突出知识结构 引领单元教学

[摘 要] 《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》在实施建议中强调：整体把握教学内容，促进数学学科核心素养连续性和阶段性发展. 单元起始课作为单元教学的开篇，对激活新知与旧知的内在联系，构建单元知识框架，形成逻辑体系，以及提升学习的主动性和前瞻性，具有至关重要的作用.

[关键词] 数列;知识结构;单元教学;起始课

引言

数学概念是构成数学知识结构体系的基础，也是数学思维的基础. 因此，理解数学概念，掌握和应用数学概念是学生形成数学学科核心素养的基本要求. 形成一个概念，往往要经历由过程开始，然后转变为对象的认知过程[1]. 对于概念教学而言，既要重视概念的对象性，又要重视概念的过程性.

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》在实施建议中强调：引导学生从整体上把握课程，实现学生数学学科核心素养的形成和发展[2]. 单元起始课作为单元教学的开篇，对激活新知与旧知的内在联系，构建单元知识框架，形成逻辑体系，以及提升学习的主动性和前瞻性，具有至关重要的作用;是帮助学生理解概念、把握本质，厘清知识的来龙去脉，建立知识之间的联系，整体把握课程的关键着力点.

“数列”单元起始课教学分析

1. 章引言的认识

深刻认识章引言，能够让教师更好地体会教材的编排意图，利于教师梳理单元起始课的教学思路. 苏教版选择性必修第一册的第4章“数列”的引言引用了德国数学家狄尔曼的话：“数学揭示着事物的本质与内核，它以形式简单而内涵丰富为其特征.”数学源于对现实世界的抽象，章引言引导学生从现实情境中抽象概念，挖掘本质，对本章的思想方法的提炼进行了铺垫和预设. 数列章引言示例如下：树木生长过程中枝丫的数目以及果实的个数与排列方式（配有树木和向日葵图片）……用以说明自然世界中的有些现象与“数”紧密联系着. 以树木的枝丫数为例，先将枝丫数按年份排列起来，培养学生对数列的初步认知;再从多个角度对这列数（斐波那契数列）的排列规律进行分析，为后续学习做好了铺垫，也为章节末尾的“阅读”留下了伏笔. 尤为重要的是，经由章引言中详述的三步研究流程，提炼并确立了主要的研究路径：用“数”刻画现象—将“数”按序排列—研究这列数的排列规律，进而深刻认识现象，揭示“数列”单元的学习意义和价值. 章引言末尾所提出的两个问题，充分体现了本单元以现实问题为背景，遵循“创设现实问题情境—建立数学模型—解决具体实际问题”的设计理念.

2. 教学内容的分析

苏教版高中数学选择性必修第一册“4.1 数列”，主要内容有：数列的定义、数列的项、数列的一般形式、数列的分类、数列与函数的关系、数列的通项公式和数列的递推公式. 数列作为一种特殊的函数，是数学的重要研究对象，数列的求和公式、通项公式等在高考考查中也有着十分重要的地位. 苏教版教材安排2个课时完成“4.1 数列”的教学. 第1课时的教学内容涵盖数列的相关概念，为保持知识生成的连贯性，在深入辨析概念内涵的过程中，务必突出数列是一种特殊的函数，引导学生深刻理解数列与函数之间的内在联系. 同时，数列的通项公式是数列的项与序号之间的对应关系，本质就是相应的函数解析式. 因此，在第1课时中，适时地引入并阐述数列概念显得尤为恰当且重要. 递推公式体现的是数列中项与项之间的关联性，而其反映的函数特性则相对较弱. 为了让学生能更深刻、准确地体会两者之间的区别与联系，避免混淆概念，数列的递推公式应纳入第2课时的教学内容中.

