大单元视域下初中数学“问题链”教学实践的研究

［ 摘 要 ］“问题链”的应用可有效推动学生思维的发展，促使学生自主进入深度学习与思考的状态，为发展核心素养奠定基础.在“一次函数的图象”教学中，研究者基于大单元视域，创设“问题链”，以增强学生在课堂中的主观能动性，发展学生的数学核心素养.

［ 关键词 ］大单元；问题链；一次函数

培养学生的数学思维，发展学生的核心素养是数学学科教学的主要目标 .“问题链”的应用可有效推动学生思维的发展，促使学生自主进入深度学习，为发展学力、提升素养奠定基础 . 《义务教育数学课程标准 （2022 年版）》 的落地，使得大单元教学成为当前最受欢迎的模式，如何基于大单元视域用好“问题链”，以增强学生在课堂中的主观能动性，促进教育的高质量发展呢？本文以“一次函数的图象”教学为例，具体从如下几方面展开探索.

单元分析

一次函数图象内容隶属于函数章节，函数的主要作用在于探索现实事物间的规律或变量关系，是整个初中阶段“数与代数”部分的重点知识，也是后续高中阶段学习函数的基础.不同类型的函数之间存在一些关联，一次函数图象属于其中的一小部分，因此教师在教学之前需从大单元视域出发整理知识脉络，促使学生从宏观的角度认识本节课教学的重要性，也为构建完整的知识结构夯实基础.

鉴于教师是基于大单元视域借助“问题链”讲授本节课内容，因此，除了要分析教学内容，还要充分了解学情，根据学生的实际认知水平设计落于学生思维“最近发展区”的问题，以增强教学实效.教学简录

1.创设情境，揭示主题

情境：在一种型号的弹簧下悬吊一些不同质量的物品，并将弹簧长度记录下来，如物品的质量分别为 0 kg，1 kg，2 kg，3 kg…，弹簧长度分别为 8 cm，8.5 cm，9 cm，9.5 cm…，当物品质量为 2.5 kg时，弹簧的长度是多少？

此为一个与学生认知有关的生活情境，学生对这一现象并不陌生，却没有实际探索过.将该生活现象作为课堂导入的情境，可激发学生的探索动机.

师生活动 要求学生将情境中的数量关系罗列到一张表格中，便于观察与分析.学生可自主列表探索物品质量的增加与弹簧长度之间存在一定的关系，如物品增加 1 kg，弹簧就加长 0.5 cm，根据这个规律来分析，若物品的质量为2.5 kg，可列式为 0.5 × 0.5 + 9 = 9.25（cm） .

探索完此问，为了进一步深化学生对这一现象的认识，为探索一次函数的图象奠定基础，教师又有针对性地设计了如下“问题链”.

问题 1 通过对以上现象的分析，将弹簧的长度设定为y cm，物品质量设定为 x kg，二者之间是否存在一定的函数联系？

生 1：从函数的概念出发，不难获得这两个量之间的关系式为 8 +0.5x .

师：这是一个什么函数？

生2：一次函数.

问题 2 如果将一组弹簧排列在一起，由轻到重分别吊上“质量不同，但质量差相等”的物品，依次摆放，让弹簧间所间隔的距离一致，会出现什么现象？

生 3：排成一排之后，从个体上看，物品就是一个一个的点；从整体上看，物品组成了一条向下倾斜的直线.

问题 3 从你们的认知出发，说说接下来我们将会探索与一次函数相关的什么知识？该怎么去探索？

设计意图 带领学生从情境中提取一次函数，并借助有规律的摆法促使学生初步感知一次函数的图象为直线.

2.深入探索，展示图象

此环节探索的主题为函数图象的定义以及 y = kx + b 函数图象的绘制方法.教师带领学生从取值、描点与连线三个步骤出发，借助特例初步构建函数图象的定义，感知画图过程.关于特例，可选择如 y = 2x 或y = 2x + 1 等容易计算的一次函数，分为如下几个探究活动：探究活动1 绘制 y = 2x （一次函数）的图象.

探索过程中，要求学生自主分析一次函数 y = 2x 所具备的特征，并从取值的角度猜想该函数图象的形状与特点.

