浅谈高考试题对学生运算能力的要求

[摘 要] 文章以2023年高考试题为例，深入剖析其对学生运算能力的具体要求，从“明确运算对象”“掌握运算法则和公式定理”“探究运算思路”以及“选择运算方法”四个方面，探讨它们如何共同作用于运算效率的提升，并揭示其潜在的制约因素;探讨教师如何从上述四个方面深入理解高中生的数学运算能力，并在此基础上，针对新高考背景，提出切实可行的发展学生数学运算能力的策略与建议.

[关键词] 数学运算能力;运算对象;运算法则;公式定理;运算思路;运算方法

数学运算能力作为高中生必须掌握和运用的基本能力，不仅对学生数学问题的解决和成绩的提高有积极作用，还对学生运算素养的形成和其他学科的学习起着关键作用[1].

什么是数学运算能力？《中国中学教学百科全书·数学卷》对数学运算能力的界定为：数学运算能力是一种非单一的数学能力，是运算技能与逻辑思维能力等的一种独特的结合[2]. 学生的数学运算能力主要是通过数学解题活动逐步发展的，因此，研究学生的数学运算能力应当从数学解题活动入手. 在日常学习中，学生常常提到“这道题我会做，但计算时出了差错”，这说明学生的数学运算能力普遍有待提高.

本文以2023年高考试题为例，站在学生的角度探究影响运算效率的因素，整理得到运算的四个方面在学生解决问题过程中发挥的重要作用.

运算的前提——明确运算对象

明确运算对象就是要确定运算对象是谁，理解运算对象的含义、作用、本质等. 明确运算对象是正确运算的前提. 我们知道数学中的许多内容都涉及运算，正是因为有了运算，才使得数学概念“插上了翅膀”，得以升华[3]. 换句话说，明确运算对象是解决问题的第一步，只有理解运算对象的本质，才能够顺着题目条件继续前进.

例1 （2023年高考新课标Ⅰ卷第20题）设等差数列{a}的公差为d，且d>1. 令b=，记S，T分别为数列{a}，{b}的前n项和.

（1）若3a=3a+a，S+T=21，求{a}的通项公式;

（2）若{b}为等差数列，且S-T=99，求d.

运算对象1 等差数列{a}和{b}.

设本题的运算对象为等差数列{a}和{b}，根据其通项公式a=a+（n-1）d和b=b+（n-1）d的结构可知，运算对象又是a与d，b与d之间的关系. 对于等差数列的基本量之间的关系，可运用待定系数法求得.值得注意的是，由于本题涉及的未知量较多，采用待定系数法相较于其他解法复杂烦琐，因此容易出错.

详细解答 根据S-T=99以及等差数列的性质可知，99a-99b=99，即a-b=1.

令b=b+（n-1）d，a=a+（n-1）d，代入b=，整理可得ddn2+（bd+ad-2dd）n+（a-d）（b-d）=n2+n，则

dd=1，

b

d+a

d

-2dd=1，

（

a-d）（

b

-d）=0.

若a=d，则b=，d=，由a-b=a+49d-b-49d=50d-=1，得（d+1）（50d-51）=0. 因为d>1，所以d=.

若b=d，则b=d=，a=2d，a-b=a+49d-b-49d=51d-=1. 因为d>1，所以51d->1，无解.

所以，d=.

运算对象2 等差数列{a}.

设本题的运算对象为等差数列{a}，即基本量a与d之间的关系. 因为b==，所以要寻找a与d之间的关系，可构造关于a，d的方程，借助{b}为等差数列的条件，得到a=d或a=2d. 该方法涉及的未知量较少，计算更简洁，但需要先明确{a}为运算对象.

详细解答 因为{b}为等差数列，所以2b=b+b，即=+. 所以6

-

==，即a-3ad+2d2=0，解得a=d或a=2d.

因为d>1，所以a>0. 又S-T=99，由等差数列的性质可知，99a-99b=99，即a-b=1. 所以a-=1，即a-a-2550=0，解得a=51或a=-50（舍去）.

