深度学习视域下新课程的概念教学

摘" 要：样本点和样本空间是随机现象、随机事件数学化的基础. 教学中要重视样本点和样本空间概念内涵的教学，分析概念建立过程中的各种障碍，突破概念生成的难点，帮助学生全面深刻地理解概念和应用概念.

关键词：样本点；样本空间；概念理解；概念建立

中图分类号：G633.6" " "文献标识码：A" " "文章编号：1673-8284（2024）10-0008-06

引用格式：徐道奎，黄焱森，姚志佳. 深度学习视域下新课程的概念教学：以样本点和样本空间为例［J］. 中国数学教育（高中版），2024（10）：8-12，18.

一、问题提出

概率论是研究随机现象发生与发展规律的科学，样本点和样本空间是随机现象、随机事件数学化的基础，因此也是概率论的基础.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》首次将样本点和样本空间纳入高中课程，从集合视角描述和刻画随机现象，研究随机事件并进行概率运算，在使学生对随机现象的理解更加准确、理性和深刻的同时，其分析问题和解决问题的思维方式也发生了重大变化. 样本点的选择和样本空间的建立十分重要，学生分析随机现象（主要是古典概型）的前提是选择好样本点，建立好样本空间. 之后很多概率学习的问题，如事件之间的关系和运算、概率之间的关系和计算等，归根结底都是对样本点和样本空间的概念理解不深入导致的问题.

样本点和样本空间概念教学上存在的问题主要表现为以下三个方面. 第一，教师习惯了之前的直接从基本事件和事件着手分析的问题解决方法，认为高中阶段概率内容相对简单，引入样本点和样本空间人为地增加了学生的学习负担. 有的教师甚至沿袭过去的做法，有意淡化样本点和样本空间的概念教学. 第二，教师对引入样本点和样本空间的意义缺乏深刻理解，对样本点和样本空间的基础地位没有给予足够的重视. 第三，对样本点和样本空间的概念研究不够，对概念的理解出现问题.

鉴于此，笔者通过参阅有关文献，结合教学中出现的问题，谈一点认识和体会，不足之处，敬请批评指正.

二、对样本点和样本空间概念的理解

1. 样本点和样本空间有什么特征？

样本点由随机试验产生，是随机试验的每个可能的基本结果. 随机试验所得结果是对随机现象的某种反映，带有取样的性质，故将其称为样本点.“点”是结果的第一种含义. 一般而言，随机试验的结果不止一个，且是基本的，样本空间是样本点的集合，又称结果空间，样本点是样本空间这个集合中的元素. 如果单从结果的基本性和集合中元素的意义上理解，样本点隐含尽可能地将随机试验中所有可能的结果细化和不可再分的含义. 不能再分是确定样本点应该遵循的基本原则. 但是在实际操作中，要灵活地选取样本点，不必纠结样本点的字面意义，之后会详细说明.

2. 怎样由随机试验分析样本点，建立样本空间？

样本点由随机试验产生，样本点和样本空间是基于随机试验和研究问题背景的综合考量，还是基于研究问题本身？怎样选择随机试验中的样本点呢？针对以下例题进行说明.

例" 两次投掷同一枚骰子，求下列问题包含哪些样本点.

（1）正面向上的点数之和是奇数；

（2）正面向上的点数之差的绝对值为1或2.

