指向深度学习的高中数学学历案设计与思考

[摘 要] 学历案充分体现了“以学生为主体，以教师为主导”的教学理念，其尊重学生个体特征和学习需求，关注学生的学习过程. 在高中数学教学中，应用学历案开展教学，有利于深度学习真正发生. 文章以“双曲线的标准方程”为例，通过学历案引导学生思考，鼓励学生交流，让学生运用类比方法主动获得知识，充分体会数学学习乐趣，切实提高数学学习能力和数学核心素养.

[关键词] 学历案;深度学习;数学学科核心素养

在高中数学教学中，不仅要让学生掌握知识，更重要的是让学生在学习数学和应用数学的过程中，发展独立思考、自主学习的能力，培养可持续学习的关键能力和思维品质. 深度学习不仅是一种学习方法，更是一种学习理念，将深度学习引入数学课堂，可以帮助学生深度介入学习，发展高阶思维. 与浅层学习相比，深度学习强调在理解的基础上记忆，更加关注新知与旧知之间的内在联系，有效地将零散的、孤立的数学知识联系起来，这有利于学生加深对知识的理解，有利于学生构建知识体系和认知结构，有利于学生灵活运用所学知识解决问题. 深度学习坚持以学生为中心，为学生提供更多的独立思考和自主探究的时间与空间，使得学生的“学”由被动接受变为主动建构，是一种有效的提升核心素养的学习方式.

学历案是从“学会什么”出发，设计并展示如何学会的过程. 学历案更加关注学生的学习经历或过程，充分体现学生在学习过程中的主体性地位. 学生在学历案的引导下可以逐渐形成自学、自查、自省的能力，可以很好地解决课程中出现的“虚假学习”和“游离学习”等问题，从而走上真学之路. 笔者以“双曲线的标准方程”为例，谈谈如何利用学历案促成深度学习.

教学分析

1. 课标要求

（1）理解双曲线的定义;

（2）根据双曲线的定义选择合适的坐标系，建立和推导双曲线的标准方程;

（3）掌握双曲线方程中的a，b，c之间的关系;

（4）用待定系数法求双曲线的标准方程.

2. 学习目标

（1）通过类比椭圆，了解双曲线的定义，培养学生分析、归纳、推理能力;

（2）根据双曲线的定义，建立和推导双曲线的标准方程，培养学生数学建模和数学运算素养;

（3）掌握双曲线的标准方程，并能根据已知条件求出双曲线的标准方程;

（4）通过独立思考和合作探究相结合的方式学习新知，并学会用代数方法研究几何性质，提升数学能力与数学素养.

教学过程

1. 引入课题

问题1 我们主要学习了椭圆的哪些内容？是如何学习的？

问题2 如果将椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么动点轨迹会是什么？

设计意图 引导学生回顾椭圆的相关知识，为接下来的类比探究活动的开展奠定基础.

2. 动手操作

活动1 绘制双曲线的右支.

操作步骤：（1）如图1所示，拿出课前准备的拉链并拉开，将拉链左分支的一端固定在F处，在右分支上选择一点（不能是端点）固定在F处，使得

MF-

MF=2a（常数2a>0）;（2）笔尖套住拉链滑头M，向下拉动.

思考：随着拉链的闭合或打开，笔尖画出的图形是什么？

活动2 绘制双曲线的左支.

操作步骤：（1）如图2所示，调整拉链的摆放位置，使得

MF-

MF=2a（常数2a>0）;（2）重复活动1的操作过程.

思考：此时笔尖画出的图形又是什么？

设计意图 通过动手操作，直观感知动点轨迹“双曲线”的定义. 学生动手操作后，教师利用几何画板直观展示双曲线的形成过程，帮助学生积累感性素材，激发学生的学习兴趣.

3. 定义探究

问题3 类比椭圆的定义，你能给出双曲线的定义吗？

问题4 定义中的常数2a能否大于或等于两点间的距离？若2a=

F

F，动点轨迹是什么？若2a>

F

F，动点轨迹又是什么？

设计意图 引导学生类比椭圆的定义，结合动手操作，归纳概括双曲线的定义，培养学生抽象概括能力. 另外，得到双曲线的定义后，引导学生思考2a=

F

F或2a>

F

F时，动点轨迹是什么. 一方面加深学生对双曲线定义的理解，另一方面培养学生的想象能力.

4. 方程推导

问题5 结合椭圆标准方程的学习经验，说一说用坐标法求动点轨迹方程的步骤是什么，你认为接下来我们应做什么？

问题6 你是如何选择坐标系的？得到了什么方程？

问题7 你在推导双曲线的标准方程时遇到的障碍是什么？你是如何克服的？

设计意图 在推导双曲线的标准方程前，学生掌握了椭圆的标准方程的推导方法，因此教师引导学生运用类比思想自主探究，从而培养学生的思维和实践能力.

5. 小结归纳

问题8 焦点在x轴和y轴上的双曲线的标准方程分别是什么？已知双曲线的方程，如何判断其焦点在哪个坐标轴上？

问题9 请完成表1.

设计意图 通过对比，帮助学生构建知识结构，提高学生的归纳概括能力.

6. 知识应用

例1 根据以下条件求双曲线的标准方程：

（1）a=4，经过点A

1，

;

（2）经过点P（6，-4），且与椭圆+=1有相同的焦点.

例2 已知方程ax2+by2=1，当a，b满足什么条件时，该方程表示双曲线？该方程能否表示其他曲线？如果可以，需要满足什么条件？

设计意图 通过应用进一步巩固和加深学生对双曲线的理解. 本环节，教师不要急于给出答案，而应鼓励学生独立求解. 这样既能检测学生对新知的掌握情况，又能让学生发现自身的不足，从而提高学生运用知识解决问题的能力.

7. 学后反思

问题10 本节课主要学习了哪些内容？学会了什么方法或策略？在学习过程中你还有哪些问题？有不错的经验可以分享吗？

设计意图 通过创设问题引导学生梳理知识，并鼓励学生提出自己的所思、所想，以此帮助学生构建完善的知识体系，提高数学能力和数学素养.

教学思考

在新课程背景下，发展学生的数学学科核心素养是课堂教学的一项基本任务. 核心素养的培养不能单纯依赖于教师的传授，而需要在课堂教学实践中，经过探索、积累和感悟逐步达成. 在高中数学教学中，教师要注重引导学生参与知识生成、发展和应用等过程，以此落实数学学科核心素养，切实提升教学有效性. 学历案注重学习经历，应用学历案进行教学既符合新课标的要求，又符合培养学生数学学科核心素养的需求. 因此，在教学中，教师应重视学历案的设计与应用.

在教学中，经常听到这样的声音：为什么讲了这么多遍，学生还是不会？出现这种情况的原因，与教师的教学方式息息相关. 在高中数学教学中，仍有部分教师倾向于传统的直接讲授方式，导致学生在课堂上的主动参与度不高. 学生在表面上听懂了课程内容，但由于缺乏独立思考和自主探究的实践经验，他们对相关知识的理解和掌握往往停留在浅层次上. 这样的教学方式不仅难以培养学生的深度思考能力，还使得他们在面对实际问题时难以灵活运用所学知识去解决. 而应用学历案进行教学，能够赋予学生更多参与课堂的机会与时间，从而实现深度学习，并提升学生发现、分析及解决问题的能力.

总之，教师要认真研究数学、教学和学生，从学生的已有知识和经验出发，合理地设计和使用学历案，以此充分调动学生参与课堂的积极性，诱发学生深度思考，提高学生的数学能力和数学素养.