当a=2d时，a=a+49d=51d=51，解得d=1，与d>1矛盾，无解;当a=d时，a=a+49d=50d=51，解得d=.

综上可知，d=.

运算对象3 一次函数.

由于{a}，{b}为等差数列，因此{a}，{b}的通项公式一定可以表示为一次函数的形式. 又b==，则a=dn或a=d（n+1）. 该方法的计算更简便，但要求学生理解等差数列的本质，明确等差数列通项公式与一次函数之间的关系.

详细解答 因为b==，{a}，{b}为等差数列，所以a=dn或a=d（n+1）.

若a=dn，则b=. 由S-T=99，得a-b=a+49d-b-49d=50d-=1，所以d=或d=-1（舍去）.

若a=d（n+1），则b=.由S-T=99，得a-b=a+49d-b-49d=51d-=1，所以d=-（舍去）或d=1（舍去）.

从上述三个运算对象的研究中可以看出，不同的运算对象会产生不同的运算量和复杂程度. 确保运算的精确性，要求学生深入理解运算对象的本质、相关概念以及数学思想方法等. 根据题目的关键信息和条件，去伪存真，由表及里，能够自然顺畅地进行运算.

运算的速度——掌握运算法则和公式定理

掌握运算法则和公式定理，并不是简单的认知和套用，而是要达到熟练运用的程度. 学生不仅应擅长运算，还应追求运算的简洁性. 数学运算法则的运用涉及学生复杂的心理过程. 在解决具体问题时，学生需要依靠主观判断来识别数学运算对象，并进一步寻找、判断和选择适合这些对象的法则和定理[4]. 在日常学习中，学生会面临各种公式和定理的多样性问题，这要求他们在日常训练中不断积累经验、不断尝试和纠正错误，并根据具体情况准确选择最简捷有效的方法.

1. 选择运算法则

例2 （2023年新课标全国Ⅱ卷第7题）已知α为锐角，cosα=，则sin=（ ）

A. B.

C. D.

题目已知cosα，求sin，所以联想到倍角公式，得cosα=1-2sin2=，sin=. 对于开双重根号的问题，在选择题中，代入验证是一种有效的策略，但仍要熟悉开双重根的方法.

详细解答 由cosα=1-2sin2=，且α为锐角，解得sin====. 选D.

2. 选择公式定理

例3 （2023年新课标全国Ⅰ卷第17题）已知在△ABC中，A+B=3C，2sin（A-C）=sinB.

（1）求sinA;

（2）设AB=5，求AB边上的高.

对于本题第（2）问，求AB边上的高h，既可以利用h=AC·sinA或h=BC·sinB来求解，也可以应用三角形面积公式建立关于h的方程来求解，如AB·AC·sinA=AB·h或AB·BC·sinB=AB·h或BC·AC·sinC=AB·h. 本题已知△ABC的两角和边AB，若选用正弦定理，则解唯一且计算效率高;若选用余弦定理，则计算量大且有两解，虽然可以根据已知条件保留一解，求得正确答案，但计算效率较低.

详细解答 由（1）知，cosA==. 由sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=

+

=，以及正弦定理=，可得b==2. 又AB·h=AB·AC·sinA，所以h=b·sinA=2×=6.

从上述解答过程可以清晰地看到，运算法则、运算公式和定理的应用并非生搬硬套. 对于适用条件的理解以及正逆运算的灵活处理，都直接影响着运算的复杂性和解题的效率.

运算的方向——探究运算思路

运算思路是运算操作的路线图，具有内在的逻辑性，蕴含着丰富的推理过程，不同的运算思路反映着不同的运算思维，运算思路通过运算方法和运算过程来体现[5]. 通过理解运算对象的内容、运算对象的背景、运算对象所在的知识体系，多角度观察，实现运算对象的不同形式的表示，将运算对象表征的过程即探究运算思路的过程[6]. 由于探究条件的角度不同，因此运算思路不同.

