平面几何六大定理在解析几何中的运用

摘" 要：以例证的形式给出了圆幂定理、梅涅劳斯定理、塞瓦定理、蝴蝶定理、帕斯卡定理、托勒密定理在解析几何中的应用.通过相关定理的应用，就能知来路，寻通途，觅幽径，至大道.

关键词：圆幂定理；梅涅劳斯定理；塞瓦定理；蝴蝶定理；帕斯卡定理

中图分类号：G632""" 文献标识码：A""" 文章编号：1008-0333（2024）22-0041-06

收稿日期：2024-05-05

作者简介：唐宜钟（1988.2—），男，陕西省汉中人，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.

解析几何问题的常规解决思路是：建系，点和曲线坐标化，代数运算得出结果.但许多解析几何问题，若能恰当使用平面几何的相关定理，往往能使题目条件清晰，计算简化，本质凸显.这是因为，一方面解析几何中包含着直线、三角形和圆等平面几何的基本图形，可以直接使用平面几何定理；另一方面，通过仿射变换，可以把解析几何中的图形转化为直线、圆等平面几何图形，而不会影响线共点、点共线、线段平行、线段成比例等关系.

1" 圆幂定理

一点P对半径为R的圆O的幂ρ（A）=OP2-R2.圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）以及它们推论的统一与归纳.根据两条与圆有相交关系的线的位置不同，有以下定理：

相交弦定理" 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.

切割线定理" 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.

割线定理" 从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A，B，C，D，则有PA·PB=PC·PD［1］.

例1" 如图1，已知抛物线x2=y.点A（-12，14），B（32，94），抛物线上的点P（x，y）（-12lt;xlt;32），过点B作直线AP的垂线，垂足为点Q，求

|PA|·|PQ|的最大值.

图1" 例1题图

解析" 因为AQ⊥BQ，则点Q在以AB为直径的圆上.

记圆心为T，则T（12，54），|AB|=22.

故|PA|·|PQ|=R2-TP2

=（12AB）2-TP2

=2-［（x-

12）2+（y-54）2］.

将y换为x2并化简，得

|PA|·|PQ|=-x4+32x2+x+316.

结合函数的相关知识可得，当x=1时，|PA|·|PQ|的最大值为2716.

评析" 本题通过圆幂定理，将常规算法中表达式较为复杂的|PA|·|PQ|，转化为（12AB）2-TP2，大大地减少了运算量，使解答变得简单.

例2" 在平面直角坐标系xOy中，已知点F1（-17，0），F2（17，0），|MF1|-|MF2|=2，点M的轨迹为C.

（1）求C的方程；

（2）设点T在直线x=12上，过点T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

解析" （1）x2-y216=1（x≥1）.

（2）由|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，可得A，B，P，Q四点共圆，记为圆ω.

设圆ω的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，与双曲线方程作差并化简，得

15x2-2y2-Dx-Ey-F-16=0.①

设lAB：k1x-y+b1=0，lPQ：k2x-y+b2=0，

记A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），因为（xi，yi）（i=1，2，3，4）既在双曲线上，又在圆上，故而（xi，yi）（i=1，2，3，4）是方程①的解.

方程①可分解为

（k1x-y+b1）·（k2x-y+b2）=0.

展开对比xy项系数，得

k1+k2=0.

评析" 本题利用圆幂定理，得出A，B，P，Q四点共圆，进而通过二次曲线系简化了运算，且通过上述论证，不难得到更多的结论：kAP+kBQ=0，kAQ+kBP=0，点在直线x=12上不是必需的.

2" 梅涅劳斯定理

梅涅劳斯定理" 如图2，设A′，B′，C′分别为△ABC的三边BC，CA，AB所在直线上的点，若A′，B′，C′三点共线，则BA′A′C·CB′B′A·AC′C′B=1［2］.

图2" 梅涅劳斯定理

例3" 如图3，已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的两顶点为A（-2，0），B（2，0），离心率为12.点P（不同于A，B）在椭圆Γ上，点D的坐标为（-4，0），DE=35DP，直线AP与BE交于点Q .求点Q的轨迹方程.

图3" 例3题图

解析" 易得椭圆Γ：x24+y23=1.

对△ADP及截线BQE，由梅涅劳斯定理有

ABBD·DEEP·PQQA=1.

由题意，得ABBD=23，DEEP=32.

故PQQA=1，Q为PA的中点.

易得点Q的轨迹为（x+1）2+43y2=1（y≠0）（此处解答略）.

评析" 本题虽以椭圆为背景，但其基本图形是三角形.在处理与比例有关的问题时，若能选取适当的三角形和截线，利用梅涅劳斯定理，可快速转化条件.

梅涅劳斯逆定理" 设A′，B′，C′分别为△ABC的三边BC，CA，AB所在直线上的点，若BA′A′C·CB′B′A·AC′C′B=1，则A′，B′，C′三点共线.

