数学小论文

［ 摘 要 ］数学小论文写作，没有题材和内容限制，只需要表达数学学习的真实感受.它为学生提供了反馈学情的新渠道，建构知识的新媒介和思考问题的新动力，有效提升核心素养.数学小论文写作，也为教师提供了审视课堂的新视角.对教师而言，阅读数学小论文，从学生的角度观察课堂，收获的是课堂最真实的反馈，将其运用到课题研究中，则更加有的放矢，能显著提高课题研究的成效.以此观之，撰写数学小论文真正发挥了以写促思、教学相长的功效.

［ 关键词 ］数学小论文；学生视角；趣动数学

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出“数学课程要培养的学生核心素养，主要包括以下三个方面，（1）会用数学的眼光观察现实世界…（2）会用数学的思维思考现实世界…（3）会用数学的语言表达现实世界…”. ［1］ 确实，核心素养的培养，已经成为教师的自觉行动.我们课题组的教师也进行了一系列的探索和实践，数学课堂中组织学生活动，根据内容选择不同的教学形式，尽可能地调动学习氛围，教师也更多地关注学生的学习过程及教学效果，很多教师开始着手撰写教学反思，对自己的课堂教学进行审视和调整，这些努力都是值得鼓励和认可的.但是，作为教师的我们却忽略了一个重要的视角 — —学生视角，我们所有的教学设计和教学反思都是站在教师立场.其实，我们真正需要了解的是学生，他们在课堂上是否进行了真思考，展开了真讨论，获得了真收获，取得了真进步.一言以蔽之，学生是否进行了真学习.

基于以上思考，我们课题组组织学生开展了“撰写数学小论文”的实践探索，从学生视角审视趣动数学课堂.本文以三个课题的教学片段和对应的数学小论文为例，谈谈组织学生撰写“数学小论文”的思考.

三角形的中位线

1.教学片段

教师：阅读“三角形的中位线” 这个课题，你认为什么是中位线？

学生1：处于中间位置的线.

教师：是中线吗？

学生2：肯定和中线不同，因 为它们的名称不同，但是都有一个 “中”字，应该是有一定的联系.

学生3：从字面上看，“中”表 示中点，既然不是中线，又要突出 中间位置，那是否有两个中点？

教师：是的，连接三角形两边 中点的线段叫做三角形的中位线.

2.数学小论文

今天，我们学了方差，公式很 复杂，很多同学都觉得记不住公式， 我类比“中位线”的理解，尝试从 字面上看，“方”，应该与平方有关， “差”，就是两个数的差，一组数据 与哪个数的差呢？描述数据常用的 是平均数，所以是每个数与平均数 的差，这样就得到每个数与平均数 的差的平方，那么得到了这n个平方数以后怎样处理呢？那就再求它们的平均数，所以，“方差”可以理解成“差方的平均数”，这样同学们就方便记忆公式了.

— —小刘

3.读后反思

数学概念的命名并非凭空而来，均有它的实际背景和理论支撑.以上关于“中位线”的教学片段，随着问题的层层深入，从字面意义，到概念的合理性，学生理解了中位线的定义，这样的问题设计既便于学生理解概念的合理性，又加深了对概念的认识和记忆，是直接给出概念所无法企及的.教师在课堂上的问题设置，为学生提供了思考问题的途径和方法，小刘同学将这种方法进行了很好的迁移，他找到了理解和记忆“方差”的角度，避免了死记硬背，后续很多同学采用了他的发现，用“差方的平均数”来记忆方差公式，取得了很好的效果，也有效地避免了遗忘.

一元一次方程解应用题

1.教学片段

初一学生在列一元一次方程解 应用题时，遇到这样一个题：

一架飞机在两个城市之间飞行， 顺风飞行需要5h，逆风飞行需要 6.5h，已知风速为30km/h，求两个 城市之间的距离.

此题中，学生对于顺风与逆风 的速度相差60km/h有点难以理解.

教师：我们可以设静风速度为 xkm/h，如果顺风飞行，则速度比静 风快，可以表示为（x+30）km/h，反 之，则表示为（x-30）km/h，它们两 者的差就是60km/h.

