经历过程 揭示本质

[摘 要] 数学概念教学应从学生实际学情出发，引导学生经历概念形成、发展和应用的过程，通过深度学习揭示概念的本质，拓展概念的内涵，凸显学科知识间的内在联系，从而迁移和再造知识，培养学生的学习能力，落实学生的数学素养.

[关键词] 概念教学;深度学习;数学素养

数学概念是数学知识体系的基础和核心，学生对概念的理解和掌握直接影响其应用数学的能力，是提升数学素养的根本所在. 在概念教学中，教师应避免单纯教授概念，而应引导学生经历概念形成、发展和应用的过程，凸显数学逻辑和方法，实现深度学习，提升教学有效性. 教师应基于学生实际，合理创设问题，引导学生主动思考、探索和交流，认清概念的本质，落实数学学科核心素养. 在教学“直线的斜率”时，笔者通过与学生的积极互动，共同探索了直线斜率概念的形成、发展和应用，取得了显著成效. 现与同行分享交流经验.

教材分析

1. 内容分析

“直线的斜率”一课为高中解析几何开篇，旨在介绍斜率的概念，并引导学生认识解析几何的核心. 本节课还肩负统领全局之责，旨在揭示解析几何的本质. 解析几何的本质是用代数方法研究几何问题，研究前需将几何图形“数量化”分析，是代数研究的前提. 在教学中，教师应带领学生体验“数量化”的过程，通过数形互化理解解析几何的本质，提升学习技能.

针对“直线的斜率”这一概念，当直线的倾斜角为锐角时，直线的斜率可用坡度来刻画，但当直线的倾斜角为钝角时，直线的斜率是否也可以用坡度来刻画呢？这部分内容教材并没有系统分析. 因此，教学中教师有必要引导学生明晰两者的区别与联系，继而认清问题的本质，建构完善的认知结构.

2. 教学目标

（1）了解解析几何的研究过程和方法;

（2）理解直线的倾斜角的概念;

（3）理解直线的斜率的概念;

（4）经历用代数方法刻画直线斜率的过程，抽象出求直线斜率的方法;

（5）理解直线的倾斜角与斜率之间的关系.

3. 教学重点

理解直线的斜率.

4. 教学难点

（1）理解直线斜率的形成过程;

（2）揭示解析几何的本质.

教学过程

1. 问题导引，建构知识框架

师：思考一下，在平面内如何刻画点的位置呢？

生1：建立坐标系，用坐标来刻画点的位置.

师：如何确定直线的位置呢？

生2：可以用两个点来确定——两点成线.

生3：也可以用一个点和一个方向来确定.

设计意图 从学生熟悉的内容出发，引导学生从代数的角度（如坐标）来刻画几何图形（如点、直线）.

师：x-y+1=0表示什么？

生4：二元一次方程.

师：还能表示什么呢？

生5：可以将x-y+1=0变形为y=x+1，它是一次函数，其图象为一条直线.

设计意图 通过开放性问题诱发学生体会直线与方程之间的对应关系，感悟知识间的内在联系，继而为后面用方程刻画直线奠基.

师：直线是由无数个点组成的，那么直线x-y+1=0上的这些无数点具有怎样的共性特征呢？

生6：这些点都在直线x-y+1=0上.

生7：直线x-y+1=0上点的坐标可以表示为（x，x+1）.

师：很好，若从方程的视角去理解，又有何发现呢？

生8：（x，x+1）是二元一次方程x-y+1=0的解.

师：非常好. 我们可以用图1来表示它们意义之间的对应关系.

设计意图 从学生的已有知识和经验出发，引导学生从“数”与“形”两个视角寻找直线上点的共性特征，建立二元一次方程的解与直线上点的坐标的一一对应关系，并学会用代数方法研究几何问题，提炼解析几何思想.

2. 创设情境，切入问题核心

师：在平面直角坐标系xOy中，经过点A（1，0），你能作出多少条直线？

生齐声答：无数条.

师：在此基础上，增加条件“与x轴的夹角为”，你又能作多少条直线？

生齐声答：两条.

师：若直线经过点A（1，0），且在第一象限的部分与x轴的正方向的夹角为. 你能得几条这样的直线？

生齐声答：一条.

设计意图 通过具体操作，引导学生关注作直线的另外一种方法，即一个点和一个方向，逐渐切入本节课的核心问题——如何刻画直线的方向.

师：在之前学习中，我们接触过方位角，谁来说一说确定方位角需要几个要素呢？

生9：三个，分别为：①一个基准;②旋转方向;③角度.

师：角与方向存在怎样的关系呢？

生齐声答：一一对应的关系.

师：请分别画出经过点A（1，0），且在第一象限的部分与x轴的正方向的夹角为和的直线，并说说你的操作过程.

设计意图 从学生的已有经验出发，引导学生关注一一对应的关系，找到刻画直线方向的量. 学生经历以上过程后，给出直线倾斜角的定义便水到渠成.

3. 挖掘经验，逐渐形成概念

师：我用几何画板画出了两条直线（如图2所示），观察一下，两条直线的倾斜程度一样吗？

生10：看上去两条直线是平行的，倾斜程度应该是一样的.

