落实整体教学观念 促进核心素养发展

［ 摘 要 ］数学课程要培养的核心素养具有阶段性、连续性、整合性等特点，“四基”是发展这些核心素养的有效载体．在促进数学核心素养发展的教学研究与实践中，需要教师树牢整体教学观念，即通过一节课或几节课关注更大范围（如一个单元、一个主题，甚至跨学科主题等）的教学，旨在突出教学内容的整体性．研究者以“二次函数的图象及性质”的教学实践为例，探讨如何以函数为主题开展教学，并在课堂教学中抓住函数概念本质，整体把握函数学习的特点和规律，注重内容的整体性、逻辑的连贯性、思想的一致性、方法的普适性和思维的系统性．

［ 关键词 ］整体教学观念；数学核心素养；二次函数

数学教育承载着落实立德树人根本任务、实施素质教育的功能．义务教育数学课程具有基础性、普及性和发展性 ［1］ ．数学课程要培养的核心素养具有阶段性、连续性、整合性等特点，“四基”是发展这些核心素养的有效载体 ［2］ ．

在落实素养发展的教学研究与实践中，有很多研究与探索，例如主题教学、单元教学、大概念教学以及深度学习，它们的一个共同特点是不提倡传统的围绕单一课时（即课时教学）展开的零散教学，而是通过一节课或几节课关注更大范围（如一个单元、一个主题，甚至跨学科主题等）的教学，突出教学内容的整体性，也就是整体教学观念 ［3］ ．

如何整体把握教学内容，突出数学本质，发展学生的核心素养？笔者以“二次函数的图象及性质”的教学为例，探讨如何在课堂教学中抓住函数本质，从整体上把握函数学习的特点，注重内容的整体性、逻辑的连贯性、思想的一致性、方法的普适性和思维的系统性.下面，就以函数为主题展开教学．

提出研究问题，讨论研究思路

二次函数是学生在学习了一次函数后研究的第二个具体函数．在教师对函数主题学习特点的整体把握下，学生在学习一次函数时逐步积累了研究函数的基本活动经验，初步掌握了研究函数的一般方法．因此，二次函数的教学思路是由师生共同讨论确定研究对象、研究内容，学生以学习小组为单位自主展开研究．

师：上节课我们从实际问题中抽象出了一类具体函数 — —二次函数，你能举一些现实生活中二次函数的例子吗？

生 1：圆的面积 S是它的半径 r的二次函数．

生2：用20米的栅栏围成一个 矩形的小花园，小花园的面积y是 它的一边长x的二次函数.

师：同学们举的这些例子都非 常好，接下来，我们会特别关注在 这些问题中变量之间的变化规律， 看它们有什么共性.这其实就是要 研究二次函数的什么呢？

经过讨论之后，学生渐渐打开

了思路：自变量x的取值范围、函 数值y的取值范围、函数的图象、 函数的增减性、两个函数图象的位 置关系（平移、旋转等）、函数的应 用……

师：我们学过了一次函数，那 时是怎么研究函数的图象和性质的？

你有什么经验？

生3：先画一些特殊函数的图象，再由图象归纳性质。

生4：也可以不画图，从解析 式直接分析它的图象和性质.

师：同学们的想法都非常好. 有的同学提到先用描点法画一些特 殊函数的图象，由图象归纳性质， 这是我们之前常用的方法，数形结 合，非常直观.此外，同学们还注 意到了从特殊到一般去归纳函数的 性质，非常棒.有的同学提出也可 以不画图，从解析式直接分析它的 性质，然后再用图象去验证，这种 方法比较抽象，也非常棒.

师：今天，同学们以学习小组为 单位，商讨选择一种思路来自主研究 二次函数的图象和性质，然后各小组 可以汇报和交流你们的研究成果.

小组合作学习，自主展开研究

全班学生分成5个组，每组约6 人，学生以学习小组为单位自主研 究二次函数的图象和性质.教师进 行课堂巡视观察，根据各组研讨情 况适度参与小组讨论.通过这部分 内容的学习，让学生进一步了解， 尽管研究对象在变，但研究数学概 念的基本思想方法不变，从而分阶 段逐步加深学生对函数的理解，体 现整体把握下的螺旋上升原则.

1.确定研究规划路线图

学生类比一元二次方程的研究 经验，制定二次函数的图象和性质 的研究规划路线图.

按照从简单到复杂、从特殊到 一般的顺序，以“二次函数的图象 和性质”的研究规划路线图为路径， 大约通过6节课完成二次函数的图象和性质的研究过程，每节课的研 究成果，都为后一节课的研究提供 基本活动经验和思路，同时根据研 究进程微调研究路线图.