例4" 已知曲线C：（5-m）x2+（m-2）y2=8（m∈R），设m＝4，曲线C与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线y＝kx+4与曲线C交于不同的两点M，N，直线y＝1与直线BM交于点F．求证：A，F，N三点共线．

解析" 由题意，椭圆C：x2+2y2=8，A（0，2），B（0，-2），记D（0，4），如图4，若A，F，N三点共线，由梅涅劳斯逆定理，对△BMD，只需证明BFFM·MNND·DAAB=1（AFN为截线）.图4" 例4题图

设M（x1，y1），N（x2，y2），

故只需证1-（-2）y1-1·y1-y24-y2·4-22-（-2）=1.

联立直线与椭圆，由韦达定理即可证.

3" 塞瓦定理

塞瓦定理" 如图5，在△ABC的三边BC，CA，AB所在直线上取点A′，B′，C′，若AA′，BB′，CC′三直线平行或共点，则BA′A′C·CB′B′A·AC′C′B=1.

图5" 塞瓦定理

例5" 已知A，B分别为椭圆E：x2a2+y2=1（agt;1）的左、右顶点，G为E的上顶点，AG·GB=8，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．

（1）求E的方程；

（2）证明：直线CD过定点.

解析" （1）x29+y2=1.

（2）如图6，P为直线l上一点.连接AD，CB交于点Q.由对称性，易得点Q在直线l上.

图6" 例5题图

设CD交x轴于点M，l交x轴于点N，对△ABQ及截线DMC，由梅涅劳斯定理，得 AMMB·BCCQ·QDDA=1.

对△ABQ，由于AC，BD，QN交于点P，由塞瓦定理，得

ANNB·BCCQ·QDDA=1.

两式相除，得AMMB=ANNB.

进而可得直线CD过定点M（32，0）.

评析" 本题通过合理构图，选取适当的三角形，分别使用梅涅劳斯定理和塞瓦定理，通过线段的比例式得出了AMMB=ANNB，进而得出定点.当然，能找到如此“奇妙”的比例式，是基于对极点极线和对完全四边形知识的理解.至于点Q在直线l上的严密证明，可参考后文帕斯卡定理.

塞瓦定理逆定理" 在△ABC的三边BC，CA，AB所在直线上取点A′，B′，C′，若BA′A′C·CB′B′A·AC′C′B=1，则AA′，BB′，CC′三直线平行或共点.

例6" 如图7，椭圆Γ：x24+y2=1，A（-2，0），B（0，-1）是椭圆Γ上两点.直线l1：x=-2，l2：y=-1，P（x0，y0）（x0gt;0，y0gt;0）是Γ上的一个动点，l3是过点P且与Γ相切的直线.C，D，E分别是l1与l2，l2与l3，l3与l1的交点.求证：三条直线AD，BE和CP共点.

图7" 例6题图

证明" 直线l3：x0x4+y0y=1，C（-2，-1），易得D（4（y0+1）x0，-1），E（-2，x0+22y0）.

结合椭圆方程x204+y20=1，易计算得

EAAC·CBBD·DPPE=1.

故三条直线AD，BE和CP共点.

4" 蝴蝶定理

蝴蝶定理" 如图8，设M是⊙O中弦EF的中点，过点M任作两条弦AB，CD，连接AC，BD交EF于G，H两点，则M是线段GH的中点.这一定理在圆锥曲线中依然成立.

图8" 蝴蝶定理

例7" 椭圆的长轴A1A2（=2a）与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M（0，r）（bgt;rgt;0）.

（1）写出椭圆的方程，求椭圆焦点坐标及离心率；

（2）如图9，直线y=k1x交椭圆于两点C（x1，y1），D（x2，y2）（y2gt;0），直线y=k2x交椭圆于G（x3，y3），H（x4，y4）（y4gt;0），求证：k1x1x2x1+x2=k2x3x4x3+x4.

图9" 例7题图

（3）对于（2）中的C，D，G，H，设CH交x轴于点P，GD交x轴于点Q，求证：|OP|=|OQ|（证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形）.

解析" （1）椭圆方程为x2a2+（y-r）2b2=1.

焦点坐标为F1（-a2-b2，r），F2（a2-b2，r）

离心率e=a2-b2a；

（2）将直线CD的方程y=k1x代入椭圆方程，得（b2+a2k21）x2=2k1a2rx+（a2r2-a2b2）=0.

由韦达定理，得

x1+x2=2k1a2rb2+a2k21，

x1x2=a2r2-a2b2b2+a2k21.

所以

x1x2x1+x2

=r2-b22k1r.②

将直线GH的方程y=k2x代入椭圆方程，同理可得

x3x4x3+x4=

r2-b22k2r.③

由②③，得

k1x1x2x1+x2=r2-b22r=k2x3x4x3+x4

（3）过C，G，D，H四点的二次曲线系方程设

为

x2a2+（y-r）2b2-1+λ（k1x-y）（k2x-y）=0，

令y=0，得

（1a2+λk1k2）x2+r2b2-1=0.

