例析奇偶分析法在数列前n项和中的求解策略

摘" 要：数列求和问题中，一般可以根据数列的结构特点进行必要的奇偶项分析.文章借助几个典型问题，剖析这类数列前n项和问题的几种求解策略.

关键词：奇偶分析；数列前n项和；求解策略

中图分类号：G632""" 文献标识码：A" ""文章编号：1008-0333（2024）22-0017-06

收稿日期：2024-05-05

作者简介：吴茂龙（1972.10—），男，安徽省宿州人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.

在数列求和问题中，我们经常遇到一些数列中的项数不确定，或者数列的结构复杂，从而整体上数列不易求和，这类问题是数列问题考查的难点之一，也更容易出错.面对这类数列求和问题时，我们可以根据数列的结构特点，选取有效的求和处理策略，进行必要的奇偶项分析.本文借助几个典型问题，剖析这类数列前n项和问题的求解策略，希望能给广大师生提供解题思路和帮助.

1" 等和等积结构，使用典型公式

例1" 定义：若一个数列每相邻两项的和都等于同一个常数，则称这个数列为等和数列，这个常数叫作公和.同样道理，若一个数列每相邻两项的积都等于同一个常数，则称这个数列为等积数列，这个常数叫作公积.已知数列{an}是首项为1，公和为4的等和数列，前n项的和为Sn，数列{bn}是首项为1，公积为4的等积数列，前n项和为Tn，则S2 012T2 012=.

解析" 由题意可得，an+an+1=4，a1=1，a2=3，a3=1，a4=3，…，则an=1，n为奇数，3，n为偶数.

所以S2 012=2 0122·（1+3）=4 024.

又bnbn+1=4，b1=1，有b2=4，b3=1，b4=4，…

则bn=1，n为奇数，4，n为偶数.

所以S2 012=2 0122·（1+4）=5 030.

故S2 012T2 012=4 0245 030=45.

评注" 等和数列与等积数列都是通项为an=a，n为奇数，b，n为偶数的数列，求其前n项和Sn时，要分类讨论：当n为偶数时，Sn=n2（a+b）；当n为奇数时，n-1为偶数，可利用Sn=Sn-1+an（ngt;1，n∈N）求解.

变式" 定义等积数列{an}：若an·an-1=p（p为非零常数，n≥2，n∈N*），则称数列{an}为等积数列，p称为公积.若数列{an}为等积数列，公积为1，首项为a，则a2 007=；S2 007=.

答案" a；1 004a+1 003a.

2" 数列（-1）n位置不同，进行奇偶分析

例2" 设数列{an}的通项公式为an=1-3（-1）n+12n+2（n∈N*），求该数列的前n项和Sn.

解法1" 由an=1-3（-1）n+12n+2=12n+2-（-1）n+1×32n+2，

当n为奇数时，Sn=（123+124+…+

12n+2）-3（123-124+…+12n+2）=（1/23）（1-1/2n）1-1/2-

3×（1/23）（1+1/2n）1-（-1/2）=-12n+1，

当n为偶数时，

Sn=（123+124+…+12n+2）-3（123-124+…-12n+2）

=（1/23）（1-1/2n）1-1/2-3×（1/23）（1-1/2n）1-（-1/2）=0.

所以Sn=-12n+1，n为奇数，0，n为偶数.

解法2" 由于

an=1-3（-1）n+12n+2=-12n+1，n为奇数，12n，n为偶数，

当n为奇数时，an=-12n+1，奇数项构成以-14为首项，14为公比的等比数列，

Sn=（a1+a3+…+an）+（a2+a4+…+an-1）

=（-1/4）（1-1/4n+12）1-1/4+（1-1/4n-12）/41-1/4

=-13（1-14n+12）+13（1-14n-12）

=13×2n+1-13×2n-1

=-12n+1.

当n为偶数时，an=12n，偶数项构成以14为首项，14为公比的等比数列，

Sn=（a1+a3+…+an-1）+（a2+a4+…+an）

=（-1/4）（1-1/4n2）1-1/4+（1-1/4n2）/41-1/4

=0.

