三法并存 解题有道

摘 要：立体几何解题有综合法、（向量）基底法和（向量）坐标法三种并存的方法，解题时如何选择？是选用综合法，还是选用（向量）基底法或（向量）坐标法解答呢？文章通过一道高考立体几何试题三种方法解答的评析，体会三种方法的特点和选择技巧.

关键词：立体几何；三种解法；特点；选择

中图分类号：G632"" 文献标识码：A" "文章编号：1008-0333（2024）19-0057-04

以2023年高考全国乙卷理科第19题第（3）小题的解法为例［1］，和大家探究综合法、（向量）基底法和（向量）坐标法三种方法的特点和选择技巧.

1 试题呈现

题目 如图1，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=2，BC=22，PB=PC=6，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，AD=5DO，点F在AC上，BF⊥AO.

（1）证明：EF∥平面ADO；

（2）证明：平面ADO⊥平面BEF；

（3）求二面角D-AO-C的正弦值.

2 试题解答

2.1 第（1）问解析

分析 根据题设条件，运用综合法并结合（向量）基底法，利用向量线性运算和数量积运算证明四边形ODEF为平行四边形，再利用线面平行的判定定理推理作答［2］.

解析 连接DE，OF，设AF=tAC，则

BF=BA+AF

=BA+tAC

=BA+t（BC-BA）

=（1-t）BA+tBC，

AO=BO-BA=-BA+12BC.

因为BF⊥AO，AB⊥BC，

则BF·AO=［（1-t）BA+tBC］·（-BA+12BC）

=（t-1）BA2+12tBC2

=4（t-1）+4t=0，

解得t=12.

则F为AC的中点.

由D，E，O，F分别为PB，PA，BC，AC的中点，于是DE∥AB，DE=12AB，OF∥AB，OF=12AB.

即DE∥OF，DE=OF.

则四边形ODEF为平行四边形.

所以EF∥DO，EF=DO.

又EF平面ADO，DO平面ADO，

所以EF∥平面ADO［3］.

2.2 第（2）问解析

分析 根据（1）的结论，结合勾股定理的逆定理及线面垂直、面面垂直的判定推理作答.

解析 由（1）可知EF∥OD，则AO=6，DO=62.

所以AD=5DO=302.

因此OD2+AO2=AD2=152.

则OD⊥AO.

所以EF⊥AO.

又AO⊥BF，BF∩EF=F，BF平面BEF，EF平面BEF，则有AO⊥平面BEF.

又AO平面ADO，

所以平面ADO⊥平面BEF.

2.3 第（3）问解析

分析1 由（2）的结论，作出并证明二面角的平面角，再结合三角形重心及余弦定理求解作答.

解法1 （综合法）如图2，过点O作OH∥BF交AC于点H，设AD∩BE=G，由AO⊥BF，得HO⊥AO，且FH=13AH.

又由（2）知，OD⊥AO.

则∠DOH为二面角D-AO-C的平面角.

因为D，E分别为PB，PA的中点，

因此G为△PAB的重心.

即有DG=13AD，GE=13BE.

又FH=13AH，即有DH=32GF，

cos∠ABD=4+3/2-15/22×2×6/2=4+6-PA22×2×6，

解得PA=14.

同理得BE=62.

于是BE2+EF2=BF2=3.

即有BE⊥EF.

则GF2=（13×62）2+（62）2=53.

从而GF=153，DH=32×153=152.

在△DOH中，OH=12BF=32，OD=62，DH=152，

于是cos∠DOH=6/4+3/4-15/42×（6/2）×（3/2）=-22，

sin∠DOH=1-（-22）2=22.

所以二面角D-AO-C的正弦值为22.图2 解法1示意图

分析2 取空间的一个基底，利用向量基底法求解.

解法2 （基底法）设BF∩AO=M，则M为△ABC的重心.

取{OA，OB，OD}为空间的一个基底，所以

BF=32BM=32（BO+OM）=32（BO+13OA）.

设二面角D-AO-C的平面角为θ，则由（1）（2）可知

cosθ=cos〈OD，BF﹥

=OD·BFOD|BF|

=OD·BF

（6/2）×3

=23OD·BF

=23OD·32（BO+13OA）

=22OD·（BO+13OA）

=22OD·BO+26OD·OA

=22OD·BO.

