图形与定量结合 直观与推理并进

［ 摘 要 ］几何直观与逻辑推理是数学核心素养的重要组成部分.文章通过对一道中考试题的研究，探索通过定量计算凸显几何图形结构特征的路径，探究在不同视角下问题的多种解决方法.分析发展几何直观与逻辑推理的路径、方法与价值，积累几何问题的数学探究经验，发展数学核心素养.

［ 关键词 ］基本图形；定量计算；几何直观；抽象能力

试题评价

1.图形简洁，匀称美观

本题的图形背景是一个大家熟知的等腰三角形，等腰三角形是一个轴对称图形，具有轴对称性；折叠的两个三角形也是关于对称轴对称的图形，从形式上充分体现了几何图形的简洁美与对称美 . 题目构思巧妙，贯穿了等腰三角形、直角三角形、相似三角形、四点共圆、解直角三角形等初中数学核心知识之间的联系，渗透了方程思想、转化思想、数形结合等数学思想方法.2356f6a06166a2963b2505e1b19ac288无论是图形结构还是解题过程，都给人以美的享受.

2.强化结构，启迪思维

本题的设计从学生熟知的等腰三角形入手，融汇了折叠的基本图形.熟知这一基本图形的特征与结论，可以提升学生对图形的整体感知.

本题的解题口径宽，不同能力层次的学生可以根据自己的能力选择熟悉的解题方法与路径进行探索，学生的创造性思维与想象力得到拓展，学生在解题过程中启迪了思维，享受了探究的乐趣.

3.定量计算，数形结合

本题通过定量计算，进行演绎论证，达到了以数助形的效果，精细刻画了图形的结构特征，揭示了图形的本质.让学生能够从不同图形的结构中，寻找等量关系列出方程进行计算求解，促进了学生思维能力的提升，同时也促进了学生抽象思维能力、逻辑推理能力等核心素养的发展.

解法探析

结合题中所蕴含的基本图形的分析，可以从等腰三角形、直角三角形、相似三角形、四点共圆、三角形的边角关系等基本图形入手展开联想，根据题中给出的条件与所求，运用综合法与分析法进行思路探究，在基本图形中根据结构特征，寻找等量关系，列出方程，进行计算求解.

教学导向分析

1.重视基本图形，培育几何直观

几何直观是《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心关键词之一，也是贯穿学生数学学习始终的重要思想方法，其中，几何问题中的一些基本图形是理解几何直观的有效载体.基本图形是指与几何核心概念、重要结论紧密关联，蕴含丰富结论的，在分析和解决复杂几何问题的过程中得到广泛应用的几何图形.教材与练习中都呈现有很多典型的基本图形，深刻理解其中条件和结论之间的联系后，可以直接将与之相关的问题转化为熟悉的基本图形，从而从几何直观的角度迅速找到解题思路.

2.利用定量计算，刻画结构特征

通过计算进行定量分析，可以更加精准地反映几何图形的结构特征.如直角三角形勾股定理与边角关系，相似三角形的对应边成比例等，利用这些等量关系列方程进行计算，进一步理解几何基本图形的特征；通过推理证明进行定性分析，形成结构化的经验认识 . 通过计算与证明，可以让几何基本图形的结构更加明晰，特征更加明显.

3.重视逻辑推理，提高抽象能力

通过对图形进行定量计算，利用概念与性质进行几何推理，可以有效地提高学生的思维能力 . 加强思维训练是提高抽象思维能力的关键，只有通过反复思考、分析和总结，才能逐渐提高自己的抽象思维能力 . 逻辑思维能力是提高抽象思维能力的基础 . 只有通过正确的逻辑推理，才能形成准确、深刻的抽象认识.