所以Sn=-12n+1，n为奇数，0，n为偶数..

评注" 由于因数（-1）n引起数列的项的表达式在奇数和偶数位置上的规律不同，因此需要对数列的通项进行奇偶分析.在此之后求和时，因为Sn的项数为奇数或偶数时，最后的尾数是奇数项还是偶数项是不同的，所以需要继续进行奇偶分析.如当项数n为偶数时，Sn=（a1+a3+…+an-1）+（a2+a4+…+an）；当项数n为奇数时，Sn=（a1+a3+…+an）+（a2+a4+…+an-1）.所以，当n为奇数时，an=-12n+1绝对不能认为是奇数项构成的数列自身的一个通项公式，否则你就会认为奇数项构成的数列的公比是12，因为奇数项a1，a3，…，an-1是间隔等比［1］.

变式" 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，首项a1=2，公差d=2，设bn=（-1）n·lnSn（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn.

答案" Tn=ln（n+1），n为偶数，-ln（n+1），n为奇数.

3" 优先确定偶数项，合理分组求和

例3" 在数列{an}中，a1=1，a2=2，an+2=3an，求其前n项和Sn.

解法1" 由an≠0，an+2=3an（n∈N*）是首项为a1=1，公比为3的等比数列；数列{a2n}（n∈N*）是首项为a2=2，公比为3的等比数列.因此a2n-1=3n-1，a2n=2·3n-1.

则

S2n=（a1+a3+…+a2n-1）+（a2+a4+…+a2n）

=（1+3+32+…+3n-1）+2（1+3+32+…+3n-1）

=3（1+3+32+…+3n-1）

=32（3n-1）.

所以S2n-1=S2n-a2n

=32（3n-1）-2×3n-1

=32（5×3n-2-1）.

令2n=N1，得n=N12.

令2n-1=N2，得n-2=N2-32.

综上，Sn=32（5×3n-32-1），n为奇数，32（3n2-1），n为偶数.

解法2" 由an≠0，an+2=3an（n∈N*），所以数列的奇数项a1，a3，…，a2n-1构成首项为a1=1，公比为3的等比数列；数列的偶数项a2，a4，…，a2n构成首项为a2=2，公比为3的等比数列.

当项数n为偶数时，

Sn=（a1+a3+…+an-1）+（a2+a4+…+an）

=1-3n21-3+2（1-3n2）1-3

=12×（3n2-1）+22×（3n2-1）

=32（3n2-1）.

当项数n为奇数时，

Sn=a1+a2+…+an=Sn-1+an

=32×（3n-12-1）+1×3n+12-1

=32×3n-12+3n-12-32

=32（5×3n-32-1）.

综上，Sn=32（5·3n-32-1），n为奇数，32（3n2-1），n为偶数.

解法3" 由an≠0，an+2=3an（n∈N*），所以数列的奇数项a1，a3，…，a2n-1构成首项为a1=1，公比为3的等比数列；数列的偶数项a2，a4，…，a2n构成首项为a2=2，公比为3的等比数列.

当项数n为偶数时，

Sn=（a1+a3+…+an-1）+（a2+a4+…+an）

=1-3n21-3+2（1-3n2）1-3

=12×（3n2-1）+22×（3n2-1）

=32（3n2-1），

当项数n为奇数时，

Sn=（a1+a3+…+an）+（a2+a4+…+an-1）

=1-3n+121-3+2（1-3n-12）1-3

=12×（3n+12-1）+（3n-12-1）

=32×3n-12+3n-12-32

=32（5×3n-32-1）.

综上，Sn=32（5·3n-32-1），n为奇数，32（3n2-1），n为偶数.