该问题涉及的试验是投掷两次骰子，研究的背景是正面向上的点数问题，研究的具体问题是点数之和为奇数和点数之差的绝对值是1或2. 那么，样本点到底是有序的实数对，即[1，1， 1，2，…， 1，6，][2，1， 2，2，…， 2，6，…， 6，6]，共36个样本点，还是第（1）小题的[2，3，…，12]这11个样本点和第（2）小题的[0，1，2，3，4，5]这6个样本点呢？前者是基于试验及其研究问题背景的结果，后者是基于研究问题本身而得到的结果. 在教学时，不同的教师有不同的理解. 笔者则倾向于前者. 文献［4］和文献［5］给出了选择样本点、建立样本空间的基本原则：与问题背景有关，与问题本身无关. 笔者认为，问题的背景应该源于随机试验和问题研究的大方向. 上述问题涉及的随机试验都是投掷两次骰子，研究的背景（我们感兴趣的）是骰子正面向上的点数；而点数之和为奇数、点数之差的绝对值为1或2是较为具体的研究问题，是问题本身. 在分析样本点时，应该从试验和研究问题的背景、方向（正面向上）出发，不必拘泥于具体问题是什么. 样本点应该是随机试验最直接的结果，若以点数之和或者点数之差的绝对值作为结果，则这个结果就失去了基本性. 例如，点数之和为6，可以进一步细化，再分为[1，5， 5，1，][2，4， 4，2， 3，3]，不符合之前我们对样本点的理解. 另外，人教A版《普通高中教科书·数学》必修第二册（以下统称“人教A版教材”）对基本事件的定义是“只包含一个样本点的事件”. 因此，笔者认为样本点应该尽可能地不可细化和不可再分. 这也是样本点概念的本义. 当然，不可细化和不可再分也不是绝对的，之后会予以说明. 笔者在分析上述两个问题（点数之和为奇数、点数之差的绝对值是1或2）时，主张样本点和样本空间应该一样，即样本空间都含有36个样本点.

3. 样本空间中的样本点一定等可能吗？

古典概型是概率论的重中之重，建立合适的样本空间是解决古典概型问题的前提. 如前所述，我们希望样本点尽可能地细化，尽量不可再分. 那么，样本点一定等可能吗？针对这个问题的理解，还是需要回归样本点的定义. 随机试验中每个可能的基本结果不一定是等可能的结果. 例如，在上述投掷骰子的试验中，假如骰子的结构不均匀，如投掷的是一个不规则的四面体骰子，投掷试验一次，各个面向上的概率是不一样的，即样本点不等可能. 又如，打一次靶，假设能够命中，有6环、7环、8环、9环、10环五个结果，显然每个结果发生的概率不相同.

4. 样本点和样本空间是相对的还是绝对的？

样本点不一定等可能. 那么，凡是等可能的结果均可以作为样本点吗？显然不是. 与这个问题相对应的典型案例是不放回抽样中是否考虑顺序的问题. 关于这个问题，有不同的观点：一种观点认为必须考虑顺序，这样才符合样本点的意义；另一种观点认为若选择的样本点出现的概率相同，且能够解决问题，则样本点和样本空间可以进行适当简化（注意是“简化”），从而不需要考虑取样的顺序. 在实际应用中，大多数采用后者，即根据问题和问题解决的需要灵活选择样本点. 要针对具体随机现象给出适当的样本点和样本空间，并能用于表示随机事件. 由此可以看出，样本点的选择一定要能够表示随机事件并有利于问题解决. 选择样本点，建立样本空间，要把精力放在对现实中的随机现象的数学化上. 这是至关重要的.

样本空间取决于样本点，而样本点不仅取决于随机试验，还与研究问题的背景紧密相关. 因此，样本点和样本空间是相对的，而不是绝对的. 第一，对于同一试验，研究问题的背景不同，样本点可以不同，样本空间也可能因此不同；第二，对于同一试验，同一研究问题，样本点的选择可以不同，但必须保证选择的样本点、建立的样本空间有利于问题解决（如求概率、分析事件之间的关系）. 在“两次投掷同一枚骰子，求其点数之和为6的概率”的问题中，可以把样本点选择为36个有序实数对，而把样本点选作[2，][3，…，12]，样本空间建立为[Ω=2，3，…，12]，不利于问题的解决，且没有实际意义.“两次投掷同一枚骰子，求其点数之和为偶数的概率”可以把样本点“简化”为[奇，奇]，[偶，偶， 奇，偶， 偶，奇，]而把样本点选作[奇，奇， 偶，偶， 奇，偶]，进而建立样本空间[Ω=奇，奇， 偶，偶， 奇，偶]是不合适的. 我们强调样本点要基于试验的结果尽可能细化，要凸显其不可再分的特征是基于样本点中“点”的意义，基于样本空间这个集合中元素的含义，以及样本点与基本事件的关系综合考虑的，在实际应用中可以灵活处理.

