基于核心素养发展的高三数学一轮复习教学实践与感悟

[摘 要] 高三一轮复习是夯实知识基础，提升解题能力的关键时期. 如何发挥“一题一课”在复习课中的巩固、整理与沟通作用呢？研究者以“数列”的复习教学为例，从“例题导入，夯实知识基础”“捕捉资源，促进动态生成”“互动探索，实现融会贯通”“验证猜想，发展核心素养”四个方面展开分析.

[关键词] 复习;数列;思维

高三数学一轮复习教学并非是旧知的简单再现过程，而是将有规律的数学知识进行整理与归纳的过程，旨在帮助学生形成结构化的认知体系，提升学力. 实践证明，高三数学一轮复习教学承载着巩固知识、整理知识、沟通知识等作用. 然而，部分一轮复习课还存在“教师卖力讲，学生却启而不发”的现象. 究竟该如何改变这一现象呢？笔者以“数列”复习课为例，运用“一题一课”教学策略进行了深入探索与分析.

教学过程

1. 例题导入，夯实知识基础

师：大家还记得等差、等比数列前n项和公式的推导方法吗？

生1：我记得推导等差数列的前n项和公式时采用的是倒序相加法，推导等比数列的前n项和公式时运用的是错位相减法.

师：不错，现在我们一起来分析下列问题.

（原题）假设{a}为等差数列，前n项和是S，若数列{b}满足b=，且a，a的值分别为1和2+1.

（1）证明：{b}是等差数列;

（2）证明：数列{a}中的任意连续三项都不可能为等比数列.

生2：（证明第（1）问）若d为等差数列{a}的公差，根据题意可知d=，所以S=+n. 所以b=（n-1）+1. 因为b-b=，所以{b}是等差数列.

生3：（证明第（2）问）借助反证法求证. 设数列{a}中有连续三项可形成等比数列，这三项分别为a，a，a（m<n<k），则a=amak，即[（n-1）+1]2=[（m-1）+1][（k-1）+1]. 经化简，得（m-2n+k）+2（m-1）（k-1）-2（n-1）2=0. 因为为无理数，所以m-2n+k=0，

2（m-1）（k-1）-2（n-1）2=0.据此易得m=n=k，显然与m<n<k矛盾，因此假设不成立.

师：两位同学的解答过程很完美，其思维的缜密与逻辑的严谨，值得我们深入学习.

设计意图 此题是一道经典例题，蕴含丰富的知识内容. 设置此题，意在引导学生复习等差数列、等比数列的概念，梳理推理论证法和反证法，并考查学生对这些知识的综合运用能力.

2. 捕捉资源，促进动态生成

生4：前面证明了{b}是等差数列，那么这是否适用于一般情况呢？

师：这是一个非常好的问题，现在请大家写出生4提出的疑问，并尝试自主证明.

生5：如果等差数列{a}的首项为a，公差为d，前n项和为S，那么数列

必然是等差数列. 因为{a}为等差数列，所以S=na+d. 所以=a+d. 因为-=a+d-a-d=（常数），所以

是等差数列.

生6：因为S=，所以=. 所以-=-==（常数）. 所以

是等差数列.

师：不错，这两位同学的证明过程规范、严谨. 生6所提出的证明方法含有S（等差数列的前n项和公式）的另一种形式. 你们觉得逆命题是否成立呢？

学生自主分析，借助等差数列的概念证得逆命题也是成立的. 学生在证明过程中，还归纳出了一个新的命题：如果数列{a}的首项为a，前n项和为S，数列{b}满足b=，那么{b}是等差数列的充要条件为{a}是等差数列.

设计意图 在课堂中，学生提出的问题可能超出预设的范围，但这恰恰是复习教学中不可或缺的宝贵资源，是课堂动态生成的基石. 当学生提出问题时，教师应敏锐地捕捉到学生的思维脉络，并顺着学生的思路，引领学生跨越疑惑.