评注" an+2=3an，说明数列{an}的项间隔构成等比数列，即所有的奇数项和偶数项分别构成等比数列，所以分组求和可得到S2k-1，S2k.但是分组之后要综述Sn的表达式，就会遇到n与k的转化问题.解法1令2k-1=n，2k=n即可转化，可惜理解起来有难度；解法2计算n为偶数时直接判断项数n，没有通过2k-1，2k间接转化，那么，在最后的综述时，就不需要k与n的转化.但是解法1、解法2在计算项数为奇数时的前n项和都是借助项数为偶数时的结果，不过有一个难点是最后的那一项an容易出错，除非题目给出通项公式；解法3理解起来较为容易，只要正确判定项数即可，且确定奇数项和偶数项的项数的最佳策略就是将偶数项的项数最先确定.

变式" 已知等差数列{an}的通项公式为an=2·3n-1+（-1）n·（ln2-ln3）+（-1）nnln3，求其前n项和Sn.

答案" Sn=3n+n2ln3-1，n为偶数，3n-n-12ln3-ln2-1，n为奇数.

4" 奇偶恰当分组，灵活选用公式

例4" 在数列{an}中，a1=0，a2=3，an-an-2=2（n≥3），求数列{an}的前n项和Sn.

解析" 由题意可知，数列{an}中的奇数项是由0，2，4，…构成的以2为公差的等差数列；数列{an}中的偶数项是由3，5，7，…构成的以2为公差的等差数列.

解法1" 当n为偶数时，

Sn=（a1+a3+…+an-1）+（a2+a4+…+an）

=n2×0+n/2×（n/2-1）2×2+n2×3+（n/2）×（n/2-1）2×2

=12n2+12n.

当n为奇数时，

Sn=（a1+a3+…+an）+（a2+a4+…+an-1）

=n+12×0+［（n+1）/2］［（n+1）/2-1］2×2+n-12×3+［（n-1）/2］［（n-1）/2-1］2×2

=12n2+12n-1.

解法2" 当n为偶数时，

Sn=（a1+a3+…+an-1）+（a2+a4+…+an）

=a1+an-12·n2+a2+an2·n2

=12n2+12n.

当n为奇数时，

Sn=（a1+a3+…+an）+（a2+a4+…+an-1）

=a1+an2·n+12+a2+an-12·n-12

=12n2+12n-1.

综上，Sn=12n2+12，n为偶数，12n2+12n-1，n为奇数.

评注" 当项数n为偶数时，奇数项有n2项，偶数项有n2项；当项数n为奇数时，奇数项有n+12项，偶数项有n-12项.奇数项和偶数项的项数确定后，需要选择数列的前n项和公式，而等差数列和等比数列的前n项和公式都有两个，如本例中两个公式都可以选用，但难易程度很明显.利用Sn=a1+an2·n时就需要专门计算an，如当项数n为偶数时，需要计算a1+an-12·n2，其中an-1易错；而采用Sn=

a1n+n（n-1）2d就可以避免求尾项.

变式" 已知数列{an}满足an=2n，若从数列{an}中剔除第1项，第4项，第7项，…，第3n-2项，…，剩下的项保持顺序不变组成一个新的数列{bn}，求数列{bn}的前n项和Sn.

答案" Sn=127·8n2-127，n为偶数.57·8n+12-127，n为奇数. 5" 依据奇偶分类，分别求和解决

例5" 设an=n·（12）n-1，n为奇数，1n（n+2），n为偶数，求数列{an}的前n项和Sn.

解析" 当项数n为偶数时，

Sn=［1×（12）n+3×（12）2+…+（n-1）×（12）n-2］+12［（12-14）+（14-16）+（1n-1n+2）］.

设Tn=1×（12）0+3×（12）2+…+（n-1）×（12）n-2，①

则（12）2Tn=1×（12）2+3×（12）4+…+（n-3）×（12）n-2+（n-1）×（12）n.②

①-②，得

34Tn=1×（12）0+2×［（12）2+（12）4+…+（12）n-2］-（n-1）×（12）n

=1+2×1/4-（1/2）n1-1/4-（n-1）·（12）n.

则Tn=209-12n+209·（12）n.