在此过程中，学生可以充分感 受到配方法、图象平移法等方法起 到的重要作用，不断体会到数形结 合思想的作用，不断领悟几何直观 的价值意义.学生在深入理解函数 的本质，关注函数研究的一般方法 的过程中，逐渐形成简化的、本质 的、对未来学习更有支持意义的、 内在逻辑性较强的函数的知识结构， 形成科学的思维习惯.

2.自主展开研究活动

这部分内容以“独立探究和小 组交流”的学习方式展开.学生们 借助以往学习函数的活动经验自主 研究新函数，即二次函数.师生互 动，生生互动，课堂氛围和谐愉快， 学生的思维深度参与，不断碰撞， 研究热情高涨.

大部分小组是从特殊函数入手， 画出函数图象，再抽象概括二次函 数的图象特点和性质，这说明大部 分学生已经可以比较熟练地自主研 究一个新函数.有的小组思考得很 深，从函数解析式的特征入手，得 出猜想，然后画出函数的示意图， 验证猜想，再进一步分析或概括出 函数的性质，数形结合更加深入.

函数图象是研究函数性质的直 观载体，从图象上可以观察函数的 变化规律，整体上把握函数性质， 但是难以深入局部和细节.而通过 函数的解析式可以对函数的性质进 行细微的“解读”，但很抽象，不直 观.教师在巡视指导过程中，若发 现学生在讨论过程中出现了有价值 的问题，应引导学生深入分析原因， 及时调整研究方向，以期抓住函数 的本质特征.在小组自主开展研究 的过程中，可使学生不断地感受和深入理解“函数解析式和函数图象” 的关系.

二次函数不同于一次函数，函 数解析式的结构从“一次”提升到 了“二次”，函数图象的形态并不确 定.学生在使用描点法时，可能不 确定某点或某段上的函数值，不能 准确地描述函数图象的整体走势， 此时，教师应引导学生借助函数解 析式，分析函数值，猜测图象大致 的走势，再利用几何画板、图形计 算器等软件或学具绘制函数图象， 进而验证猜想的正确性，研究函数 特征，回归到解析式，“再认识”函 数特征.

3.小组汇报研究成果

5个学习小组从“研究角度、 研究方法和研究成果”几个方面进 行汇报交流，有的小组还采用了思 维导图的方式呈现汇报内容，赢得 了同学们的一致称赞.

下面选取一部分小组汇报进行说明：

【研究对象：二次函数y=ax²（a≠0）】

小组1我们先取一些特殊的二 次函数画图，例如y=x²（a>0的函数 代表），y=-x²（a<0的函数代表）， 然后抽象概括性质，发现了一些比较

典型的函数特征：图象有最低点或最 高点，对应可以得到函数的最小值和 最大值；图象是对称的，是一个轴对 称图形；一个图象中包括下降和上升 两个变化趋势，因此二次函数的增减 性比一次函数要复杂些，需要分区域 说明；图象经过的象限也和一次函数 不同；和坐标轴的交点竟然重合到了 一点（0，0）……

小组2我们研究了最一般的 二次函数y=ax2（a≠0）的图象和 性质，由于a不确定就没有先画图， 而是从解析式出发分析了它的图象 特点和一些性质，边分析边画了一些图，验证了猜想，也发现了更多 的性质.

我们先关注了自变量x的取值 范围是全体实数，而函数值y就有 点意思了.如果a>0时，x²具有非 负性，所以不论自变量x取什么值， 函数值y都是“大于等于零”的， 它的图象就不会分布在第三象限和 第四象限；如果a<0时，函数值y 都是“小于等于零”的，它的图象 就不会分布在第一象限和第二象限， 所以我们进行了分类，分a>0和a< 0两类情况进行研究.

当a>0时，在第一象限内，由 于当x>0时，由y=ax2（a>0）可 知，x越大，y越大，所以图象应该 是上升趋势.在第二象限内，由于 x<0，由y=ax2（a>0）可知，x越 大，y越小，所以第二象限的图象是 下降趋势，从而得出了函数的增减 性.（当a<0时的情况，具体汇报 过程略）

第1小组通过画图，发现了二 次函数图象是轴对称图形.后来我 们研究发现由解析式y=ax²（a≠0）

可知，如果点（m，n）在函数图象 上，那么点（-m，n）也在函数图 象上，从而进一步证实了这个发现.

