一个粗细均匀的40 cm长的封闭管子竖直放置之后，再倒置的情形，如图3所示，根据题设条件我们也可以确定问题的答案，而且解题过程相对会简单一些［2］.如果我们将容器的形状改为其他非柱形形状，那么，对应的物理过程将会变得更为复杂一些.

图3

柱形玻璃管倒置后与原来玻璃管对比图

3" 原高考题目的变式及解析

例2" 如图4所示，横截面是狭窄等腰三角形的密封薄壁三棱柱形状的容器横放在水平桌面上，图中看到的三角形是横放三棱柱的主视图，其三条棱垂直于画面并往画面内部延伸，三条棱长度很短，均为2 cm，截面等腰三角形底边的高为40 cm，容器内部的空气被一段高为20 cm的水银隔开，此时，其尖端A端和粗端B端封闭空气的高度均为10 cm.现将容器倒置，使粗端A端在上方，并且倒置后侧面等腰三角形底边的高线垂直于水平面，跟原来的状况相比，倒置后粗端A端的空气高度改变了ΔhA=30-2201（单位cm），试求倒置后下面尖端封闭气体的压强与原来未倒置时这部分封闭气体压强的比值（气体温度保持不变，以

cmHg为压强单位）.

图4

水银在棱柱型容器内图示

分析" 该变式将密封容器的形状由原来的两个圆柱体的组合改换为三棱柱形状，而且求解的问题为求解倒置前后某一部分气体压强先后之比［3］.

解析" 设容器侧面等腰三角形底边长是底边高线长度的a倍，为40a，由几何知识可知，该等腰三角形底边高线上距离尖端h位置的水平线被两腰截得的线段长度为ha.因此，图4所示情形中，等腰三角形对应有水银部分的梯形，上下底的长度分别为10a和30a.倒置后的情形如图5（2）所示，由题目条件可知，倒置后容器中水银上边的液面到尖端的距离为2201（以下长度单位cm，面积单位cm2），因此，水银上边液面的水平宽度为2201a，所以，液面下降过程中水银上边的液面在其侧面等腰三角形上扫过的梯形面积为：

图5

棱柱型容器倒置后与原容器对比图示

S梯形A=12（30a+2201a）（30-2201）=48a.

相对于水银面原来的位置，容器倒置并稳定后，设水银下表面下降的距离为ΔhB=y，则下降后的该液面到尖端的距离为10-y，所以，下降后该液面宽为（10-y）a.因此，水银下面的液面下降过程中在容器侧面等腰三角形上扫过梯形的面积为：

S梯形B=12［（10-y）a+10a］y=12（20-y）ya.

水银在下降过程中，上下两个液面在等腰三角形侧面上扫过的两个梯形面积相等，即：

S梯形B=S梯形A.

所以，12（20-y）ya=48a.

整理得：y2-20y+96=0.

解得：y1=8，y2=12.

因为原来尖端朝上时水银上面的液面距离尖端10 cm，倒置后该液面下降的距离不可能大于10 cm，因此y2=12舍去.所以，倒置后下面的液面下降了8 cm.因此，下面封闭气体侧面等腰三角形的高为2 cm，是原来容器正立时，这部分封闭气体侧面等腰三角形高10 cm的15，由相似三角形的性质可知，倒置后下面封闭气体侧面等腰三角形的面积与容器正立时，这部分封闭气体侧面等腰三角形面积之比为1∶25，因此，倒置后下面尖端封闭气体的体积与原来未倒置时这部分封闭气体的体积之比为1∶25，根据气体等温变化的状态方程可知，倒置后下面封闭气体的压强与原来气体压强的比为25∶1.

4" 对变式问题容器倒置后液面下降距离的设定

对这个变式问题，容器倒置后水银会相对容器下降，我们在题设中设定了水银上面液面下降的距离是一个无理数ΔhA=30-2201，这样设定的用意，是为了使得要求解的结果是一个整数——选定整数结果后，倒推得出的ΔhA=30-2201这一数据.

答案是否定的.

如图5（2）所示，倒置之后水银相对容器在原位置的时候，水银下方的空间是确定的，而水银在容器中下降的过程中，其体积保持不变，所以，水银上面液面在下降过程中扫过的体积一定不大于水银下方空气的体积（实际上，连等于也不可能，因为若二者体积相等，则下方的空气体积被压缩为零了，其压强将趋于无穷大，这显然是不可能的）.假设水银上面液面下降的距离为h，则有：

S梯形EFGHlt;S△OCD.

即12［（30-h）a+30a］hlt;12×10a×10.

整理得：h2-60h-100gt;0.

解得：hgt;30+202或hlt;30-202.

因为倒置之后水银还没有相对容器下降时，水银上面的液面距离最下端的尖端O点的距离30 cm，hgt;30+202不合题意，舍去，因此，取hlt;30-202，在此范围内取值，可以求得水银下表面在对应过程中下降的距离.我们在变式中选取的ΔhA=30-2201，就是该范围内的一个可以使得尖端封闭气体在两种情况下压强之比为整数的一个数据.

5" 结束语

2023年高考物理全国乙卷的这道选考题目，编者巧妙设置物理模型，重点考查了学生对理想气体状态方程的掌握和应用情况［4］.改变题设给出的物理模型容器的形状，可以得到与原高考题目背景材料类似的变式，通过对该变式的深入剖析，能够提高学生灵活应用数学知识解决复杂物理问题的能力.

参考文献：［1］

李伟.基于母题情境的习题变式教学初探：以匀变速直线运动中位移的求解为例［J］.数理化解题研究，2023（10）：107-109.

［2］ 方盛，朱海英.基于持久深入学习的教学设计：以“气体的等温变化”教学为例［J］.物理教学，2023（3）：26-30.

［3］ 王智，岳巍巍.“用传感器探究气体等温变化的规律”实验中的误差分析［J］.中学物理教学参考，2022（10）：52-54.

［4］ 卞志荣，宋海峰.基于学科核心素养的课堂演示实验教学：以“气体的等温变化”教学为例［J］.物理教师，2021（10）：29-32.

［责任编辑：李" 璟］