3. 互动探索，实现融会贯通

师：若在原题条件不变的前提下，假设数列{p}满足p=，则{p}是等差数列吗？如果是等差数列，请写出所有c值;若不是，阐明理由.

生7：观察可见，若c值为0，则{p}为等差数列;若c值不为0，则{p}不是等差数列.

生8：这种说法不完整，我们应从一般情况出发，进行更为详尽的探讨.

师：谁来具体说一说？

生9：假设p=An+B，则S=p（n+c），将此式代入S=+n，得（An+B）（n+c）=n+. 经化简，得

A-

n2+

Ac+B-1+

n+Bc=0①. 因为对于正整数n，①式恒成立，所以

A-=0，

Ac+B-1+=0，

Bc=0，解得c=0或-1. 所以，当c=0或-1时，{p}为等差数列.

生10：之前老师说过不要直接用恒等式原理.

师：确实，恒等式原理通常适用于连续的实数中，但这里的n为离散型的正整数，故不可直接应用该原理. 那么，究竟该怎么处理本题呢？

生11：通过分析可知①式对一切正整数n均成立，因此分别取n的值为1，2，3，解得c=-1，A=，B=0;或c=0，A=，B=1-. 接着分别验证由此得到的{p}为等差数列，且满足p=.

师：这种解法不仅规范，还严谨，就是有点烦琐. 有没有更简便的方法呢？

生12：由已知可得S=n

（n-1）+1

=n（-1+n），若想让{p}为等差数列，就要让二次式S内含有“n+c”这个因式，所以n+c=n或n+c=-1+n，解得c=0或c=-1. 接下来的做法跟生11一样.

师：生12的解法不仅关注到了一般情况，还很简便. 从这种解法来看，可将问题推广到更为广泛的一般情况吗？

生13：已知等差数列{a}的首项为a，公差为d（d≠0），前n项和为S，若等差数列{p}满足p=，求c.

由题设条件可知S=

n+-1

.因为{p}为等差数列，所以S（二次式）含有因式“n+c”. 所以n+c=n或n+c=n+-1，解得c=0或c=-1.

师：不错！“关于n的二次式被关于n的一次式整除”是本题的求解核心.

师：若在原题条件不变的前提下，假设{q}为等差数列，且q=，则常数p值是多少？

学生分别用待定系数法和直接观察法获得常数p=0的结论. 教师对学生的解题思路给予了充分肯定，并要求学生结合前面的探索经验，尝试自主推广问题. 在教师的引导下，学生不仅推广出了公式的一般形式，还深刻感知到了公式系列演变的脉络，从而对本章节的内容有了更加深入的理解.

设计意图 师生、生生积极的互动与交流，不仅顺利地解决了问题，还在原问题的基础上衍生出了新问题. 随着探索的不断深入，学生的解题思路得到持续优化. 如此探索，旨在帮助学生构建更为稳固和高效的解题思想，深化学生对等价转化思想的理解，从真正意义上促进学生逻辑思维与推理论证能力的发展.

4. 验证猜想，发展核心素养

生14：原题第（2）问提到等差数列{a}中的任意连续三项都不可能为等比数列，但如果等差数列{a}的通项公式是a=n，那么{a}中就存在等比数列，如1，2，4…. 因此，我在思考：在什么情况下，等差数列中存在三项可顺次构成等比数列？

师：这个想法不错，原题中的等差数列与生14提到的等差数列主要有什么区别？

生15：原题中的等差数列的公差为（无理数），生14提到的等差数列的公差为1（有理数）. 因此，若等差数列的公差是有理数，则它存在三项可顺次构成等比数列.

师：这种说法是否准确呢？

生16：若等差数列{a}中存在三项可顺次构成等比数列，设这三项分别为a，a，a，且k>n>m，则a=amak，即[a+（n-1）d]2=[a+（m-1）d][a+（k-1）d]. 经化简并整理得2（m-2n+k）=（n2-mk+m+k-2n）d. 因为m，n，k∈N*，所以d=是有理数. 因此，该猜想正确.