【研究对象：二次函数y=ax²+ c（a≠0）】

小组3在探究过程中，我们对 系数进行分类讨论，以二次函数y= x2+1和y=x²-2为代表进行了研究. 结合上一节的研究经验，确定的研究

角度是：自变量x的取值范围、函数 值y的取值范围、函数值y随自变量x 的变化而变化的趋势（增减性）、对称 性（轴对称或中心对称）、函数的最 值、函数图象与坐标轴的交点.

在画图过程中，我们发现了一

个有趣的现象：y=x2+1和y=x2- 2可以由y=x²上下平移得到对应的 函数图象，因为是“平移”关系，也就具有同样的函数特征，而且这 个研究结论是可以推广到一般情况 的.在老师的引导下，我们组从 “表格”“解析式”和“图象”三个 方面验证和理解二次函数y=ax²+c （a#0）的图象与y=ax2（a#0）的图 象之间的平移关系，充分感受函数 图象平移的原因.

因此，在后续的研究中，我们 的研究角度又多了一个：寻找与已 知函数之间的关系，如图3.

学生在用描点法画图象时，先 分析函数解析式的结构特点，猜测 图象大致的变化趋势，再选取具有 代表性的点.教学中，我注重培养 学生严谨的探究态度，体会到描点 画图象的局限性.鼓励学生借助几 何画板或图形计算器画精确的图象， 得到函数特征.“式决定形，形再认 识式”，体会数形结合思想.

随着研究的深入，二次函数的解析式变得更加具有一般性，学生需要考虑的研究角度更多，研究内容更复杂．学生通过交流、猜想、画图、观察、验证、概括等活动过程，逐步理解研究函数的基本方法，进一步学会特殊到一般、数形结合的研究思路．

回顾研究过程，梳理研究方法

1.总结研究函数的基本方法

学生回顾研究过程，梳理研究方法，不仅对函数的基本研究方法更清楚了，对函数的认识也更加深入了，这促使学生更好地理解知识本质，打通函数、一次函数、二次函数之间的关联，建构起函数主题下比较清晰的知识脉络，形成一般化的研究方法和认识方法.

2.梳理研究函数的基本维度

通过回顾二次函数的研究流程，明确探究一个新函数特征的研究角度和维度．

（1）自变量x的取值范围，函数值y的取值范围；

（2）函数值y随自变量x的变化 而变化的趋势（增减性）；

（3）函数图象的对称性（轴对称或中心对称）；

（4）函数的最值（函数图象的最低点或最高点）；

（5）函数图象与坐标轴的交点；

（6）寻找与已知函数之间的 关系.

在对基本函数进行教学的时候， 除了关注相应函数的性状的研究之 外，还要引导学生感悟研究函数的 基本方法和研究函数问题的维度， 很好地激发学生认识新函数、解决 新问题的热情和信心.

人们要认识客观事物的本质，必须在感性认识的基础上，上升到理性认识，通过思维活动才能达到对事物内部规律性的联系及其本质的认识．思维是人脑这个高度组织起来的物质的机能，是对外部现实的能动的反映 ［4］ ．从整体上把握教学内容，通过制定具有全面性、阶段性和操作性的教学目标，注重数学知识和素养的螺旋式上升，展现给学生一个科学完整的发现过程，让学生了解知识的来龙去脉以及关于知识的“原创性”思考，理解数学的本质，进而构建自己关于数学知识体系、素养、“四基”和“四能”的认知网络，形成系统化和结构化的思维 ［4］ ．

在具体的教学实施过程中，教师不应拘泥于主题教学、单元教学或大概念教学等概念在学术上的严格界定，而应将其作为实现整体把握教学的一种形式，突出它们在实现整体把握数学内容及教学方面的特殊价值，重视数学知识的产生与来源、结构与关联、价值与意义，强化对数学本质的理解，帮助学生建立起对未来学习有支撑意义的数学基础知识结构，体会和感悟不同教学内容背后具有一致性、可迁移性的数学思想与活动经验，形成良好的数学思维习惯，发展核心素养 ［5］ ．

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准 （2022 年版）［M］．北 京 ： 北 京 师 范 大 学 出 版 社 ，2022．

［2］ ［5］ 孙晓天，沈杰．义务教育课程标准（2022年版）课例式解读［M］．北京：教育科学出版社，2022．

［3］刘晓玫．深度学习：走向核心素养 ［M］．北京：教育科学出版社，2019．

［4］温寒江．思维的全面发展与中小学创新能力培养［M］．北京：教育科学出版社，2015．