例4 （2023年高考全国甲卷理科第20题）已知直线x-2y+1=0与抛物线C：y2=2px（p>0）相交于A，B两点，且AB=4.

（1）求p;

（2）设C的焦点为F，M，N为C上两点，·=0，求△MNF面积的最小值.

解析几何的一般运算思路为：①将给定的几何条件坐标化，转换为代数方程，通过方程的运算来解决几何问题;②由形启数，寻找合适的运算对象，表征题目给出的条件，并利用数对形进行量化分析. 在解决问题前，需要考虑用单参还是双参对点或线进行表征;正设直线还是反设直线;先求什么，后求什么;是否需要“设而不求”[7].

思路1：设直线

已知C上的两点M，N，就相当于已知一条直线.由于这条直线的斜率不为零，因此可设为x=my+n. 根据条件·=0，利用向量坐标运算以及韦达定理，得到关于m，n的代数方程. 此代数方程可将两个参数m，n化为其中一个参数，然后将△MNF的面积表示为这个参数的函数，最终求出函数的最值即可.

该思路贴近学生常规的解题路径，即联立直线与圆锥曲线的方程，利用向量坐标运算以及韦达定理，得到关于m，n的代数方程. 然而，在计算三角形面积时，涉及弦长公式与距离公式的应用，这一过程较为复杂，容易导致计算错误. 这更能体现学生的运算能力.

详细解答 因为F（1，0），所以直线MN的斜率不为零，故设直线MN：x=my+n，M（x，y），N（x，y）.

由y2=4x，

x=my+n可得y2-4my-4n=0，所以y+y=4m，yy=-4n，Δ=16m2+16n>0⇒m2+n>0.

因为·=0，所以（x-1）（x-1）+yy=0，即（my+n-1）（my+n-1）+yy=0，即（m2+1）yy+m（n-1）（y+y）+（n-1）2=0.

将y+y=4m，yy=-4n代入上式，得4m2=n2-6n+1. 由于4（m2+n）=（n-1）2>0，故n≠1，且n2-6n+1≥0，解得n≥3+2或n≤3-2.

设点F到直线MN的距离为d，则d=，MN==

y

-y==2=2·n-1，故△MNF的面积S=·MN·d=··2n-1=（n-1）2. 又n≥3+2或n≤3-2，所以，当n=3-2时，△MNF面积的最小值S=（2-2）2=12-8.

思路2：抛物线的焦半径

由抛物线的定义，得到焦半径MF=，NF=，然后根据MF⊥NF，将△MNF的面积表示为关于θ的函数，最后运用换元法求得函数的最值.

此思路体现了数形结合思想，即借助“形”得到两个焦半径（MF，NF）的表达式，根据垂直关系得到△MNF的面积表达式. 运算过程更简洁.

详细解答 假设直线MF的倾斜角为θ，则可得MF=，NF==，△MNF的面积S=·MF·NF==.

设sinθ-cosθ=t，则t=sin

θ-

≤. 当θ=时，t=. 因为t2=1-2sinθcosθ，所以sinθcosθ=. 所以，S==

≥

=12-8.

所以，当θ=时，△MNF面积的最小值为12-8.

在解题过程中，学生关注差异化运算思路，基于一个问题学到多种解法，然后通过对比，选择运算量小、变形更为简单或者运算步骤更为简便、出错率相对小的解题思路，这样既有利于全面了解运算对象，构建该对象的知识体系，还有利于大幅提升运算效率.

成功得到答案的关键——选择运算方法

学生选择运算思路后，若未能进一步深入计算，仅仅堆砌公式，则难以顺利得出答案. 另外，在计算过程中，可能遭遇难以处理的函数或方程，导致无从下手. 此时，教师可引导学生利用化繁为简的策略，将其转化为可解的函数或方程.

例5 （2023年高考新课标Ⅰ卷第16题）已知双曲线C：-=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F，F. 点A在C上，点B在y轴上，⊥，= -，则C的离心率为______.