生17：生16的证明过程不完整. 想要确定三项是否为等比数列，还要讨论n2+m+k-mk-2n是否为0. 因此，结论应为是有理数. （过程略）

教师充分肯定了学生的质疑与验证过程，并鼓励学生在学习道路上能够保持勇于质疑、勇于探索的良好习惯. 这是培养学生创新能力与综合素养的关键.

师：以上命题的逆命题是否成立呢？请写出逆命题并进行判断.

生18：逆命题为：已知等差数列{a}的首项为a，公差为d（d≠0），是有理数，则等差数列{a}中必定存在三项可顺次构成等比数列. 关于证明过程，我还要想一想.

师：逆命题写得不错. 大家想一想：“是有理数”还可以如何表达？a能不能用d或有理数来表示呢？

生19：如果是有理数，设=，p，q∈N*，则a=d，a=d+（n-1）d=（qn+p-q），此时仅需求证{qn+p-q}中有三项可构成等比数列即可，但这样的三项很难发现，因此这个问题比较棘手.

师：既然从正面确定三项为等比数列的方式比较难，那么能否换个思路，先确定满足条件的三项，然后验证其是否为{qn+p-q}中的三项？

学生通过交流和探讨，很快就确定“是有理数”是“等差数列中存在三项可顺次构成等比数列”的充要条件.

设计意图 此为复习二项式定理的过程，学生通过对问题的思考与探索，不仅疏通了各章节知识点间的联系，还在深度学习中拓宽了视野，进一步了解了知识的宽度与深度，形成了良好的数学推理能力与归纳思想，完善了认知结构.

思考与感悟

1. 教材为本，知识再现

高三一轮复习教学需立足教材和新课标，充分发挥教材和新课标的导向作用，尤其是概念、公式、定理等内容，一定要回归教材，逐字逐句地咀嚼消化，引导学生再次经历概念、公式、定理等内容的形成过程，夯牢知识基础，此为高三一轮复习的重中之重. 另外，还要关注概念、公式、定理等内容的内涵与外延，以及所涉及的数学思想方法. 只有从真正意义上理解了知识的来龙去脉，才能在应用时融会贯通，此为培养学生数学素养、思维能力的重要举措.

2. 揭露本质，淡化形式

随着教育改革的深入，“题海战术”已经跟不上高考试题的命制节奏. 新课改背景下的数学高考试题实用性强、灵活度高，对学生的能力和素养提出了更大的挑战. 想要提高复习效率，首先要在规范解题的基础上掌握知识本质，在“万变不离其宗”的思想下，以不变应万变. 为了实现这一目标，必须摒弃“满堂灌”的教学方法，并避免片面追求“难、怪、偏”等题型的授课方式.

从教材中择取经典例题进行改编，既遵循了“以教材为本”的原则，又能灵活学生的思维，训练学生的论证推理能力. 引导学生从多角度思考解题策略，不仅能发散学生的思维，还能降低学生的解题错误率，以及提升学生的认知能力. 事实证明，一题多变或一题多解的应用，可揭露知识的本质，促使学生自主归纳解题的通性通法，从而领悟知识的内涵，获得用数学思维思考问题的能力.

3. 关注思维，发展素养

数学是思维的体操，复习教学同样需要关注学生思维能力的发展情况，这是培养学生数学素养的重要渠道. 在复习教学中，教师有必要引导学生择取最优的解题策略与运算方法来分析与解决问题，这不仅能锻炼学生的思维能力，还能帮助学生夯实知识与技能，提炼数学思想方法，积累活动经验，获得“四能”与“三会”.

总之，高三数学一轮复习教学应当给予学生充足的思考与反思空间，通过精心挑选并改编教材中的例题，激发学生的思维活力，引导他们深入理解数学的本质，挖掘自身潜能，从而从真正意义上培养良好的数学学科核心素养.