5. 样本点与事件的关系是什么？

样本空间是一个集合，所有的事件（必然事件、不可能事件、随机事件、基本事件、复合事件）均是样本空间的子集. 基本事件是一个单点集，事件与样本空间是集合与集合的关系. 样本点[ω]是样本空间[Ω]这个集合中的元素，即[ω∈Ω]. 基本事件是只含有一个样本点的集合，即[ω⊆Ω]. 从事件的关系角度来看，基本事件之间是互斥的关系，样本空间由包含全部基本事件的集合表示.

6. 样本空间如何表示？

样本空间是样本点的集合，为了使样本点具有直观性，对样本空间的表征大多数采用列举法，可以通过列表、画树状图等方式把样本空间中的元素逐个列举出来. 实际上，也可以用描述法. 例如，在两次投掷一枚骰子的试验中，研究正面向上的点数的情况，可以将样本空间表示为[Ω=x，yx=1，2，3，4，][5，6，y=1，2，3，4，5，6]在研究事件之间的关系时，有时也会采用韦恩图表示样本空间（全集）.

教学中，要把上述对样本点和样本空间的理解及其反映的数学本质（元素与集合）凸显出来，把隐含的数学思想（用集合的思想研究随机现象）渗透于概念的建立和形成过程之中.

三、样本点和样本空间概念建立的学情分析

学生学习样本点和样本空间的最大问题是思维方式上存在障碍. 第一，对随机试验的理解存在障碍. 随机试验是广义的，而不是狭义的物理、化学和生物等学科的试验，凡是使随机现象得以实现和对随机现象的观察均是随机试验，实际操作、取样分析、统计观察等也是试验. 我们感兴趣的随机试验有三个特点，即试验的可重复性、每次试验的所有可能结果的可预测性和一次具体试验的结果的随机性. 第二，选择和抽象样本点、建立样本空间的障碍. 随机试验所产生的基本结果称作样本点，试验发生了，样本点基本就确定了. 因此，要从随机试验开始进行分析. 第三，样本点和样本空间的应用上存在障碍. 例如，对事件和事件关系的分析. 用集合语言描述、刻画事件及其关系有一个过程，要让学生尽可能多地接触试验，以便逐步适应和习惯.

四、样本点和样本空间概念的建立

基于上述分析，笔者认为，要把样本点和样本空间的本质和内涵渗透至概念形成中，教师在教学中要把握好三个问题：一是根据概念生成的逻辑线索，设置从随机试验到随机现象再到选择样本点、建立样本空间的概念生成的逻辑路径；二是通过各种问题情境，让学生充分感悟样本点和样本空间概念的真实含义，准确选择样本点和建立样本空间；三是掌握给出样本点（列举、树状图、表格、排列、组合等）的各种方法，掌握样本点的具体呈现方式（语言文字描述、字母符号描述、数字描述）. 做到“五会”，即会描述、会抽象、会解释、会转化、会应用.

1. 基于随机试验抽象样本点

让学生在随机试验的基础上通过想象进入试验场景，分析试验结果，理解选择样本点、建立样本空间的路径.

案例：分析试验，回答样本点和样本空间.

在引导学生分析试验时，教师要有意识地让学生回答三个问题：表述的是什么试验？问题研究的背景是什么？试验的所有可能的基本结果是什么？这是分析样本点和样本空间的基本流程.

试验1：将一枚骰子连续投掷两次，分别研究正面向上的点数之和和点数之差的绝对值.

虽然试验1研究的两个问题不同，但是随机试验和研究问题的背景相同，即随机试验都是投掷两次骰子，研究问题的背景都是需要关注正面向上的点数. 因此，试验1中选择的样本点和建立的样本空间相同.

