借助教材资源 促进深度理解

摘 要：文章对一道人教A版新教材探究题进行研究，揭示题目编写的高等数学背景，并对结论进行了拓展.引导学生深度理解数学问题的本质和内涵，整体建构函数主线知识体系，感悟无限逼近的基本思想，发展学生思维的深刻性、广阔性和灵活性，实现教材习题价值的最大化.

关键词：泰勒公式；函数拟合；近似计算；巴塞尔问题

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）31-0024-05

收稿日期：2024-08-05

作者简介：张志刚（1983.6—），男，山东省泰安人，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.[FQ）]

深度学习是一种基于高阶思维发展的理解性学习，具有注重批判理解、强调内容整合、促进知识建构、着意迁移运用等特征.深度学习不仅需要学生积极主动地参与，还需要教师通过确立高阶思维发展的教学目标，整合意义连接的学习内容，创设促进深度学习的真实情景^［1］.深度理解作为深度学习的基础，在认识论上强调知识本质的社会规律性、知识存在的关联结构性、知识获得的主题参与性.以关联为基础、以学科核心思维为依据的问题链教学，利用问题将学习者带入具有思考性的学习活动中，在问题解决的过程中建构新知识、建立概念间丰富的网络结构，从而有利于学习者深度理解的形成^［2］.

1 题目呈现

《普通高中教科书数学必修第一册》（人民教育出版社A版2019年6月第1版）第256页第26题.

英国数学家泰勒发现了如下公式：

sinx=x-x33！+x55！-x77！+…，

cosx=1-x22！+x44！-x66！+…，

其中n！=1×2×3×4×…×n.

这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性.比如，用前三项计算cos0.3，就得到cos0.3≈1-0.322！+0.344！=0.955 337 5.

试用你的计算工具计算cos0.3，并与上述结果比较.

本题是三角函数的近似计算探究问题，从题目形式上有较大的创新，旨在引导学生经历操作运算、比较辨析、直观感知、理论证明等思维活动，初步学习函数拟合和近似计算的内容，从中体会无限逼近的数学思想，契合《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出的教材习题编排“应突出整体性，要提高习题的有效性”“应开发一些具有应用性、开放性、探究性的问题”的要求^[3].

2 题目解答

计算工具是从事计算所使用的器具或辅助计算的实物.学生可使用科学型计算器、现代电子计算机（即电脑）等工具进行计算.

解法1 依题意，用前5项计算，即cos0.3≈1-0.322！+0.344！-0.366！+0.388！≈1-0.045+0.000 337 5-

0.000 001 012 5+0.000 000 001 63≈0.955 336 48.

又由科学型计算器得：cos0.3=0.955 336 489.与用前三项计算的结果比较可知，用前5项计算的

结果精确度更高，可见，当取的项数足够多时，可以达到更高的精确度，甚至达到任意精确度的要求.

解法2 用Windows系统自带的计算器计算cos0.3，得cos0.3≈0.955 336 489 12，可以看到用前三项计算cos0.3，就可以确保显示值精确到小数点后5位.

3 题目背景

本题用多项式逼近函数，进行近似计算，题目编制的高等数学背景是正弦函数、余弦函数的泰勒（Taylor）公式.

若函数f（x）在x0处存在直到n阶导数，则有f（x）=f（x0）+f ′（x0）（x-x0）+f ″（x0）2！（x-x0）2+…+f^（n）（x0）n！（x-x0）n+ο（（x-x0）n），此式称为f（x）在x0处的泰勒公式.其中f（x0）+f ′（x0）（x-x0）+f ″（x0）2！（x-x0）2+…+f^（n）（x0）n！（x-x0）n称为f（x）在x0处的泰勒多项式，记为Tn（x）.所以f（x）=

Tn（x）+ο（（x-x0）n）.实际应用较多的是泰勒公式当x0=0时的特殊情形：f（x）=f（0）+f ′（0）x+f ″（0）2！x2+…+f^（n）（0）n！xn+ο（xn），它也称为麦克劳林（Maclaurin）公式.

用多项式逼近函数是近似计算和理论分析的一个重要内容^[4].学生在“导数的几何意义”一节已学习了切线拟合——用曲线上某点处的切线近似代替此点附近的曲线，其中蕴含了以直代曲的数学思想.例如，函数y=sinx在点（0，f（0））附近的图象可用切线y=x拟合.然而，切线拟合在很多场合中并不能满足精确度要求，需用二次或高于二次的多项式逼近.切线拟合启发我们：既然用一阶导数逼近就可在切点附近达到一定的精度，那么多次求导，让拟合函数在某点处的任意阶导数与原函数的同阶导数相等，应会提高精确度.这正是泰勒公式的核心思想：先把函数转换（改写）为多项式形式，其中多项式的系数可求导得到，然后用多项式拟合函数，其误差是关于（x-x0）n的高阶无穷小量.如，由麦克劳林公式得sinx= x-x33！+x55！-…+（-1）^n-1x^2n-1（2n-1）！，如图1所示，多项式取到三次时就和真值比较接近了.当取的项数足够多时，可以达到更高的精确度，甚至达到任意精确度的要求.例如，sin3≈3-92+8140=2140.