师：看上去确实一样，不过我刚刚用几何画板画的直线的方程分别为y=x和y=0.99x-2. 现在你还认为它们的倾斜程度一样吗？

生齐声答：不一样.

师：这说明了什么呢？

生11：判断直线的倾斜程度不能仅凭图象观察，还要结合直线方程，从代数的角度进行分析.

设计意图 先给出图形让学生观察，然后给出具体方程让学生对比分析，使学生直观感知“形”的不可靠和“数”的严谨性，从而激发学生用代数方法研究几何问题的热情，有助于提升学生的课堂参与度.

师：联系生活实际思考一下，如何让斜坡变得更“陡”呢？

生12：有两种方案：一是增加铅直高度;二是减小水平宽度.

师：坡度与宽度和高度存在怎样的关系呢？

生13：坡度=.

师：在初中阶段，我们学过坡度和坡角，两者有何区别，又存在怎样的关系呢？

生14：坡角表示的是一个角，而坡度为一个比值.

师：很好！如图3所示，在直线上任取两点P（x，y），Q（x，y），你能计算这条直线的“坡度”吗？

生15：过点P，Q分别作x轴、y轴的垂线，相交于点H，则该直线的“坡度”为（x≠x）.

师：直线的“坡度”与直线的倾斜角α具有怎样的关系？

生16：tanα=（x≠x）.

师：借助图3我们研究了倾斜角为锐角时的直线的倾斜程度，若一条直线的倾斜角为钝角，则它的倾斜程度又该如何研究呢？

生17：如图4所示，构造一个直角三角形PQH，则该直线的倾斜程度为 -=-=（x≠x）.

师：很好！当倾斜角α∈

，π

时，tanα=（x≠x）是否成立呢？

生齐声答：成立.

设计意图 从学生的生活经验出发，引导学生体验影响坡度的要素，从而得到坡度与高度和宽度的关系式. 为了深化学生的理解，教师利用数形结合的方法引导学生研究当直线的倾斜角α为锐角和钝角时，直线的倾斜程度与倾斜角α的关系式，并明确无论α是锐角还是钝角，tanα=（x≠x）都成立.

4. 深入剖析，感悟概念本质

师：当α∈

0，

∪

，π时，可以用来刻画直线的倾斜程度，且tanα=. 分析至此，大家有没有似曾相识的感觉？

生18：任意角的三角函数的定义.

师：回忆一下，当时是如何将三角形放在直角坐标系中的？角α的终边有什么特征？

生齐声答：角的终边过原点.

师：现在我们研究的直线不一定过原点，该怎么办呢？

生19：平移.

师：你的理由是——？

生19：平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状、大小和方向.

师：很好，已知直线l′的倾斜角α的始边在x轴的非负半轴上，终边在直线l′上，且直线l′过P（x，y），Q（x，y），O（0，0）三点，此时的tanα为何值？

生20：tanα==.

师：与有何数量关系呢？

生21：根据合比性质可知==.

师：综上可知，无论倾斜角α是锐角还是钝角，tanα=都可以刻画直线的倾斜程度. 对于直线的倾斜程度，tanα=都满足吗？

生22：几种特殊情况需要讨论一下：当α=0时，y=y，tanα==0，满足;当α=时，x=x，tanα不存在，也不存在，同样满足.

结合生22的说法，教师引导学生进一步分析、完善，从而得出斜率的定义. 学生理解并掌握斜率的定义后，教师引导学生总结归纳斜率与倾斜角的关系，即当α≠时，斜率k=tanα;当α=时，斜率不存在.

设计意图 通过旧知回顾，拉近了学生与新知的距离，淡化了逻辑推理的抽象性. 例如引导学生通过平移发现与和的数量关系，此时用来刻画直线的倾斜程度更易于学生理解和接受. 接下来，教师引导学生全面剖析tanα=的各种情况，揭示直线的倾斜角与斜率之间的关系. 这样将“数”与“形”紧密相连，深入揭示了解析几何的本质.

教学反思

教材虽说是浓缩的精华，但因限于篇幅而省略了思维过程，导致学生仅了解知识表象，未真正理解知识内涵，常出现似懂非懂的情况. 为改善现状，教师应依据学情和教材内容，选用合适的教学形式补充思维过程，帮助学生理清问题脉络，优化认知体系. 例如，在教学中，若单一呈现斜率概念虽便于学生求解，但从单元和解析几何教学来看，则难显其价值，无法展示研究方法，从而影响学生的知识体系的构建. 因此，在教学中，教师需要仔细研读教材，并精心呈现教材中的思维过程. 这样不仅有助于学生深刻地领悟教材的内涵，还能引导学生自然而然地联想并揭示概念的本质.

另外，在概念教学中，教师应提倡深度学习，引导学生积极主动地将已有知识、经验和思想方法投入知识的迁移和构建中来，有效打破学生被动学习的局面，提升学生的思维品质. 例如，在本节课教学中，教师引导学生将倾斜角与任意角的三角函数的定义联系起来，不仅促进学生理解和接受，而且凸显知识间的内在联系，有利于学生内化知识.

总之，教师要改变传统的“照本宣科”的教学方式，应深入研究教材和学生，关注知识间的内在联系，通过设问引导学生深度学习，揭示问题的本质，优化学生的认知结构，实现知识的融会贯通.