合理优化课堂教学 促进学生全面提升

[摘 要] 促使学生积极主动地参与课堂教学，是提升数学课堂教学效率的一种有效措施. 在日常教学中，教师要认真研究学生，把准实际学情，明确教学目标，合理优化教学过程，确保每个学生都能参与其中，通过自主探究和合作交流，更深入地理解知识，提升学生的数学能力和数学素养.

[关键词] 教学过程;数学能力;数学素养

在课堂上，不少学生主要通过教师讲授获取知识，往往不敢提问或不知如何提问，导致教学效率不高. 在高中数学教学中，教师应重视优化教学过程，通过创造有效的教学情境，激发学生主动参与课堂，引导他们用数学眼光观察世界，用数学知识解决现实问题，从而促进学生的数学能力和数学素养全面提升[1]. 笔者以“余弦定理”教学为例，谈谈如何优化课堂教学，提升教学实效.

教学任务分析

1. 内容分析

余弦定理是解决斜三角形问题的重要定理之一，它既是初中所学的勾股定理的拓展，也是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体应用. 余弦定理在生产、生活中有着广泛的应用.

2. 学情分析

学生在学习本课之前已经掌握了三角函数、向量和正弦定理等知识，具备研究三角形边角关系的基础. 但总体上，他们的数学应用意识、创新能力和自主探究意识较弱，这可能导致在推导过程中遇到困难. 因此，教师在鼓励学生进行探究的同时，需要适时提供启发和指导，帮助学生通过解决问题来理解知识，认识问题本质，并掌握数学研究方法，从而提高学生的自主探究能力.

3. 教学目标

（1）掌握余弦定理的两种表示，结合平面向量知识证明余弦定理;

（2）知晓余弦定理和勾股定理之间的关系，熟练运用余弦定理及推论解三角形;

（3）通过观察、推导、比较，由特殊到一般归纳出余弦定理，体会数形结合、一般与特殊等数学思想方法的价值，提升数学抽象、逻辑推理等核心素养.

4. 教学重点和难点

（1）余弦定理及其推导过程;

（2）余弦定理的应用.

教学过程

1. 创设情境，引出问题

问题1 为了更好地促进经济发展，某地区欲开凿一条穿山隧道. 开凿前，某施工队需要制定测量方案和开凿路径，以确定隧道的长度. 结合所学的三角形知识，你能设计一个测量方案，以便测量出隧道的长度吗？（假设山脚两端标记为B，C，山脚所在平面为α.）

师生活动：问题给出后，学生积极思考，提出可以在平面α上构造一个直角三角形，即在平面α上选定一点A，使得AC⊥AB，这样分别测量出AB，AC的长，再借用勾股定理，求出BC的长. 教师肯定了学生的方案，并提出问题：若∠BAC=60°，能否求出BC的长？若∠BAC=β呢？这样通过有效追问，自然引发学生思考：已知一个三角形的两边及其夹角，能否求出第三边的长？

设计意图 以生活情境为背景，激发学生探索问题的兴趣，提高学生发现、分析和解决问题的能力. 此环节，教师预留时间让学生设计测量方案，引导学生用数学眼光看待现实问题，用数学知识解决现实问题，增强学生数学应用意识.

2. 合作探究，探索新知

问题2 在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若已知b，c和A，如何求a？（用b，c和A表示a）

师生活动：问题给出后，教师让学生以小组为单位共同探究，然后展示结果. 教学片段如下：

生1：可以尝试构造直角三角形，利用勾股定理求其边长，但是这里需要对角A进行分类讨论.

①若A是直角，则a2=b2+c2.

②如图1所示，若A是锐角，过点C作CD⊥AB于D，则CD=bsinA，AD=bcosA，BD=c-bcosA，所以a2=（bsinA）2+（c-bcosA）2=b2+c2-2bccosA.

③如图2所示，若A是钝角，过点C作CD⊥AB于D，则CD=bsinA，AD=bcos（180°-A）=-bcosA，BD=c-bcosA，a2=（bsinA）2+（c-bcosA）2=b2+c2-2bccosA.

综上所述，a2=b2+c2-2bccosA.

师：非常好，思路清晰，论证严谨，利用三角函数和勾股定理构建了数学模型.

设计意图 学生从已有的知识和经验出发，运用勾股定理，以及分类讨论和化曲为直等数学策略，成功解决了问题. 这既能有效激发学生的学习兴趣，又能提高学生的参与度.

问题3 根据以上探究，你能得到什么结论？

生（众）：无论△ABC是何种形状，总有a2=b2+c2-2bccosA.