“数列”单元起始课教学过程及设计意图

1. 创设情境，提出问题

课程首语 大自然这本书是用数学的语言写成的. ——伽利略

情境引例 观察某株树木的枝丫数，第一年为1，第二年为1，第三年为2，第四年为3，第五年为5，第六年为8……（如图1所示）

问题1 通过记录下的这组数据，你能否发现树木生长的规律呢？（从第三年开始，每年的枝丫数是前两年枝丫数的和.）

追问1：你是如何处理这组数据，从而发现这个规律的？（将它们按年份的先后顺序记录并排列起来：1，1，2，3，5，8，…，观察发现.）

追问2：经过六年的生长，我们总共统计了多少枝丫呢？（将前六个数相加求和）

问题2 你能从生活中，找到其他按顺序记录数据的事例吗？

设计意图 课程首语选用伽利略的名言，契合本节课通过生活中的实际背景抽象数列概念的设计思路. 选取章引言中的树木枝丫数的情境作为引例并提出问题1，让学生体会到按顺序记录数据的实际意义，领悟学习本节课对数列认知的重要性. 在此过程中，学生完成了数列概念的初步抽象化，实现了从文字描述到数字表达的跨越. 从单元教学视角来看，为后续认识递推公式、研究斐波那契数列提供了一贯性的学习素材. 追问2的设计，旨在让学生亲身体验将多个数相加的实际需求，从而为后续学习数列求和奠定基础，初步感知单元学习中后续内容的方向. 学生通过对问题2的思考和解答，能为引导生成数列概念提供大量的生活实例.

2. 抽象概括，建构概念

情境1 高二（1）班某位学生在5次考试中的数学成绩依次为：116，103， 105，99，103. ①

情境2 在线上教学时，输入网课课堂密码：6，1，8，6，1，8. ②

情境3 人类在1740年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔83年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为：1740，1823， 1906，1989，2072，…. ③

情境4 某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为2个，那么每过1分钟，1个细胞分裂的个数依次为：1，2，4， 8，16，…. ④

情境5 “一尺之捶，日取其半，万世不竭”，若将“一尺之捶”视为1份，则每日剩下的部分依次为：，，，，，…. ⑤

思考 考察上述问题，这些问题有什么共同特点？

师生交流：它们都是一列数，并且按照一定次序排列. （教师在学生交流的基础上进行补充，生成数列的概念：按照一定次序排列的一列数称为数列.）

设计意图 上述情境，部分源于学生所举的实例（如情境1和情境2），部分为教师所举的例子. 包括引例情境在内，共呈现了六个按顺序记录数据，研究事物变化规律的生活实例，涉及学习、生活、天文学、生物学、数学等，向学生充分说明了数列在现实生活中的普遍存在性和广泛应用性. 六个实例蕴含了等差数列、等比数列、有穷数列以及无穷数列，为后面分类数列埋下了伏笔. 在分析六个情境（数学问题）的基础上，引导学生细致观察、积极思考，促使他们经历概念的第二次抽象过程. 随后，鼓励学生归纳总结这些情境的共同特点，进而提炼出数列概念的精确且富有描述性的文字表述.

问题3 类比以前的学习经历（如函数概念中的“每一个”“唯一”，向量概念中的“大小”“方向”），你能找到数列概念中的关键词吗？（次序、一列数）

追问：引入一个新概念后，后续还要研究什么？（分类、表示、特殊数列等）

问题4 同学们谈到分类，那么数列①～⑤有什么不同点？（小组讨论）

师生交流：从“次序（变化）”和“一列数（项数）”两个维度进行分类，并通过PPT展示出来（如图2所示）.

问题5 能否用一般化的符号表示这些各不相同的数列？（紧扣概念中的关键词“次序”“一列数”）

追问：这样表示清楚吗？简洁吗？（引出数列的简记形式）

设计意图 引领学生借助先前学习概念的经验，深化对数列相关问题的研究，如分类、表示、性质、特殊数列、应用等. 既能让学生自行提出学习方向，使得数列概念结构的完善更加自然，又利于学生初步建立知识脉络的大体框架，进而建构单元知识体系. 通过探索数列的一般形式，学生亲历了数列概念从文字描述向数学符号表达的抽象化过程，成功实现了对数列的符号化表征. 抽象数列的简记形式，将数列由常量表述抽象为变量表述，为后续深入剖析数列的内在含义及明确数列的函数本质奠定坚实基础.

