APOS理论指导下的数学教学探索与研究

[摘 要] 将APOS理论应用在数学概念教学中，能帮助学生展开深度学习，构建良好的数学思维，发展数学学科核心素养. 函数的奇偶性是学生步入高中阶段后即将探索的一个重要概念，不少学生在知识的衔接上存在一定障碍，研究者利用APOS理论对此展开教学探索.

[关键词] APOS理论;思维;概念教学

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》倡导数学教学要“以生为本”，致力于学生数学学科核心素养的发展. 数学学科核心素养是指通过数学教学，让学生形成正向的关键能力与数学品格，充分体现学科育人的价值[1]. APOS理论由四个阶段组成，将该理论应用在数学概念教学中，不仅能帮助学生构建良好的数学思维，还能让学生在深度学习的基础上掌握知识本质，发展数学学科核心素养. 本文以“函数的奇偶性”为例，探讨APOS理论在概念教学中的应用.

APOS理论的概述

APOS理论是美国数学家杜宾塞斯（Dubinsky）等人在数学教育研究实践中发展起来的一种数学教学理论. 学习者通过对数学内容的改造与加工，将抽象的概念转化为自身的认知结构. APOS理论认为，数学概念的构建过程涵盖活动、程序、对象与图式四个阶段. 各个阶段均建立在学生认知发展规律与特征之上. 学生通过经历概念的形成过程，从而构建新的知识体系.

活动阶段：学生在该阶段初步接触教学对象，在外界刺激的作用下加工、转化教学对象. 课堂上，一般以学生熟悉的内容为背景，从学生的认知水平出发，设计问题情境，引发学生参与，让学生感知概念是如何生成的. 因此，此为学生初步理解数学概念的阶段.

程序阶段：学生对教学活动过程进行思考与探索，并在脑海中构建相应的操作程序，在压缩、总结与归纳的基础上抽象共性特征，由此构建新的概念体系. 在没有活动刺激的情况下，大部分学生能自主完成这个过程，也有部分学生能将其与其他教学活动相整合，转化为思维过程，发展逻辑思维.

对象阶段：学生需自主压缩前两个阶段，将它们视为整体来探索新知. 因此，这是一个心理操作过程. 在该阶段时，学生会在大脑中构建静态的结构关系，从整体的视角获得概念的内涵. 学生不仅能掌握概念本质，还能赋予概念形式化的数学符号.

图式阶段：由前三个阶段作为铺垫，此阶段整合新旧知识，完善概念体系，帮助学生构建新的图式结构. 用新图式结构甄别问题，判断其能否纳入其中，形成反馈. 学生在知识探索过程中，从高阶层次对数学知识进行表征与加工，以拔高数学思维，完善认知结构.

函数教学分析

高中数学相对抽象，对学生的思维要求较高. 教师只有探索到与学情相契合的教学方法，才能真正提高教学效率[2]. 学生在初中阶段已接触过一些函数知识，到高中阶段继续深入探索函数，他们的思维从离散扩展至连续，面对的问题亦由静态演变为动态，在数形结合中体会数学符号、数学语言、数学图形之间的关系. 探索函数相关知识时，学生的思维由形式化转向辩证化，与常量数学类比，揭示函数抽象性. 这给教师的“教”与学生的“学”带来了挑战.

APOS理论指导下的教学措施

1. 活动阶段——感知概念

情境导入：借助多媒体展示一些对称图形，要求学生观察图形，用已有的认知经验来描述它们的共同特征. 学生主要从中心对称与轴对称的维度来描述.

师：通过对这些图形的观察与描述，大家对函数的对称性一定有了新的认识. 现在请大家根据要求填写下表（表1）并作出函数图象：①f（x）=x2;②f（x）=x.

设计意图 学生通过观察图形，分别回顾轴对称与中心对称图形的定义，此为APOS理念中的活动阶段. 学生在自主列表与画图中切身体会概念形成的过程. 基于整体视域而言，活动阶段从学生熟悉的事物展开，激发学生对本节课探索内容的研究兴趣，尤其是填表与画图，使学生思维从抽象转化为具体，为接下来提炼函数的奇偶性奠定基础.

2. 程序阶段——抽象概念

在活动阶段，从生活实例中抽象出本课主题;在程序阶段，教师引导学生构建新的概念.

1. 揭露偶函数的概念

问题1：图1和图2的共性特征是什么？

问题2：函数f（x）=x2和f（x）=x中的f（1）与f（-1），f（2）与f（-2），f（a）与f（-a）之间分别有什么关系？

问题3：分析f（x）=x2（x∈[-3，2]）是什么函数（奇函数或偶函数），这一类函数的定义域具备怎样的特点？

问题4：下列函数为偶函数的是______.（填序号）

①f（x）=x2，x∈[-1，1）;②f（x）=x2，x∈[-1，1];③f（x）=x2，x∈[-2，-1）∪（1，2].

问题5：通过以上探索，说一说什么是偶函数.

设计意图 在问题引导下，学生思维深入发展，偶函数的概念逐渐浮出水面. 在学生自主思考与描述的基础上，教师适当补充与修正，这样学生不仅提炼出了完整的偶函数概念，而且对偶函数的内涵有了深入的理解.

2. 揭露奇函数的概念

与偶函数探索环节类似，引导学生通过合作交流与类比分析，探索奇函数的概念. 探索过程主要从函数f（x）=x与f（x）=着手，逐步抽象出奇函数的概念.

