基于思维能力发展的课堂教学实践与思考

[摘 要] 培养学生思维能力可以帮助其更好地理解和把握学习内容，激发学生学习的主动性和积极性，提高学生分析和解决问题的能力，促进学生综合能力与综合素养的发展. 在高中数学教学中，教师应为学生精心创设问题情境，促使学生在问题的驱动下主动思考，以此培养学生的思维能力，发展学生的数学学科核心素养.

[关键词] 思维能力;问题情境;数学学科核心素养

思维能力是促进学生终身学习和发展的核心. 在教学中，教师不仅要传授学科知识，更要培养学生思考习惯和高水平的思维能力，以促进他们数学学科核心素养全面发展. 在实践教学中，采用怎样的教学方式更适合培养学生思考习惯和高水平的思维能力呢？笔者认为，教师应为学生构建一个平等和谐的学习环境，同时结合教学实际创设具有启发性的问题，促使学生在问题的引导下主动思考、积极交流、勇于表达，从“学会”走向“会学”，进而有效提升思维能力. 笔者以“函数和、差、积、商的导数”教学为例，谈谈对培养学生思维能力的几点认识.

教学分析

1. 教材分析

在学习本节课内容之前，学生已经掌握了导数的概念，并熟悉了常见函数的导数，为本节课的学习打下了坚实的基础. 通过本节课的学习，不仅能够加深对常见函数求导方法的理解和掌握，而且能够为后续学习复合函数的导数奠定坚实的基础. 在实践教学中，教师应以学生的已有知识和经验为基础，着重引导学生经历知识形成的过程，以此深化学生对知识的理解，提高学生的“四能”，落实数学学科核心素养.

2. 教学目标

（1）通过经历函数的四则运算的求导法则的生成过程，深化学生对知识的理解，提高学生发现、分析和解决问题的能力;

（2）体会特殊到一般的数学研究方法，逐步形成归纳猜想和合情论证的能力.

教学过程

1. 创设情境，引出新知

问题1 求函数y=x2+x的导数.

学生独立思考后，展示学生思考的过程.

生1：y′=2x+1.

h+aifXFGjc++q7aIXXjUgKvsRuem8DmqJK7gucW+gHs=师：你是如何想的？

生1：虽然我们没有学过函数y=x2+x的求导方法，但是学过y=x2，y=x等常见函数的求导方法，而（x2）′=2x，（x）′=1，所以函数y=x2+x的导数为y′=2x+1.

师：你们赞成生1的说法吗？（学生点头表示赞成）

师：能证明吗？

生2：====2x+Δx+1. 当Δx→0时，→2x+1，所以y′=2x+1.

师：很好，由此你们有什么发现？

生3：（x2+x）′=2x+1=（x2）′+（x）′.

设计意图 借助问题导向的方式，引领学生经历猜想、验证等过程，从而自然地引出本节课的教学重点. 这一过程巧妙地构建了新知与旧知之间的互动桥梁，激发了学生对未知领域的猜想与探索热情，有利于教学质量的提升.

2. 师生合作，探究新知

师：结合以上二次函数的求导过程，你们能得到一般结论吗？

生4：二次函数y=ax2+bx+c的导数为y′=（ax2+bx+c）′=（ax2）′+（bx）′+（c）′.

师：也就是说二次函数可以逐项求导. 如果将问题继续一般化，能否得到更一般的结论？

生5：若y=f（x）+g（x），则y=f（x）+g（x）的导数为y′=[f（x）+g（x）]′=f′（x）+g′（x）.

师：很好，你能用文字语言来表述吗？

生5：两个函数之和的导数等于两个函数的导数之和.

师：非常好，我们将[f（x）+g（x）]′=f′（x）+g′（x）称为函数和的求导法则. 如何证明呢？（教师启发学生参照问题1的证明过程）

师：利用函数和的求导法则，你能将y=ax2+bx+c的导数计算出来吗？

生6：y′=（ax2+bx+c）′=（ax2）′+（bx）′+（c）′=2ax+b.

师：思考（ax2）′=2ax的求导过程，你们有没有什么想法？

生7：常数a可以提取出来，即（ax2）′=a（x2）′=a·2x.

师：如果将其一般化，你们能得到怎样的结论？

生8：[af（x）]′=af′（x）（a为常数）.

师：如何证明它？

生齐声答：用定义法证明.

师：能用文字语言来表述吗？

生9：一个常数与一个函数之积的导数等于这个常数与这个函数的导数之积.

师：很好，常数一般用C来表示，即[Cf（x）]′=Cf′（x）（C为常数）.

师：函数y=Cf（x）从形式上看是两个函数的乘积，即常数函数乘一般函数. 如果将常数函数转化为一般函数，又能得到什么呢？

生10：研究y=f（x）g（x）的导数——也可以用定义法.

师：很好，现在请大家试一试，看看能得到怎样的结论.

