指向拔尖创新人才培养的初中数学“阅读与思考”课程实践探索

［摘 要］创新意识与能力培养是初高中数学核心素养培养的关键，也是初高中数学教学衔接的重要目标。“阅读与思考”课程是初中阶段培养拔尖创新人才的有效途径。针对初中数学“阅读与思考”课程，采用“读、研、悟、写”四位一体的“留白创造式”教学模式，通过留白赋予学生广阔的思维与探究空间，以实现创新意识与能力的培养，进而培养数学拔尖创新人才。

［关键词］拔尖创新人才；初中数学：“阅读与思考”课程；“留白创造式”教学模式

［中图分类号］ " "G633.6 " " " "［文献标识码］ " "A " " " "［文章编号］ " "1674-6058（2024）29-0018-03

初中数学“阅读与思考”课程，围绕数学问题及材料，引导学生学习和理解知识，同时感受数学文化。此过程中，学生的感官直觉、注意力等多种因素积极活跃，且通过阅读和探究，能体会到数学的应用价值，并培养创新意识与能力。因此，“阅读与思考”课程是初中阶段培养拔尖创新人才的有效途径。

在初中数学“阅读与思考”课程的建设与实施中，我们课题组聚焦核心素养提升和拔尖创新人才培育，探索构建了“读、研、悟、写”四位一体的“留白创造式”教学模式，旨在为拔尖创新人才的成长开辟一条有效路径。

杨辉三角作为中国古代数学的瑰宝，在数学思维和数学文化方面独具魅力。在初中阶段，它作为“阅读与思考”的材料内容呈现；在高中数学教材中则专门设置了“杨辉三角的性质与应用”探究课程。本文以人教版八年级上册“阅读与思考”中的杨辉三角的教学为例，探讨如何利用“阅读与思考”课程促进初高中教学衔接，进而培养拔尖创新人才。

一、指向拔尖创新人才培养的初中数学“阅读与思考”课程教学实践

（一）课程内容及教学重点

“杨辉三角”是人教版八年级上册第十四章“阅读与思考”栏目的内容。从数学史的角度来看，贾宪的发现比帕斯卡早600年左右，杨辉比帕斯卡早400多年，这彰显了我国古人在数学领域的卓越智慧与辉煌成就。杨辉三角是二项式乘法的一个特例，在初中阶段被视作整式乘法的进一步推广及特殊化，它具体表现为指数为正整数的二项式定理系数表，即[（a+b]）n（[n=1]，2，…，6）展开式各项系数的排列。这种排列是二项式系数在三角形中的一种几何体现，展现了数与形的离散结合。基于此，本节课的教学重点确定为：初步认识杨辉三角，从“式”和“形”两个角度发现并理解杨辉三角的特征。

（二）教学目标及解析

1.教学目标

（1）了解杨辉三角的数学史；

（2）发现杨辉三角的代数特征和图形特征。

2.教学目标解析

目标（1）达成标志：能感受到数学文化的魅力，了解杨辉三角在国内外的研究历史和成果，拓宽视野，增强文化底蕴，并激发学习兴趣。

目标（2）达成标志：①能从“式”的角度理解杨辉三角的运算原理，从“形”的角度把握杨辉三角的元素特征及相互关系。②能正确写出[（a+b）6]的展开式，并用整式乘法验证。③发现[（a+b）n]展开式中[a]和[b]的指数规律，以及这些指数与[n]的关系。

（三）教学难点分析

学生已掌握了平方差公式和完全平方公式，能初步用符号和语言描述公式的结构特征，能从“式”和“形”两个角度观察、比较并抽象出一般规律，但在从两个多项式相乘过渡到多个多项式相乘时仍感到困难。教学关键在于深入理解杨辉三角的结构特征。因此，本节课的教学难点确定为：理解杨辉三角的结构特征，并能准确写出[（a+b）6] 的展开式，以及发现[（a+b）n]展开式中[a]和[b]的指数规律及指数与[n]的关系。