再如，由麦克劳林公式得cosx=1-x22！+x44！-

x66！+x88！+…+（-1）nx²ⁿ（2n）！+ο（x²ⁿ⁺¹），如图2所示，多项式取到四次时就和真值比较接近了.由此可得

cos0.3≈1-0.322！+0.344！=0.955 337 5.当然，取的项数越多，近似精度就越高.

此外，将麦克劳林展开式sinx=x-x33！+x55！-

x77！+…+（-1）^n-1x^2n-1（2n-1）！中的高次项舍弃，保留前部分就得到一些常用的不等式，即泰勒放缩.例如，保留展开式的前一项得sinxlt;x，保留前两项得sinxgt;x-x36.

常用的麦克劳林公式还有：

（1）ex=1+x+x22！+…+xnn！+ο（xn）；

（2）ln（x+1）=x-x22+x33-…+（-1）^n-1xnn+ο（xn）；

（3）（x+1）α=1+αx+α（α-1）x22！+…+α（α-1）…（α-n+1）xnn！+ο（xn）；

（4）tanx=x+x33+2x515+…+ο（x²ⁿ）.

同理，通过截取麦克劳林公式的片段，就得到更

多的不等式.例如，ex≥1+x；ln（x+1）≤x；x+1≤1+x2；cosx≥1-x22；tanx≥x+x33（x≥0），它们成为高中数学中不等式放缩的理论依据和重要途径.

4 拓展应用

以泰勒公式为科学背景命制的试题频频出现于教材、高考题和模拟题中，通过近似计算、比较大小、证明不等式恒成立等问题，考查学生数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学建模等核心素养.

4.1 近似计算

例1 （1）求对数曲线y=lnx过点（1，0）的切线方程，并画出对数曲线和所求切线的图象.

（2）观察（1）中的图象，你会发现切线y=x-1在切点（1，0）附近非常接近曲线，也就是说，当|x-1|趋近于0时，我们有近似公式，试用此近似公式计算ln1.000 1以及lg1.000 1的近似值.

解析 （1）y=lnx，y′=1x，则y=lnx在点（1，0）的切线斜率是1，故切线是y=x-1，如图3.

（2）观察（1）中的图象，会发现切线y=x-1在切点附近非常接近曲线，也就是说，当|x-1|趋近于0时，我们有近似公式lnx≈x-1，则

ln1.000 1≈1.000 1-1=0.000 1，

lg1.000 1=ln1.000 1ln10≈0.000 043 43.

点评 本例选自《普通高中教科书数学选择性必修第二册》（湖南教育出版社2019年11月第1版）第49页第22题.由泰勒公式得，ln（x+1）=x-x22+x33-…+（-1）^n-1xnn+ο（xn），保留展开式的前一项得：ln（x+1）≈x，将x换成x-1即得lnx≈x-1.可见，本题的编写背景也是泰勒公式.同理，由泰勒公式得，ex=1+x+x22！+…+xnn！+ο（xn），当|x-0|趋近于0时，有ex≈1+x.如图3所示.本题是切线拟合，函数拟合效果是有限的.若增加泰勒展开式中的项数，例如用函数y=1+x+x22拟合曲线y=ex，精确度会相应提高.4.2 证明恒等式

例2 已知函数f（x）=xe^-x·lna，g（x）=sinx.

英国数学家泰勒发现了如下公式：cosx=

∑∞n=0（-1）nx²ⁿ（2n）！=

1-x22！+x44！-…+（-1）nx²ⁿ（2n）！+…（n∈N*），这个公式被编入计算工具，计算足够多的项时就可以确保显示值的精确性.现已知g（x）x=（1-xπ）（1+xπ）（1-x2π）（1+x2π）（1-x3π）（1+x3π）…（1-xnπ）（1+xnπ）…，利用上述知识，试求∑∞n=11n2的值.

解析 依题意，得sinxx=（1-x2π2）［1-x2（2π）2］·［1-x2（3π）2］…［1-x2（nπ）2］…，①

由于cosx=1-x22！+x44！-…+（-1）nx²ⁿ（2n）！+…（n∈N*），

等式两边同时求导得，

-sinx=-x+x33！-x55！+…+（-1）nx^2n-1（2n-1）！+…，

故sinx=x-x33！+x55！-…+（-1）^n-1x^2n-1（2n-1）！+….

进而sinxx=1-x23！+x45！-x67！+…+（-1）^n-1x^2n-2（2n-1）！+…，②

由于①②式中x2的系数相等，即

-13！=-1π2（112+122+132+…+1n2+…）.

即有∑∞n=11n2=π26.