在△DOB中，因为DB=DO=62，BO=2，

所以cos∠DOB=2/26/2=13.

所以cos〈OD，BO〉=-13.

所以OD·BO=ODBOcos〈OD，BO〉=

62×2×（-13）=-1.

于是cosθ=22×（-1）=-22.

所以θ=3π4.

所以sinθ=22.

故二面角D-AO-C的正弦值为22.

分析3 建立空间直角坐标系，运用向量坐标运算求解［3］.

解法3 （坐标法）如图3，以点B为坐标原点，BA，BC所在的直线分别为x轴和y轴建立空间直角坐标系B-xyz，则B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，22，0），设P（m，2，n），D（m2，22，n2）.

由已知和（2）可知PB=6，AD=302.

所以m2+（-2）2+n2=6，（2-m2）2+（22）2+（n2）2=302.

所以m2+2+n2=6，（2-m2）2+12+n24=152，

解得m=-1，n=3.

所以P（-1，2，3），D（-12，22，32），E（12，22，32），F（1，2，0），O（0，2，0）.

则OA=（2，-2，0），OD=（-12，-22，32）.

设平面ADO的法向量为n1=（λ，μ，ν），则

n1·OA=2λ-2μ=0，n1·OD=-12λ-22μ+32ν=0［4］.

令ν=1，解得λ=13，μ=23.

所以n1=（13，23，1）.

又设平面ACO的法向量为n2=（0，0，1），设二面角D-AO-C的平面角为θ，则

cosθ=n1·n2n1n2

=（1/3，2/3，1）·（0，0，1）（1/3，2/3，1）0，0，1

=22.

所以sinθ=22.

3 解法评析

解法1运用的是综合法.综合法是从已知条件入手，根据有关定义，作出空间辅助线和辅助面，运用几何推理解答立体几何问题的方法.综合法可谓是解答立体几何问题的“万能”之法，它适用于每一道立体几何题，尤其是对于一些较为简单的空间线、面平行或垂直的判定，以及一些容易化归到平面图形中的空间角或距离的计算问题，更适合运用综合法.综合法的不足是抽象程度高，推理计算过程往往头绪繁多、错综复杂，令人不容易驾驭［5］.

解法2运用的是（向量）基底法.基底法通过选用空间的基底，应用向量的概念和运算解决问题.基底法把几何问题代数化，思路单一，易于接受.比如，空间共线、共面的判断，以及一些不方便通过添加辅助线、辅助面来推理又不具备垂直关系，无法用坐标法求解的空间角、空间两点间距离的计算等问题.基底法的不足：一是对计算要求较高，二是向量关系不易寻找.

解法3运用的是（向量）坐标法.坐标法根据空间几何体具有或构造“三维”垂直的特点，建立适当的空间直角坐标系，表示或计算出有关点与向量的坐标，通过坐标运算，使立体几何问题代数化处理，把定性问题化归为定量问题来解决.坐标法的优点在于既能规避综合法复杂的几何推理，也能避免基底法不易寻找向量之间关系的短板，其优势明显.坐标法的不足在于局限于具有“三维”垂直的几何体问题，而且计算量比较大.

4 结束语

对于立体几何问题，我们首先考虑综合法，如果较难运作又有较为明显的垂直关系，再考虑坐标法，实在不行，最后考虑向量法.其实，多数情况下都是几种方法的联用，比如高考题第（1）小题就是应用了基底法和综合法.总之，解决立体几何问题把控的原则是：以综合法为基础，坐标法为主导，基底法为辅助.

参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2] 教育部考试中心.中国高考评价体系[M].北京：人民教育出版社，2019.

［3］ 张健.关于空间向量法破解立体几何线面角问题的探究：以2022年高考的立体几何线面角问题为例［J］.数学教学通讯，2023（03）：80-82.

［4］ 刘海.例析利用基底法解立体几何问题［J］.中学数学研究，2023（11）：58-59.

［5］ 故支云.对一道高考试题的多解探究［J］.中学数学教学参考，2019（09）：58-59.

［责任编辑：李 璟］