（四）教学过程设计

1.读——任务驱动，自主阅读

让学生独立阅读“阅读与思考”栏目中的材料，并完成以下任务。

任务一：梳理材料，明确材料分为几个部分，并概述各部分主旨。

任务二：列出材料中提及的数学家，并按历史时间顺序简述杨辉三角的发展过程。

任务三：运用数学语言表达对杨辉三角的理解和认识。

学生完成任务后进行汇报，其他同学进行补充和完善。

设计意图：本环节以任务驱动学生自主阅读，要求学生依托材料，运用已有认知经验完成任务。鉴于学生对数学概念、命题、公式、法则等常有独特理解，教师给予学生创造机会，鼓励他们表达对数学知识的理解。通过让学生主动陈述，促进其深度参与知识建构，从而加深对阅读材料的理解。

2.研——深入思考，解构知识

任务四：思考解决阅读材料中的问题，确定所需要的知识与技巧。

教师：前面我们已经学习了整式的乘法，知道了初中主要研究的是多项式相乘，其中完全平方公式适用于两个相同多项式相乘。那么，对于相同多项式相乘，应如何计算呢？接下来，我们通过观看一段关于中国古代数学发展史的视频（时长2分钟）来了解数学家是怎样解决这个难题的。

设计意图：通过引导学生对问题进行结构化思考，使学生深入理解整式的乘法。问题的解决基于整式乘法运算原理的应用，而杨辉三角作为特殊情况，展示了两个多项式相乘到多个多项式相乘的推广。通过学习杨辉三角，学生能更好地理解多项式相乘的规律和原理。

任务五：探索二项式展开过程的困难与杨辉的整理工作。

教师：二项式在展开过程中遇到了哪些困难？杨辉做了哪些整理？他的意图是什么？我们不应急于应用现成结论，而应从问题本身出发，沿着贾宪和杨辉的探索路径进行深入探究。

（1）在阅读过程中，你遇到了哪些解决二项式展开式问题的困难？

（2）请写出（[a+b]）n（[n=0]，1，2，3）的展开式，并观察各项字母及指数系数，看看随着[n]的变大，[a]和[b]的指数之间有什么关系，它们的指数与[n]有什么关系。

（3）请写出（[a+b]）4的展开式，并结合之前的结果，观察分析各项中字母的指数、项数以及系数的特点。

总结规律：①杨辉三角每一行的数字分别对应多项式每一项的系数，这些系数是按照字母[a]的降幂顺序依次排列。②在多项式的展开式中，各项字母的指数之和始终等于多项式的次数。同时，首字母的指数由大到小排列，且随着多项式次数的增加，项数也相应增多。

（4）请尝试运用所发现的规律，直接写出（[a+b]）6的系数，并展开二项式。最后，利用学过的知识进行验证。

（5）为什么杨辉三角呈现为三角形？它为什么不是矩形或其他图形？

在学生完成任务并汇报后，鼓励其他同学进行补充和完善。

设计意图：结合阅读材料，提出具体的探究任务，旨在激发学生的思维，为学生发现新知创造有利条件。在此过程中，观察、归纳、类比等合情推理方法是数学发现的重要途径。通过运用这些合情推理方法，学生能够有效解决阅读材料中提出的问题。

3.悟——思维延展，探索发现

任务六：结合杨辉三角的代数式和图形特征，思考有哪些发现，并谈谈个人发现及思考路径。

小组探究活动流程：

（1）小组成员各自开展独立探究。（5分钟）

（2）小组内进行交流讨论，完善观点，并撰写小组研究报告。（10分钟）

（3）各小组展示研究成果，全班进行互动交流与评价。（5分钟）

学生从不同的角度进行探索，力求发现多样化的数学规律。教师从位置关系与细节特征两个角度出发，对学生的发现进行点评，并总结归纳探寻数学规律的有效方法。

设计意图：引导学生针对同一个问题提出不同的解决方案，培养学生的创造性思维。

任务七：联想有关杨辉三角的延展问题。

学生围绕杨辉三角展开联想，提出以下延展问题：（1）杨辉三角的上方有何数学构造？（2）为什么杨辉三角中的数都是整数？（3）若考虑三项式，应如何分析与处理？若指数涉及分数，杨辉三角的规律还能继续呈现吗？