教师让学生以小组为单位进行推导，然后展示学生的推导过程. （过程略）

师：你们得到的结论是——？

生11：y′=[f（x）g（x）]′=f（x）′g（x）+f（x）g′（x）.

师：很好，这个公式被称为函数积的求导法则.

师：以上我们研究了函数和与函数积的求导法则，接下来我们应该研究什么呢？又能得到怎样的结论呢？

在教师的启发和指导下，学生以小组合作的方式，共同探讨并获得函数差与函数商的求导法则：[f（x）-g（x）]′=f′（x）-g′（x）;

′=. 对于函数的求导法则的推导，教师鼓励学生在课后继续探究，以此深化学生对函数求导法则的理解，提升学生的运算素养和逻辑推理能力.

师：我们推导函数的求导法则有何价值呢？

生12：利用求导法则求函数的导数更快捷、高效.

生13：利用求导法则可以研究更多、更复杂的函数的导数.

设计意图 从函数和的求导法则出发，引导学生通过独立思考和合作探究的方式推导出函数积、差、商的求导法则，以发展学生的思维能力. 在上述推导过程中，教师重视渗透一般与特殊、类比等思想方法，引导学生经历猜想、验证、归纳等过程，以培养学生思维的严谨性，提高学生的运算素养. 同时，教学以学生探究为主，教师适时给予启发和指导，让学生通过经历知识形成的过程，深化对知识的理解，提高自主探究能力，发展数学学科核心素养.

3. 学以致用，理解新知

问题2 求下列函数的导数.

（1）f（x）=x+ex;（2）g（x）=sinx·cosx;（3）y=tanx.

问题给出后，教师没有急于呈现答案，而是预留时间让学生思考、交流.

师：对于第（1）题，如何求解？

生14：第（1）题求的是两个函数之和的导数，可以直接利用函数和的求导法则来求解，得f′（x）=x′+（ex）′=1+ex.

师：很好，抓住“和”这一特征，应用函数和的求导法则和基本初等函数的求导公式解决了问题.

师：第（2）题呢？

生15：直接利用函数积的求导法则求解，即g′（x）=（sinx）′·cosx+sinx·（cosx）′=cosx·cosx-sinx·sinx=cos2x-sin2x.

师：非常好. 对于第（3）题，又该如何求解呢？

生16：可以先将y=tanx转化为y=，再利用函数商的求导法则求解，即y′===.

师：非常好，同学们将原本陌生的内容成功转化为熟悉的内容，然后借助函数商的求导法则高效地解决了问题.

设计意图 引导学生应用函数的求导法则解决问题，一方面检测学生对求导法则的掌握情况，强化学生的记忆;另一方面让学生体会应用求导法则的简洁性、高效性，激发学生的学习热情.

问题3 已知函数f（x）的导数是f′（x），求[f（x）]2的导数.

师：谁来说说，问题3如何求解呢？

生17：[f（x）]2的导数可以看成f（x）·f（x）的导数，然后利用函数积的求导法则来求解，所以[f（x）·f（x）]′=2f（x）·f′（x）.

师：非常好. 现在我们来看看g（x）=sinx·cosx的导数问题：g（x）=sinx·cosx=sin2x，g′（x）=cos2x-sin2x=cos2x，由此你们有什么发现吗？

生18：函数g（x）=sin2x看上去不是今天所研究的函数类型，但是它依然能够求导.

师：很好，像y=[f（x）]2，g（x）=sin2x这样的函数被称为复合函数. 关于简单的复合函数的求导问题是下节课的研究重点.

设计意图 在巩固新知的基础上，教师通过追问将问题进行推广，从而为下节课研究复合函数的求导问题埋下伏笔.

4. 课堂小结，升华认知

师：通过本节课的学习你有哪些收获？还有哪些困惑？

设计意图 教师启发学生从知识、思想方法等层面进行归纳总结，在深化知识理解的同时，促使学生感悟知识背后的思想方法，从而完善学生的知识结构，提升学生的数学学科核心素养.

教学思考

在数学教学中，我们所追求的不仅是单纯的知识传授，更关键的是培养学生可持续学习的能力. 因此，教师应当从教学实际出发，精心构思并设计富有启发性的问题情境，引导学生通过细致的观察、深入的实践、积极的猜想以及严谨的验证，逐步熟悉并掌握探究问题的一般路径. 在此过程中，着重培养学生的关键能力和核心素养，以确保他们具备适应未来社会发展的终身学习能力.

在日常教学中，当教师提出问题后，应当给予学生充分的思考与交流时间，鼓励学生主动表达个人见解，从而深入了解学生的真实思维状况. 同时，教师应敏锐捕捉课堂中自然生成的各类资源，并对其进行合理开发与有效利用，以促进深度学习真实发生，真正提升学生的思考能力和综合素养.

总之，教师作为课堂教学的引领者、组织者，需全面深入地了解学生，精准地把握教学重点和难点，巧妙地设计问题情境，激发学生主动思考与交流的欲望，促使他们在解决问题的过程中深化对知识的理解，培养数学思维，提升数学素养.