则xP+xQ=0，

故有|OP|=|OQ|.

评析" 本题为蝴蝶定理的直接结论，第（3）问的证明即为蝴蝶定理的解析法证明.

坎迪定理" 如图10，11，设M是⊙O 中弦 EF上一点，过 点M 的两条弦AB，CD，连接AC，BD交EF于G，H两点，若G，H位于点M的两侧，则1EM-1FM=1GM-1HM.若G，H位于点M的同侧且EMlt;FM，则1EM-1FM=1GM+1HM.

此定理在圆锥曲线中依然适用.

图10" 坎迪定理""""" 图11" 坎迪定理

例8" 如图12，已知椭圆Γ：x24+y23=1，A′，A″为左右顶点，F为其左焦点.直线y=k1（x+5）与椭圆交于A，B两点，直线AF交椭圆于另一点为C，直线BF交椭圆于另一点为D，直线CD的斜率为k2，求k1k2的值.

图12" 例8题图

解析" 设AB与x轴交于点P，CD与x轴交于点Q.由圆锥曲线坎迪定理，得1A′F-1A″F=1PF+1QF.

所以QF=125.

故直线CD过定点（-175，0）.

由极点极线定义可得AB与CD的交点T在点F关于Γ的极线-x4+0·y3=1上.

设T（-4，t），故k1k2=kPTkQT=-35.

评析" 使用坎迪定理，能够快速发掘本题的隐藏条件：Q为定点，从而为本题打开了思路.

5" 帕斯卡定理

帕斯卡定理" 对于任意一个内接于非退化的二次曲线的简单六点形，它的三对对边交点共线，这条直线称为帕斯卡线.

帕斯卡定理逆定理" 若简单六点形的三对对边交点在一条直线上，则此六点形必内接于一条二次曲线.

在高中数学中，我们更多地使用其极限形式，所谓极限形式，是指简单六点形有某些相邻顶点重合，则内接简单六点形实际上成为简单五点形、四点形、三点形.此时连接重合的相邻顶点的边为切线，将切线视为边，套用帕斯卡定理即可［3］.

例9" 如图13，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的离心率为23，且（7，103）为C上的一点.

图13" 例9题图

（1）求C的标准方程；

（2）点A，B分别为C的左、右顶点，M，N为C上异于A，B的两点，直线MN不与坐标轴平行且不过坐标原点O，点M关于原点O的对称点为M′，若直线AM′与直线BN相交于点P，直线OP与直线MN相交于点Q.证明：点Q在定直线上.

解析" （1）椭圆C的方程为x29+y25=1.

（2）AB∩MM′=O，AM′∩BN=P，O，P，Q三点共线，由帕斯卡定理逆定理可知，点Q为直线MN与椭圆在点A处的切线的交点，即点Q在直线x=-3上.

6" 托勒密定理

托勒密定理" 圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.

托勒密定理逆定理" 若一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形外接一圆.

例10" 如图14，设椭圆C的两焦点为F1，F2，两准线为l1，l2，过椭圆上的一点P，作平行于F1F2的直线，分别交l1，l2于点M1，M2，直线M1F1与

M2F2交于点Q.证明：P，F1，Q，F2四点共圆.图14" 例10题图

证明" 设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1.欲证P，F1，Q，F2四点共圆，由托勒密定理，只需证

PF1·QF2+QF1·PF2=PQ·F1F2.

由图形的对称性可知QF1=QF2.

即证2a·QF1=2c·PQ.

即证QF1QP=e.

又QF1QM1=ca2/c=e2，

在△PM1Q中，PF1=e·PM1.

利用cos∠M1F1P+cos∠QF1P=0及相关等量关系即可证（此处略）.

7" 结束语

上述例证表明，在解析几何题目的求解中，若熟练掌握了相关的平面几何定理，就能知来路，因为一些题目的命制就是以某个定理为题根，把其一般情形演变到具体、特殊、极端、退化的情形；能寻通途，许多解析几何题目的条件和结论之间隐藏的“中间结论”就是解题的“卡壳点”，知晰定理，方向自明；能觅幽径，平面几何与解析几何互相解释，双向生发，其交汇的中间地带一向鲜有探索，还有诸多幽僻处；能至大道，在更高的角度，用更广的视野，秉持更深的思维看待问题，问题会变得更加简洁通达.

参考文献：

［1］

朱成万.圆幂定理与著名几何问题的联系及解题妙用［J］.中学数学研究（华南师范大学版），2021（19）：43-46.

［2］ 沈文选.几何问题解题思维方法与典型技巧［M］.长沙：湖南科学技术出版社，2020.

［3］ 何青.Pascal和Brianchon定理证明的另一种表述及其极限形式研究［J］.长江大学学报（自然科学版），2010，7（01）：142-144.

［责任编辑：李" 璟］