尺规作图的小思考

［ 摘 要 ］面对尺规作图题，很多学生还不会方法，只能随手画一些基本尺规作图，如角平分线、垂直平分线，解题仍停留在碰运气阶段，人也比较茫然，他们急需解决尺规作图题的方法.本文中“先有答案，再有分析”的方法能帮助学生很好地解决尺规作图问题.

［ 关键词 ］尺规作图；等腰三角形；相似

《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求：对于尺规作图，学生不仅要知道作图的步骤，而且要能知道实施这些步骤的理由 ［1］ .实际教学中，很多学生面对尺规作图题都束手无策，只能对着图空想，或者胡乱画几笔，运气好可能解决了问题，大多数情况只能“望题兴叹”. 尺规作图不仅是一种画图操作，更是数学思维和数学探究的一种过程以及知法明理的追溯.对于尺规作图题，通过逻辑分析，再进行画图操作才是解决问题的正确方法.下面，以一道尺规作图题为例，阐述笔者的一点小思考.

试题呈现

如图1，已知点P是∠AOB内部的一点，过点P用直尺和圆规作直线CD，直线CD分别交OA，OB于点C，D，使得OC = OD.

问题解析

比较两个数的大小，学生通常用“做差法”；证明两条线段相等，学生通常证明全等或等角对等边 .解决尺规作图题也有方法 .笔者经常和学生说，“先有答案，再有分析”，就是假设画出了一个大致满足题意的结果图，然后联想已掌握的相关知识点，综合分析这个图满足何种性质，最后借助分析所得性质反向画图 . 如图 2，假设 CD 已经画出，就会出现△COD，它是等腰三角形，分析等腰三角形的性质：三线合一，等边对等角；等腰三角形判定：等角对等边.联想之前的解题经验：构造全等三角形，相似三角形等思路.

解法一：如图3，作∠AOB的角平分线OE，过P做OE的垂线，分别交OA，OB于点C，D，点C，D即为所求.

解法分析：此种解法很容易想到，学生熟悉等腰三角形的性质：三线合一，顶角平分线垂直于底边，所以只需过P作顶角平分线的垂线.

解法二：如图4，连接OP，作∠COE=∠DOP，截取OF=OP，连接PF，分别交OA，OB于点C，D，点C，D即为所求.

解法分析：要想得到OC=OD，可以考虑构造全等三角形，如果连接OP，那么△POD就确定了，利用等腰三角形的轴对称性，只需构造出△COF即可.

解法三：如图5，过P作PE∥OB，交OA于点E，截取CE=EP，交OA于点C，连接CP，交OB于点D，点C，D即为所求.

解法四：如图6，以O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA，OB于点E，F，过P作EF的平行线（构造平行四边形），交OA，Sq+NrLY0RBJXMBE2HhmPLpCuR/r3d4rSHaMfyLot6CY=OB于点C，D，点C，D即为所求.

解法分析：通常以往的解题经验对于解决新问题是有帮助的，上面的解题思路源于笔者曾在波利亚《怎样解题》 这本书中看到过：作三角形的内接正方形.思路大致是：先依托三角形的边做一个小正方形，然后利用位似构造内接正方形 . 所以，可以类比，先做一个等腰三角形，然后利用“A型”相似解决问题.

解法五：如图7，作∠AOB的角平分线 OE，过 P 作 PF⊥OA，垂足为 F，作∠FPC = ∠AOE，交 OA 于点 C，连接 CP，交 OB 于点 D，点C，D即为所求.

解法分析：按照“先有答案，再有分析”的方法，已知∠AOB，如 果 △ COD 为 等 腰 三 角 形 ， 则∠OCD的大小为90° -1/2∠AOB，只需过点P作∠OCP = 90° - 1/2∠AOB.

思考

面对尺规作图，很多学生的解题方法目前还停留在“综合法”，即由因索果 .它来源于学生解答简单几何证明题的活动经验 .简单尺规作图题，由题目条件往往可以推导出很多有用的信息，这样问题基本就解决了 .而面对有难度的尺规作图题，已知条件非常少，不能往下推导出很多有用的信息，“综合法”几乎就行不通了，这时候可以采用“分析法”，即由果索因，笔者将其总结为“先有答案，再有分析”，就是假设图的结果已然画出，再去分析它具有的性质，利用所分析的性质反向作图，如本文中假设 C，D已经画出，联想等腰三角形的性质和已有的解题经验 .尺规作图是中学数学的重要内容，是思维训练的重要载体，掌握它的解题方法很重要，希望“先有答案，再有分析”的方法对学生解题有所帮助.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.