师VP5/HZcPVMGEoYKBXNo+ZA==生活动 从一次函数表达式出发，引导学生自主猜想函数图象可能具备的几何特点.为了深化学生的思维，教师设计了如下“问题链”.

问题 1 设计一张关于一次函数 y = 2x 取值的表格，根据表格所呈现的数据在坐标系内描点，并探索所描点之间存在怎样的位置关系，思考怎样确定这些满足 y = 2x 的点均处于一条直线上？

学生自主设计表格，以 x = 0 为基准，分别在左右对称的位置进行取值，如 x 分别取-2，-1，0，1，2，与之对应的 y 值分别为-4，-2，0，2，4，并将所取得的点描在直角坐标系内，形成图1.

基于以上分析，学生自主获得如下结论：① x = 0 时，一次函数y = 2x 的图象经过原点；② x，y 同为正或负时，图象分别过第1象限、第3象限；③ x 取值互为相反数时，y 值也互为相反数，所形成的函数图象具备“关于原点对称”的特点；④ x 所取的正数逐渐增大时， y 值也随之逐渐增大……

根据以上结论，学生对一次函数图象形成初步猜想，在加密法的验证下发现猜想是成立的.关于加密法，如在点 A（1，2） 与点 B（2，4） 之间添加点 C （，并确定点 C 与点 A，B 处于同一条直线上.

问题2 能否确定 y = 2x 的图象一定是直线，可否验证说明？

师生活动 借助几何画板来探索这个问题，师生共同操作、观察，分析图象是否完备 . 具体操作方法为 ： 基 于 任 意 两 点 间 添 加 点M（m，2m） 满足 y = 2x ，论证点 M必然处于该直线上；其次想办法讨论图象的纯粹性，即在直线上任意取一点，借助几何画板度量该点满足式子 y = 2x .基于这两个维度，可验证问题的正确性.

设计意图 此探究过程利用了y = 2x 这个特例，分别从“取值、描点、连线、验证”四个方面说明了一次函数图象的常规绘制方法.同时，几何画板的介入，让学生在直观展示中感知了图象的完备性，培养了数学思维的严谨性，提升了逻辑推理能力.探究活动2 绘制一次函数 y =2x + 1 的图象.

该探究着重分析一次函数 y =2x + 1 与上一个教学环节所探索的y = 2x 之间存在怎样的联系，结合二者间的关系思考怎样取值更科学.

师生活动 通过取特殊值与描点来看，当这两个一次函数的 x 取值一样时，函数 y = 2x + 1 所对应的y 值均为函数 y = 2x 中对应的 y 值朝上平移1个单位.基于此发现，教师又有针对性地设计了如下“问题链”，引导学生进一步探究.

问 题 一 次 函 数 y = kx +b（k ≠ 0） 和函数 y = kx 的图象之间存在怎样的联系？若想简便、快速地绘制出一次函数 y = kx + b（k ≠ 0） 的图象，该怎么操作？

师生经过积极的互动与交流，认为一次函数 y = kx + b（k ≠ 0） 的图象与一次函数 y = kx 的图象之间形成平行关系，既然明确一次函数 y =kx + b（k ≠ 0） 的图象为一根直线，那么根据两点确定一条直线的原理，可快速绘制出相应的图象.

设计意图 列表与描点活动的进行，促使学生自主发现两种函数图象之间所存在的位置关系本质为“平移”，也就是可将 y = kx + b 转化成 y = kx 的图象.学生经历由特殊到一般的思维转化过程，进一步体会转化与化归思想.

3.问题引领，绘制图象

此环节探索的主要内容：基于同一个直角坐标系内绘制函数 y =3x 与函数 y = -3x + 2 的图象.为了便于学生在坐标系内准确找到相应的点，应尽可能选择整数作为点坐标，并设计如下“问题链”，供学生探索与思考.

问题1 探索点 （-2， - 6） 是不是函数图象上的点？

关于此问，师生积极互动，总结出如下两种方法：第一种，由因推果，即将 x = -2 代进原式中，计算结论是不是 -6 ；第二种，由果索因，即根据 y = -6 反推两个解析式中 x 的值是不是 -2 .