本题的运算思路有两个：一是利用双曲线的定义和三角形的边角关系求解的几何方法;二是设点坐标，利用向量运算求解的代数方法.不同的运算思路下有不同的运算方法，因为所求量为离心率，所以两种方法的落脚点都是关于a，c的齐次方程.

方法1：余弦定理

利用余弦定理或勾股定理以及双曲线的对称性（

BF=

BF）得到一个方程，由于该方程含有三个未知量a，c，m，因此采用消元法，将m用a，c表示出来，进而整理为关于a，c的齐次方程.

详细解答 依题意，设

AF=2m，则

BF=3m=

BF，

AF=2a+2m.

在Rt△ABF中，9m2+（2a+2m）2=25m2，即（a+3m）（a-m）=0，得a=m或a=-3m（舍去）.

所以，

AF=4a，

AF=2a，

BF=

BF=3a，AB=5a. 所以，cos∠FAF===.

在△AFF中，可知cos∠FAF==，整理得5c2=9a2，故e==.

方法2：整式方程

设出各点的坐标，根据=-·，⊥，将x，y，t变为基本量，再将A点的坐标代入双曲线的方程，得到-=1.本题的运算关键在于对方程-=1的整理：先将-=1变为25c2b2-16c2a2=9a2b2，再代入b2=c2-a2，得到关于a，c的齐次方程.

详细解答 依题意，得F（-c，0），F（c，0）. 令A（x，y），B（0，t）.

因为=-，所以（x-c，y）= -（-c，t），则x=c，y=-t.

又⊥，所以·=

c，-t

（c，t）=c2-t2=0，则t2=4c2.

因为点A在C上，所以-=1，整理得-=1，即-=1. 所以，25c2b2-16c2a2=9a2b2，即25c2（c2-a2）-16a2c2=9a2（c2-a2）. 整理得25c4-50c2+9a4=0，即（5c2-9a2）（5c2-a2）=0，解得5c2=9a2或5c2=a2. 所以，e=或e=. 又e>1，故e=.

选择适当的运算方法深刻反映学生对运算技巧的掌握程度与理解深度，进而导致运算量的差异与运算复杂度的不同. 这直接关系到能否快速且正确地得到答案.

基于上述高考试题对学生运算能力所提出的具体要求，教师在教学实施过程中，不仅要关注数字运算，还要关注代数式的处理、恒等变形的掌握以及解题技巧的应用.学生借助日常解题实践，能够深化对运算对象的理解，精准把握其本质特性，并有效降低运算的复杂度;能够掌握运算法则，灵活处理正逆运算;能够明晰运算思路，优化运算逻辑结构;能够深入理解多样化的算理算法，灵活运用数学思维，系统整理并优化运算技巧. 在这些坚实的基础上，逐步提升学生的运算效率，培养其精确运算与严密推理的数学能力.

参考文献：

[1] 胡艳. 数学运算素养下的圆锥曲线试题研究[D]. 华中师范大学，2021.

[2] 曹才翰. 中国中学教学百科全书数学卷[M]. 沈阳：沈阳出版社，1991.

[3] 张定强，孙黎. 基于数学运算素养视角的高考试卷分析及教学建议：以2019年全国Ⅱ卷、浙江卷与上海卷为例[J]. 中学数学，2020（11）：23-27.

[4] 黄伟杰. 学懂悟透新高考精神，探究数学运算能力培养策略[J]. 数学教学通讯，2023（15）：56-58.

[5] 闫佳洁，张定强. 高考试题中的“数学运算素养”解析：以近五年新课标全国理科卷Ⅱ为例[J]. 中学数学杂志，2018（11）：49-53.

[6] 毛梁成，王悠悠. 明晰运算对象 探究运算思路 落实运算素养[J]. 福建中学数学，2019（12）：16-19.

[7] 阮金锋，赵祥枝. 数学运算素养在解析几何中的考查分析：以2021年全国新高考Ⅰ卷第21题为例[J]. 中国数学教育，2022（24）：45-48.