设计意图 程序阶段是学生通过对具体事物进行思维概括的过程. 学生通过合作交流与类比分析，清晰认识奇函数. 学生在观察与分析中对函数解析式的特点进行分析与探索，并用规范的数学语言加以描述，不仅突出奇函数自变量的任意性特征，还进一步完善了认知结构，为接下来的教学夯实了方法基础.

3. 对象阶段——强化概念

纵然学生在程序阶段中已抽象出相对完整的函数奇偶性的概念，但在理解与应用上还欠缺火候. 为此，教师带领学生在对象阶段应用概念，以进一步夯实学生的知识基础.

判断函数奇偶性的基本流程如下：①定义域的判断（关于原点对称）;②f（x）与f（-x）之间的关系的判断;③明确判断结论.

例题：请根据概念来判断函数f（x）=x3+2x是奇函数还是偶函数.

对于函数f（x）=x3+2x，它的定义域是（-∞，+∞），鉴于定义域内的每一个x均存在f（-x）=（-x）3+2（-x）= -f（x），可确定f（x）=x3+2x是奇函数.

设计意图 对象阶段将被探索的内容视为整体，并将这个整体作为独立对象进行研究. 在概念本质的辅助下，学生结合函数奇偶性的基本判断流程很快就获得了答案. 该例题的引入，不仅加强了学生对函数奇偶性判断方法的认识，还促使学生掌握了函数奇偶性的内涵与外延.

4. 图式阶段——完善概念

基于学生自身已有的知识与上述教学过程的融会贯通，构建新的认知图式. 本节课的图式阶段涉及函数的奇偶性概念及其特征，并明确了相关关系. 新的认知图式的构建，不仅能促使学生快速判断某个问题在不在该图式范围内，还能进一步巩固学生的知识基础，提升学生的思维能力.

基于上述分析，本节课的图式阶段，教师要求学生自主判断下列函数的奇偶性，以检验本节课的教学成效：①f（x）=x-;②f（x）=1-x2;③f（x）=0;④f（x）=x2+x+1.

面对上述这个问题，学生在独立思考的基础上合作交流，各小组派一名学生展示组内交流成果. 教师针对学生情况适当点拨，引导学生按照函数的奇偶性分类问题. 师生通过积极互动与交流，最终一致认为，按照函数的奇偶性分类为：偶函数、奇函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数.

设计意图 APOS理论下的概念教学，可将活动、程序和对象三个阶段理解为知识的三种基本形态，图式阶段则属于根据知识基本形态形成的认知结构. 提出函数奇偶性判断问题，一方面凸显概念对判断函数奇偶性的作用，另一方面进一步深化学生对函数奇偶性的理解. 其中两个特殊函数形式成功发散了学生的思维——将学生的思维从奇函数与偶函数的范畴扩展到了非奇非偶函数与既奇又偶函数的领域，此过程为学生构建完整的知识体系创造了条件.

思考与感悟

1. APOS理论的四个阶段并非线性关系

不少教师认为APOS理论的四个阶段就是由低到高的四个层次. 实践告诉我们，APOS理论的四个阶段属于一个环形结构关系，各个要素间的联系并非单向性. 如活动阶段就属于外部信息的直接转换，而转换的每个步骤都要有理有据，切忌随意主观臆断;程序阶段与活动阶段有所区别，虽然也存在转换过程，却并非一步不少;在活动重复与反思中，学生思维从对外界的依靠逐渐转化到对内部的调控中来，并将整个学习过程视为整体，顺利抵达对象阶段;有时从活动阶段也可以直接跳跃到对象阶段，随着解压机制的应用，学生还可以将对象阶段归位到程序阶段（在协调的基础上对不同阶段进行压缩与解压，实现阶段的逆转）. 因此，APOS理论的四个阶段并非线性关系，应用时需结合实际灵活变通.

2. APOS理论不止应用于概念教学

APOS理论属于概念学习理论，因此部分教师认为APOS理论只适合应用于概念教学. 殊不知，概念教学同样以发展学生数学思维，培育学生核心素养为目标，而非教授静态数学知识. 基于构建主义理论来观察APOS理论下的数学教学，学生思维经历活动、程序与对象阶段后构建成图式，因此APOS理论就不再局限于概念教学，还可应用于其他各种类型的数学教学.

3. APOS理论的应用需经历一个漫长的过程

“活动—程序—对象”的演进是一个逐步深入、不断完善，且漫长的过程. 在此过程中，学生要不断试误与调整. 因此，想要在一节概念课中凸显APOS理论的四个阶段实属不易. 纵观本节课的函数奇偶性的概念教学，最终也只达到了初步形成图式的阶段. 若想将函数奇偶性与指数函数、对数函数等建立一定的联系，还需要经过一段时间的探索与研究.

在上述教学中，教师虽然带领学生亲历了四个阶段，但其深度与广度还有待探索. 对此，教师可继续加强实践与研究，将APOS理论作为提升学生学力和发展学生数学学科核心素养的基石和指引.

参考文献：

[1] 方慧. PBL模式在高中数学函数教学中的应用研究[D]. 安庆师范大学，2022.

[2] 林倩倩，唐恒钧. 我国“数学项目学习”研究：回顾与展望[J]. 中学教研（数学），2022（5）：36-38.