问题4 在此基础上，你还能得到什么结论？

师生活动：教师启发学生求b，c，得到b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC. 在此基础上，教师鼓励学生用文字语言进行表述，从而引出余弦定理.

设计意图 利用初中平面几何知识，通过几何法证明余弦定理，有效连接初高中数学内容，从而提升学生的自主探究能力.

问题5 观察余弦定理的结构特征，能否利用其他方法进行证明？

师生活动：教师启发学生利用向量法证明余弦定理（证明过程略）.

设计意图 引导学生用向量法证明余弦定理，体会向量在解三角形中的应用，积累解题经验，提升解决问题的能力.

问题6 利用余弦定理可以解决哪些三角形问题？

学生活动：学生通过观察和思考，认为能解决已知两边和夹角的三角形问题. 在此基础上，教师启发学生变形余弦定理，推导出cosA=，由此发现余弦定理还可以解决已知三边求各角的问题.

设计意图 引导学生理解余弦定理的作用，掌握解三角形的几种情况. 在此基础上，引导学生变形和转化余弦定理，帮助他们得到相关结论，为实际应用余弦定理奠定基础.

问题7 在△ABC中，若C=90°，则c2=a2+b2. 若0°<C<90°，则a，b，c具有怎样的关系？若90°<C<180°呢？

学生活动：深入剖析余弦定理，得到如下结论. 当0°<C<90°时，a2+b2>c2;当90°<C<180°时，a2+b2<c2;当C=90°时，a2+b2=c2.

设计意图 将勾股定理与余弦定理联系起来，帮助学生深化理解特殊与一般的关系.

3. 运用规律，深化新知

例题 在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知a=7，b=8，C是锐角，且sinC=，求B.（精确到1°）

师生活动：学生先独立求解，随后在教师的引导下共同完成例题. 求解过程如下：因为sinC=，且C是锐角，所以cosC==. 由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosC=49+64-2×7×8×=9，所以c=3. 又cosB==-，利用计算器，可得B≈98°.

设计意图 帮助学生深入理解余弦定理，体验其应用，规范解题步骤，提升解题技巧.

变式题1：已知条件不变，试判断△ABC的形状.

变式题2：若去除“C是锐角”这一条件，试求c的值.

变式题3：将“sinC=”改为“cosC=”，求cosB.

师生活动：学生先独立解题，然后小组互动讨论，最后进行集中展示. 在此过程中，基础薄弱的学生遇到难题时，教师应适时指导，帮助其找到解题关键.

设计意图 通过变式训练进一步检测和巩固学生对余弦定理的认识与应用，发散学生的数学思维，提高学生的数学应用能力.

问题8 回顾最初的问题情境，假设测得AB= km，AC=1 km，两线的夹角为150°，试求BC的长.

学生活动：结合解题经验，利用余弦定理顺利地解决问题.

设计意图 回顾课程开始时的情境，引导学生应用余弦定理解决实际问题，体验余弦定理的应用价值.

4. 反思小结，升华认知

问题9 回顾本节课所学，概括所获得的知识、思想和方法.

设计意图 通过反思回顾，加深知识理解，构建思维体系和方法体系，培养反思归纳的习惯.

教学思考

1. 合理链接，激发学生探究欲

数学是一门逻辑严密的学科，已学知识通常是后续学习的基石. 教师作为课堂教学的组织者和启发者，要从整体视角出发，通过创设问题，合理链接知识，引导学生利用已有知识分析和解决新问题，建构知识网络体系，提高学生的数学应用能力[2].

例如，在本节课教学中，教师引导学生结合初中知识发现余弦定理，运用几何法证明余弦定理，深化学生对余弦定理的理解.

2. 学以致用，提高学习主动性

学以致用是数学学习的核心，既是出发点也是落脚点. 教师在教学时应创建与学生生活相关的情境，帮助他们理解数学的实际应用，从而激发他们的学习兴趣，提升他们的学习积极性.

例如，在本节课教学中，教师利用计算隧道长度的情境，让学生理解解三角形的重要性，从而激发他们的学习积极性. 学生在掌握余弦定理后，应用它解决了实际问题，展示了余弦定理的应用价值.

总之，在高中数学教学中，教师应基于教学内容和学情创设问题情境，通过解决问题帮助学生理解和掌握知识，提升学生分析和解决问题的能力.

参考文献：

[1] 张钊源. 谈高中数学课堂“三会、四能”的培养[J]. 数学之友，2022（23）：7-9.

[2] 李彩婷. 合理优化教学过程 提高数学教学效率[J]. 课程教育研究（学法教法研究），2017（24）：130-131.