问题 2 怎样探索函数图象和坐标轴之间构成的交点坐标？怎样确定两直线的交点坐标位置？师生活动 通过对函数表达式和图象关系的探索，分析图象和坐标轴之间形成的交点位置，即分别探索 x，y 为 0 时方程解的情况.关于两条直线的交点坐标，可借助方程组 来 分 析 ， 此 处 可 列 方 程 组 为

设计意图 根据点的位置是否位于函数图象上来获得交点坐标，可让学生切身体会函数表达式和坐标之间，以及函数和方程间的联系，促使学生深刻体会数形结合思想的重要性，并感知图象的直观性，这对发展学生的抽象能力和几何直观具有重要意义.

问题3 “表达式、点、图象”

三者间存在怎样的联系？

设计意图 画图与反思过程可增进学生理解“表达式、点、图象”三者间的关系，待定系数法的自然形成，增加了探索函数问题的路径.

4.增进思考，解决问题

带领学生回归到弹簧问题，现在有另外一种型号的弹簧，在不挂物品时长度恒为6 cm，若吊上质量为 1 kg 的 物 品 ， 弹 簧 长 度 变 成6.9 cm.思考如下问题：两种类型的弹簧在吊上相同质量的物品时，长度有无相等的可能？

要求学生用画图的方法进行判断 . 师生活动，若弹簧长度设为y cm，物品质量设为 x kg，则可将二者间的函数关系用图象表达，根6Xej5EWk7xv/9bdFTxS/GA==据两条直线之间形成交点 （见图2）这一特征，可确定这两种规格的弹簧在长度上存在相等的情况.

问题 图 2 中的交点坐标是什么？具有怎样的实际意义？

假设第二种型号的弹簧为 y =kx + 6 ，当 x 值为 1 时， y 值为 6.9，数据代入可得 k 值为0.9，那么这种弹簧的表达式就是 y = 0.9x + 6 ，通过联立方程，可获得交点坐标为（ 5，10.5 ），该交点坐标所传递的实际意义为：所吊物品质量在5 kg时，两种型号的弹簧长度均为10.5 cm.设计意图 经过画图与列方程组，学生快速解决了问题，这凸显了数形结合思想的重要性.

5.总结归纳，概括提炼

鼓励学生自主总结本节课所学知识，归纳探索一次函数图象的途径，分析后续将要探索的内容等，从大单元视域整理知识与学习方法，促使学生提炼知识本质，构建认知体系.几点思考

1.“问题链”需贴合学情

任何时候，开展任何形式的教学活动，首要任务就是研究学情，弄清教学目标与学生实际认知水平间所存在的差异.尤其是在新课标的引领下，教师需将“以生为本”的理念落实到教学的方方面面，将学生已有的认知水平作为教学的起点，设计恰当的“问题链”唤醒学生的思维，促进学生的发展 ［1］ .

2.“问题链”需立足本质

深度学习是当前课堂所追求的基本目标，立足于知识本质设计“问题链”可避免浅层学习的发生，学生通过对知识本质的探索与思考，可进一步夯实知识基础，获得知识内涵，构建有意义的学习.如本节课就紧扣一次函数图象的本质特点而展开，所有活动都将学生放在首位，促使学生在动手操作与观察思考中提升认知水平，学会从大单元视域思考问题，获得了良好的思维能力.

3.“问题链”需凸显整体

大单元视域下设计“问题链”，一方面需紧扣知识本质，另一方面需基于整体的角度来分析问题，凸显数学学科的结构化特征 . 实践证明，根据一般和特殊具有互相转化的特性设计“问题链”，往往能揭露知识间的逻辑关系，促进学生思维的整体性发展.

总之，在核心素养发展的目标下，教师应从大单元的角度把握教学内容间的联系，通过创设合理的“问题链”来促进学生从整体上理解与掌握知识本质，以充分体现数学学科的连贯性与逻辑性.

参考文献：

［1］鲍建生，章建跃 . 数学核心素养在初中阶段的主要表现之三：几何直观 ［J］. 中 国 数 学 教 育 ， 2022（Z3） ：3-9.