3. 内涵辨析，理解概念

师：我们以数列④为例，检验一下同学们是否掌握了数列的相关概念.

问题6 数列④的首项是什么？2，4，8，16对应的序号是什么？序号n对应的就是第n项a，具体的a是什么？

师：a=2n-1反映了数列④的第n项与序号n之间的关系. 一般地，如果数列

a的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式.

追问：如何求a？你是如何认识符号“a”的？

通过前面的分析，在师生交流的基础上，学生认识到符号“a”既是“确定的”又是“任意的”，即a表示的是数列的第n项，同时作为通项公式，对数列中的每一项均普遍适用.

设计意图 苏教版教材在明晰了数列的一般形式和简记形式后，即引导学生探究数列与函数的关系，之后通过例1生成通项公式的概念. 在实际教学中，笔者对此进行了调整，以数列④为研究对象，将例1中的问题前置探讨，在复习巩固数列相关概念的基础上，引导学生发现数列规律，能用序号n表示数列的第n项，从而得到数列通项公式的概念. 通过师生间的积极互动，对符号“a”进行深层次的再认识与再理解. 调整后，更好地强化数列概念的整体性展现，助力学生构建稳固的概念框架，并促进对符号“a”的认知以递进、连贯的方式持续发展.

师：通过前面的分析，序号“1”与数列中的项“1”相对应，序号“2”与数列中的项“2”相对应，序号“3”与数列中的项“4”相对应……这种对应关系，同学们熟悉吗？

生：这种对应关系应该是函数.

问题7 数列是函数吗？说说理由. （小组讨论）

学生通过交流发现：数列中，每一个序号n都有唯一的项a与之对应，根据函数的定义可以确定数列是函数.

用PPT展示图3.

问题8 a=2n-1与f（x）=2x-1是否为同一个函数？

生：两者的对应关系虽然一致，但定义域不同——a=2n-1中的n取正整数，而f（x）=2x-1的定义域为R，所以它们不是同一个函数.

问题9 数列是一个什么样的函数？谈谈你的认识.

教师在学生交流的基础上提炼出数列与函数之间的关系：数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，k}）为定义域的函数a=f（n），当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值.

设计意图 辨析数列的本质，厘清数列与函数之间的关系是本节课的教学难点，也是后续应用函数观点解决数列问题的基础. 以具体数列为起点，引领学生深入联想函数知识，领悟数列所蕴含的函数特征，通过开展全面性的探索活动，揭示数列的本质属性——一类特殊的函数. 以问题“是否为同一个函数”为切入点，再次审视所研究的具体数列，通过对比相应的函数，探究数列的特殊性质. 历经具体对象的研究过程，学生自然而然地提炼出一般性认知：数列是一类特殊的函数. 对于数列的定义域是正整数集（或它的有限子集{1，2，…，k}），学生难以理解，此时可以借助导入情境中的有穷数列帮助学生明晰. 对于值域的认识，可从集合入手，让学生明确数列中的项的集合是数列的值域.

4. 典例探究，巩固概念

例1 写出下列数列的一个通项公式.

（1），，，，，…;

（2）1740，1823，1906，1989，2072，….

追问1：能否写出情境1中的数列“116，103，105，99，103”的通项公式？

师：数列的通项公式的定义指出“一般地，如果数列

a的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示……”，意味着某些数列的第n项与序号n之间的关系不可以用一个公式来表示，这样的数列我们该如何表示呢？

追问2：是否所有函数都有解析式？

追问3：除了解析式外，函数还有其他表示方式吗？数列呢？

例2 已知数列

a的通项公式，写出这个数列的前5项，并作出它的图象：

（1）a=;

（2）a=.