试验2：从装有3个红球（号码分别为1，2，3）2个白球（号码分别为4，5）的袋子中一次摸出两个球，分析出现相同颜色的事件所包含的样本点，研究两个球的号码数字之和的样本空间.

试验3：从装有3个红球（号码分别为1，2，3）2个白球（号码分别为4，5）的袋子中摸出一个球记录结果后将其放回袋子中，然后再摸出一个球，分析出现相同颜色的事件所包含的样本点，研究两个球的号码数字之和的样本空间.

试验2与试验3比较，理解选择样本点、建立样本空间的基本路径，即引导学生回答上述强调的三个问题，说明了选择样本点应该遵循的基本原则和抽样的有序、无序问题.

师：试验2和试验3研究的问题涉及的是什么试验？

生：从编号为1，2，3，4，5的5个球中取出两个球.

师：试验2和试验3研究的背景是什么？

生：研究取出的球的号码.

师：有哪些可能的结果？

【设计意图】引导学生回答与研究问题背景相关的试验的直接结果，不需要考虑研究问题本身，体会试验结果要尽可能细化，不可再分.

问题1：结合试验情境和研究问题的背景，你认为样本点应该怎样选择？

生：样本点为[1，2， 1，3， 1，4， 1，5，][2，3， 2，4， 2，5， 3，4， 3，5， 4，5]共有10个. 样本空间为：[Ω=1，2， 1，3， 1，4，][1，5]，[2，3]，[2，4]，[2，5]，[3，4]，[3，5，][4，5].

问题2：为什么研究的问题不同，选择的样本点和建立的样本空间却相同？

生：无论是研究颜色还是号码之和，选择上述样本点都可以刻画出试验的每个可能的结果. 例如，[1，2， 1，3， 2，3， 4，5]代表颜色相同，[1，4，][1，5， 2，4， 2，5， 3，4， 3，5]代表颜色不同；[1，2]代表点数之和为3，[1，3]代表点数之和为4，[1，4， 2，3]代表点数之和为5，[1，5， 2，4]代表点数之和为6，[2，5， 3，4]代表点数之和为7，[3，5]代表点数之和为8，[4，5]代表点数之和为9.

问题3：在研究点数之和的问题时，为什么不宜把点数之和的结果作为样本点？

生：有些点数之和不是基本的、不可细化的结果，不利于问题的解决，没有实际意义.

问题4：你认为选择样本点、建立样本空间的原则是什么？

师生共同总结：关注试验和研究问题的背景，不刻意考虑研究问题本身.

问题5：为什么没有考虑两个球的顺序？能否考虑顺序？

生：因为问题的背景和问题本身与顺序无关，所以可以把样本空间适当简化. 当然，也可以考虑顺序.

引导学生思考：试验3与试验2的区别是什么？怎样选择样本点？样本点中是否要考虑两次取球的顺序？样本空间中有多少个样本点？

试验2和试验3对应于两种不同的抽样，即无放回抽样和有放回抽样. 选择样本点时，有放回抽样需要考虑顺序；无放回抽样可以考虑顺序，有时无需考虑顺序，是否考虑顺序要视情况而定.

试验4：从高二（5）班50名学生数学测试成绩中任取3名学生的成绩，分析成绩合格的人数.

以下三种方法是课堂上学生的回答中具有代表性的方法.

方法1：将成绩合格的学生记为1，成绩不合格的学生记为0，则抽取的三名学生的成绩情况有[1，1，1， 1，1，0， 1，0，1， 0，1，1， 0，0，1，][0，1，0， 1，0，0， 0，0，0]，共8个样本点.

方法2：将成绩合格的学生记为1，成绩不合格的学生记为0，抽取的3名学生的成绩试验有4个样本点，即[0，0，0， 0，0，1， 0，1，1， 1，1，1.]