所以Sn=209-12n+209·（12）n+n4（n+2）.

当项数n为奇数时，

Sn=Sn+1-an+1

=［209-12n+329·（12）n+1+n+14（n+3）］-1（n+1）（n+3）

=209-12n+329·（12）n+1+n-14（n+1）.

综上，

Sn=209-12n+209·（12）n+n4（n+2），n为偶数，209-12n+329·（12）n+1+n-14（n+1），n为奇数.

评注" 对于一个奇数项和偶数项分别构成特殊数列的数列求和问题，由于所求项数是奇数与偶数在分组求和时，奇数项的项数有所变化，因此需要对数列的项数进行讨论.当n为偶数时，Sn=（a1+a3+…+an-1）+（a2+a4+…+an），奇数项和偶数项的项数都是n2.当n为奇数时，Sn=（a1+a3+…+

an）+（a2+a4+…+an-1），偶数项的项数是n-12，奇数项的项数是n+12；简便起见，当数列的通项已知，项数n为奇数时，只需要利用关系式Sn=Sn+1-an+1或Sn=Sn-1-an，其中Sn+1，Sn-1可以借助项数n为偶数时Sn的公式［2］.

变式" 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=3，an+1=2Sn+3（n∈N*）.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若数列{bn}满足bn=an+（-1）nlog3an，求数列{bn}的前n项和Tn.

答案" an=3n（n∈N*），

Tn=3n+12-n2-2，n奇数，3n+12+n2-32，n为偶数.

6" an+an+1位置相邻，可以合并求和

例6" 已知数列{an}满足an+an+1=4n-3（n∈N*）.

（1）若数列{an}是等差数列，求a1的值；

（2）当a1=2时，求数列{an}的前n项和Sn.

解析" （1）若数列{an}是等差数列，则

an=a1+（n-1）d，an+1=a1+nd.

由an+an+1=4n-3，得

d=2，a1=-12.

（2）由an+an+1=4n-3，得

an+1+an+2=4n+1.

两式相减，得an+2-an=4.

所以数列{a2n-1}是首项为a1，公差为4的等差数列.

由a2+a1=1，a1=2，得a2=-1.

所以an=2n，n为奇数，2n-5，n为偶数.

当n为奇数时，

an=2n，an+1=2n-3.

则Sn=a1+a2+…+an

=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（an-2+an-1）+an

=1+9+…+（4n-11）+2n

=2n2-3n+52.

当n为偶数时，

Sn=a1+a2+…+an

=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（an-1+an）

=1+9+…+（4n-7）

=2n2-3n2.

所以Sn=2n2-3n+52，n为奇数，2n2-3n2，n为偶数.

评注" 本题采用分组求和法，将相邻的两项分在一组；当n为偶数时，Sn=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（an-1+an）；当n为奇数时，Sn=

Sn-1-an+1.

变式" 已知数列{an}中，a1=1，an+1=13an+n，n为奇数，an-3n，n为偶数，

（1）证明数列{a2n-32}是等比数列，并求a2n.

（2）求数列{an}的前2n项和S2n.

答案" a2n=-12（13）n+32，

S2n=（13）n-3n2+6n-1.

7" 结束语

通过以上这五个数列求和问题中的奇偶项分析，不难发现，数列前n项求和问题的类型都是大同小异，基本原理和数学方法也是一致的，对于数学推理和计算的能力、技巧要求也并不高，以上这些解题策略也都是数列求和问题中的常用求解技巧.只要我们抓住数列结构特征，注意项数变化和位置规律，利用奇偶分析法，选取典型问题，举一反三、多多练习，领悟解题本质和方法，就能对这类典型问题的解题策略做到熟练于心，真正实现轻松解决.

参考文献：

［1］

王怀学，宋卫东.高中数学经典题型全解析［M］.合肥：中国科学技术大学出版社，2019.

［2］ 杜志建.一遍过 数学 选择性必修第二册（RJA）［M］.南京：南京师范大学出版社，2021.

［责任编辑：李" 璟］