设计意图：引导学生联想并提出问题，激发学生的想象力与探究欲，提升学生的数学核心素养。

4.写——迁移运用、数学习作

【题1】图1是我国古代数学家杨辉发现的，称为“杨辉三角”。“杨辉三角”中有许多规律，如它每一行的数字正好对应了（[a+b]）n（n为非负整数）展开式中[a]按次数从大到小排列的项的系数。例如[（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3]展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字。

（1）请认真观察此图，填空：

①[（a+b）4]的展开式中，各项的系数分别为 " " " " " " " " " " " " " "；

②[（a+b）8]的展开式中，第四项的系数是 " " " " " " " " " " " " " " " "。

（2）请利用“杨辉三角”中的规律，计算：[25-5×24+10×23-10×22+5×2-1]。

【题2】融合初中数学“阅读与思考：杨辉三角”和高中数学课程中关于杨辉三角的内容，结合自身的学习体验，撰写一篇题为《杨辉三角面面观》或《邂逅杨辉三角》的文章，文体不限。

设计意图：结合日常数学作业和数学习作，丰富作业形式和内容，有效促进学生的阅读能力、数学语言理解能力、探究能力、创新能力的全面提升。

二、指向拔尖创新人才培养的初中数学“阅读与思考”课程实践反思

（一）课程促进学生高阶思维的发展

“阅读与思考”课程作为人教版教材中的选学部分，归属于“综合与实践”范畴。本课程以杨辉三角为媒介，引领学生深入探究图形中蕴含的数字规律，通过“以读导思，以思促阅”的方式，使学生的“阅读”与“思考”同步进行、相互促进。本课程以学生为中心，引导学生对问题进行多角度思考，不仅促进了新旧知识的有效融合，还推动了关键知识的迁移与运用，促进了学生高阶思维的发展。

（二）课程聚焦“留白创造式”教学模式

指向拔尖创新人才培养的初中数学“阅读与思考”课程，聚焦“读、研、悟、写”四位一体的“留白创造式”教学模式。此模式以学生为中心，注重学生的亲身体验，着重构建学生思维的系统性框架，着力培养学生的思维品质和创新能力。

（三）课程为初高中衔接提供了一种新方式

指向拔尖创新人才培养的初中数学“阅读与思考”课程旨在寻找初高中知识与思维方法的自然衔接点，选取适宜的“阅读与思考”材料，通过系列课程推进初高中衔接。在此课程的学习过程中，学生通过概括、归纳、类比、转化等高阶思维活动，学会运用已学知识解决问题，从而培养阅读理解能力和学习迁移能力。初中数学“阅读与思考”课程不仅为初高中衔接提供了一种新方式，还是实现拔尖创新人才早期培养的重要路径。

（四）课程为跨学科融合提供新范式

“数学+”跨学科学习作为一种教育新范式，它要求教师引导学生在具体真实的问题情境中，运用数学及其他学科的知识、观念、方法和思维方式来解决问题，主动构建知识体系，从而实现知识的深度理解和有效迁移。问题情境的设置是跨学科学习的关键，我们结合数学学科特点，探索了“数学阅读材料+任务”的教学模式。特别的，我们依托HPM（历史与数学教育）问题背景材料，结合具体任务，引导学生在生活情境中发现问题、提出问题，并运用数学知识解决问题，从而培养学生的学科关键能力与核心素养，提升学生发现与提出问题、分析与解决问题的能力，进而培养出具有应用能力、学科融合能力、创新能力和实践能力的拔尖创新人才。

［ " 参 " 考 " 文 " 献 " ］

[1] "栾功，肖宝莹，莫培权.强基计划背景下“双向—五维—交互”中学数学拔尖创新人才培养模式研究[J].中学教学参考，2023（2）：36-39.

[2] "何强.初中阶段数学拔尖创新人才的早期识别与培养[J].现代基础教育研究，2023（1）：16-21.

（责任编辑 黄春香）