设计意图 有意识地引导学生通过观察归纳、变形运算解决例1，也是立足单元教学对所需的思维方法进行铺垫和渗透. 在学生尝试用通项公式表示给定数列未果后，以通项公式的概念为切入点，引导学生从函数的角度出发，深入思考数列的其他表示方式. 随后，自然而然地引入例2，这一举措不仅确保了教学内容的连贯性，也强化了例题之间的逻辑联系. 对于数列的图象，学生应能发现其为“一系列离散的点”，更重要的是引导学生再从函数的角度出发，深入剖析数列图象的特点，加深对数列本质特征及特殊性质的理解.

5. 课堂小结，巩固概念

梳理教学过程，展示概念结构（如图4所示）.

设计意图 在课堂小结中，梳理本节课数列的基本框架和知识生成路径. 认识数列的过程是一个不断抽象的过程，也是数学概念建构的一般过程. 通过引领学生回顾本节课的学习经历，同步感悟“用数学眼光观察世界，用数学思维思考世界，用数学语言表达世界”，将提升学生的数学素养深植于课堂教学之中. 立足数列“单元”视角，从解题方法和知识模块两个维度，对后续单元学习内容实施“引学”，避免学生漫无目的地“跟学”，进而强化学习的目的性与针对性.

教学感悟

单元起始课普遍聚焦于概念教学，而概念教学不仅是课堂教学的重中之重，也是整个单元教学不可或缺的关键一环. 教师应当从单元教学的宏观视角出发，在概念生成的过程中，引领学生清晰梳理知识结构，确保单元教学目标能顺利实现.

1. 突出概念架构的系统性

从课堂教学实践而言，系统性的概念架构取决于概念教学的逻辑性和整体性. 概念教学必须体现概念的生成过程，不能直接告诉学生“是什么”，而应自然而然地引导学生探索概念的背景、概念引入的必要性、概念的表述以及概念的本质与联系，从而帮助学生依据逻辑顺序，构建清晰的概念认知脉络，从而实现对概念的深刻理解与掌握. 概念教学应秉持整体观念，着重于内容间的相互关联，系统筹划起始课的概念教学方案，以彰显概念架构的整体连贯性. 同时，将概念融入单元整体知识体系中，聚焦于知识的生长点，促使学生深刻感受概念架构的发散与延展潜力. 本节课教学，致力于让学生在掌握数列相关概念的基础上，能够前瞻性地预测后续知识的发展趋势，并进一步完善概念架构.

2. 落实素养育人的实操性

概念教学不仅是学生掌握基础知识与基本技能这一可见性目标的桥梁，更是推动学生深刻领悟数学思想方法、累积宝贵实践经验的内隐性目标的关键媒介. 数学概念的生成和建构依托于数学思想方法的应用，归结为抽象（情境—概念）、推理（概念—性质—结构）、建模（概念、性质、结构—应用）等三个要素[3]. 在数列概念的构建过程中，引领学生先从数列概念的外延边界起步，逐步深入至数字刻画，再转化为文字阐述，最终抵达符号表达与简记. 在这一过程中，鼓励学生深入剖析概念的内在精髓，从而清晰洞察数列的本质属性. 学生亲历概念的生成过程，累积从具体到抽象掌握数学新概念的实践经验，构建研究数学问题的一般架构，进而获得迁移解决新问题的能力，切实实现育人目标.

参考文献：

[1] 苏洪雨，章建跃，郭慧清. 数学学科核心素养视野下的高中函数概念教学“再创造”[J]. 数学通报，2020，59（8）：25-31+35.

[2] 中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M]. 北京：人民教育出版社，2020

[3] 章建跃. 数学学科核心素养导向的“单元一课时”教学设计（续）[J]. 中学数学教学参考，2020（16）：6-12.