评注 本题要求精确计算全体自然数平方的倒数和，即∑∞n=11n2=limn→+∞（112+122+…+1n2）.该问题首先由意大利数学家皮耶特罗·门戈利于1644年提出，欧拉推证得其结果为π26，并于1741年给出严密证明，后世以欧拉的家乡——瑞士的巴塞尔将此数论问题命名为“巴塞尔问题”，以示纪念.欧拉的论证从正弦函数的麦克劳林展开式sinx=x-x33！+

x55！-x77！+…+（-1）^n-1x^2n-1（2n-1）！开始.过程如下：

由于sinx=x-x33！+x55！-…+（-1）^n-1x^2n-1（2n-1）！+…，

故sinxx=1-x23！+x45！-…+（-1）^n-1x^2n-2（2n-1）！+…，①

又sinkπ=0（k∈Z），

故sinxx=（1-x2π2）［1-x2（2π）2］［1-x2（3π）2］…［1-x2（nπ）2］…，②

①②式中x2的系数相等，即

-13！=-1π2（112+122+132+…+1n2+…），

所以∑∞n=11n2=π26.

欧拉将方程与巴塞尔问题联系在一起，应用从有限过渡到无限的法则，创造性地把有限多项式的因式乘积形式类比至无限项多项式中，成功地把无穷级数和数字π联系起来，彰显了独特的原创性和简洁性.本题考查的正是欧拉利用泰勒展开式解决巴塞尔问题的方法，只是本题需先通过求导运算转化为正弦函数的泰勒展开式.

4.3 证明不等式

例3 已知a=3132，b=cos14，c=4sin14，则（" ）.

A.cgt;bgt;a"" B.bgt;agt;c

C.agt;bgt;cD.agt;cgt;b

解析 由于cb=4tan14，由泰勒公式得，当x∈（0，π2）时，tanxgt;x，所以tan14gt;14，cbgt;1，即cgt;b.

同理，当x∈（0，π2）时，sinxlt;x.

则cos14=1-2sin218gt;1-2×（18）2=3132.

即bgt;a.

综上，cgt;bgt;a.

故选A.

评注 本题常见解法是构造f（x）=cosx+

12x2-1，利用导数讨论其单调性，进而判定代数式的大小.利用泰勒展开式进行放缩论证，简明有力.

例4 已知函数f（x）=ae^x-1-lnx+lna.若f（x）≥1，求a的取值范围.

解析 由题意agt;0.

当0lt;alt;1时，f（1）=a+lnalt;1，不合题意，舍去.

当a=1时，f（x）=e^x-1-lnx，f ′（x）=e^x-1-1x.当x∈（0，1）时，f ′（x）lt;0，f（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，f ′（x）gt;0，f（x）单调递增.

所以当x=1时，f（x）取得最小值f（1）=1.

从而f（x）≥1.

当agt;1时，f（x）=ae^x-1-lnx+lnagt;e^x-1-lnx≥1.

综上，a的取值范围是［1，+∞）.

点评 本题考查不等式恒成立求参数范围问题，常见的解答思路有同构变形、虚设零点等.以上利用分类讨论思想进行了解答.当0lt;alt;1时，显然不合题意，而只要证明了当a=1时满足题意，agt;1时也符合题意.由泰勒公式，得ex=1+x+x22！+…+xnn！+ο（xn），得ex≥1+x，把x换成x-1，得e^x-1≥x①.由泰勒公式，得ln（x+1）=x-x22+x33+…+（-1）^n-1·xnn+

ο（xn），得ln（x+1）≤x，将x换成x-1得lnx≤x-1，进一步有-lnx≥1-x②.①+②得e^x-1-lnx≥1，即为a=1时的情形.可见，泰勒公式既是本题的数学背景，也是发现解题思路的金钥匙.

5 结束语

习题是课堂教学内容的巩固和深化，是教材的重要组成部分，为学生发展数学学科核心素养提供平台，其选择、布局、数量、设计等都影响着数学学习^[5].众多评价试题也是从教材习题出发，经过改编、综合、拓展、嫁接而来，具体表现为：课本例题、习题数据的变更，课本习题条件的拓展，课本例题、习题背景的变换，课本例题、习题的应用，等等^[6].综上，通过对一道教材数学探究题的挖掘，引导学生发现问题的内涵，“揭秘”题目背后的故事与历史渊源，理解数学知识的本质，关注单元知识的系统性，整体建构数学知识体系，进一步概括归纳深藏其中的思维主线，感悟数学的基本思想，完成对数学知识的深度理解，实现学业质量的相应要求.

参考文献：

［1］安富海.促进深度学习的课堂教学策略研究[J].课程·教材·教法，2014，34（11）：57-62.

［2］" 唐恒钧，张维忠，陈碧芬.基于深度理解的问题链教学[J].教育发展研究，2020，40（04）：53-57.

［3］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

［4］" 华东师范大学数学系.数学分析（上册）[M].第4版.北京：高等教育出版社，2010.

[5] 孙虎，刘祖希.数学跨学科实践活动：“内涵”“价值”与“实施路径”[J].数学教育学报，2023，32（01）：19-24.

[6] 戴建国.对高考中导数试题命制过程的一些思考[J].数学通讯，2021（18）：52-55.

［责任编辑：李 璟］