方法3：将50名学生的数学成绩进行编号，记为[a1，a2，…，a50]. 将其中任意3名学生的成绩表示为[ai，aj，ak i，j，k=1，2，…，50，i≠j，i≠k，j≠k，][ai，aj，ak]是其中的1个样本点.

问题1：上述三种方法中，你认为哪种选择样本点的方法合适，为什么？

问题2：为什么方法3最能体现样本点的特征？

通过试验4，比较分析同一试验有多种选择样本点的方法，引导学生分析哪种最合适，从而体会选择样本点的基本原则.

试验5：在平面直角坐标系中，质点[M]开始位于[3，2]处，每次向右或向下移动一个单位，运动三次，分析运动结果.

设质点[M]每向右移动一次记为1，向下移动一次记为0，则样本点为[0，0，0， 1，0，0， 0，1，0，]

[0，0，1， 1，1，0， 1，0，1， 0，1，1， 1，1，1.]

让学生写出样本空间.

【设计意图】通过试验5，让学生理解随机试验的广泛性，体会用数字表示随机试验结果的好处.

通过分析上述试验，让学生感悟样本点的意义、内涵，选择样本点的原则，理解从随机试验到样本点和样本空间及随机事件的分析过程.

2. 用集合语言描述和刻画样本点、样本空间

概念教学要立足数学本质，用集合语言描述随机事件不仅要精准，还要能够反映具体的随机事件与样本空间的关系，以及随机事件之间的相互关系.

我们把在条件[E]下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件. 作为样本点和样本空间的应用，怎样把样本点和样本空间在描述随机事件中的作用显现出来，让学生理解用集合语言描述事件的方法，体会事件是样本点的集合且是样本空间的子集呢？具体方法如下.

第一，通过人教A版教材第228页“思考”栏目中的体育彩票摇号试验，引导学生探究“球的号码是奇数”“球的号码是3的倍数”这两个事件所包含的样本点的情况，并用集合表示，让学生观察事件与样本空间[Ω]的关系. 在此基础上给出事件的集合定义. 此过程着重引导学生理解两个问题：由随机试验产生的所有事件都是样本空间[Ω]的子集；事件[A]发生，当且仅当事件[A]对应的集合中的某个（而非全部）样本点出现.

第二，在集合语言背景下，通过较复杂的试验情境进一步把随机试验、研究背景、试验结果、样本点和样本空间、事件、事件与样本空间的关系等概念串联起来，对它们之间的关系层层递进地进行分析，让学生形成概念体系建立的完整印象，感悟准确选择样本点、建立样本空间的重要性.

第三，通过必然事件和不可能事件概念的建立，进一步渗透事件是样本空间的子集的思想，体会样本点和样本空间在事件描述中的作用.

引导学生思考以下问题，并根据事件发生的意义作答.

问题1：包含“所有”样本点的事件（即样本空间[Ω]）在一次随机试验中一定发生吗？是什么事件？

问题2：不包含“任何”样本点的“事件”（即事件[∅]）在一次试验中一定不发生吗？是什么事件？

通过各种案例（简单的、复杂的）实现事件在自然语言与集合语言之间的切换（转化）. 体会集合语言描述事件的数学本质，增强学生用集合语言描述事件的意识，使其逐步体会到用集合语言描述事件更精准，从集合视角理解事件发生更准确，且使之后求解概率、理解事件之间的关系和运算、理解概率关系更方便、更容易.

五、结束语

样本点和样本空间的概念，表面上看似简单，实则内涵深刻，它既是学习概率论的基础，又是学习概率的难点. 在教学中，教师要给予充分重视，在概念生成的教学上放慢节奏，多下功夫.

参考文献：

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作者简介：徐道奎（1963— ），男，正高级教师，安徽省特级教师，主要从事高中数学教学研究；

黄焱森（1981— ），男，一级教师，主要从事高中数学教育教学研究；

姚志佳（2000— ），女，新聘教师，主要从事高中数学教育教学研究.