学生（小许）：我们在学习数轴 时知道，数形结合可以使问题更直 观，数轴上的数，右边的数总比左 边的数大，这里的比较大小是否也 可以借助数轴呢？把飞机的不同速

度用数轴上不同的点来表示，如果 飞机本来的速度在数轴上的“原点” 位置，那么顺风的速度则在数轴上 表示“+30”的点的位置，逆风的速 度在数轴上表示“-30”的点的位 置，从数轴上看，两者就是相差60.

教师：你的方法很好，想到了 借助数轴来比较大小，我们把这种 方法叫做“小许方法”.

2.数学小论文

2.数学小论文

今天数学课上，老师给了四道

式子让我们计算：（x+3）（x+2），

（x+3）（x-2），（x-3）（x+2）和（x- 3）（x-2），用昨天所学多项式乘以 多项式的计算公式，便可轻松得出 结果，分别为x2+5x+6，x2+x- 6，x2-x-6，x2-5x+6.由此，我

们可以得到公式：（x+a）（x+b）= x²+（a+b）x+ab.可是，我在举例 验证的过程中，遇到这样一题： （x+2）（x-2），得到的结果是x2- 4，为什么结果只剩下两项了呢？原 来类似（x+a）（x-a）的题目，写 成x2+（a-a）x-a2的形式后，中 间含x的项都消去了.我又写了几道 类似的题目，发现结果都是如此， 是两个平方差，我把我的发现告诉 老师，老师说这就是下节课我们会 专门研究的重要公式——平方差 公式.

——小崔

3.读后反思

作为以学为本的“趣动数学” 课堂，我们重视教学内容的严谨性 和趣味性，注重学生学习的积极性 和主动性，关注数学思维的灵动性 和创造性.我们认为，只有当学生愿 意学、乐意学、享受学的时候，教 师的教才有意义和价值.所以，教师 应尽可能地营造轻松愉悦的学习氛 围，鼓励学生多思考、勤探究，维 持学生学习的内在兴趣.多给学生发 表观点的机会，这里将学生通过独 立思考得出的结论用他们的名字命名.这样的教学策略，既是对他所得 结论的肯定，又是对他主动思考的 鼓励.这种命名的荣耀，激励着更多 的学生去思考、去发现.从小崔同学 的文章中，我们可以清晰地看到他 探究的思维过程，他在得出规律后 并没有盲目自信，而是自己尝试再 举其他特殊的例子进行验证，才有 了平方差公式的发现，后续同学们 自发地把这个公式叫做“小崔公 式”.自主探究带来的成就感是无与 伦比的，小崔在后续的文章中写道 “这节数学课，我通过自己的观察和 探索发现了两条公式，看来数学并 不神秘，只要善于思考，我们也能 发现数学的奥秘。”

实数

1.教学片段

教师：请求出面积为25的正方 形的边长，并说明你是怎样思考的？

学生1：这个正方形的边长为 5，因为52=25.

学生2：我认为他说得不严谨， -5的平方也是25，本题是因为要求的 是正方形的边长，所以才不考虑负数.

教师：说得很好，我们把这里 的5称为25的算术平方根，表示 为√/25=5.

教师：请问，面积为2的正方 形的边长又是多少呢？

学生3：这个不存在啊，找不 到哪个数的平方等于2的.

学生4：存在，面积为2的正方 形一定存在，那么它的边长也一定 存在.按照算术平方根的定义，它就 可以表示为√2.

教师：正确，之所以觉得不存 在，是因为在目前所学过数的范围 内找不到，其实它是一个无理数.希 伯索斯在研究的过程中，发现了同学们面临的同样的问题，为此动摇

了毕达哥拉斯学派在学术界的统治地位，被沉入了大海.数学史上还有很多这样感人的故事，例如著名的百牛定理、笛卡尔坐标系等，感兴趣的同学课后可以去深入研究.

2.数学小论文

数学神秘莫测，无理数的诞生背后有科学家为此献身的壮烈故事，直角坐标系则来自于病榻上的笛卡尔锐眼观察和思考，老师在课上提到的百牛定理，到底又是怎样一个神奇的定理呢？寒假，我终于有时间一探究竟.

原来百牛定理就是鼎鼎大名的勾股定理，是一个基本的几何定理，它为什么还叫百牛定理呢？传说，古希腊有个叫毕达哥拉斯的学者，他去参加一位富豪的聚会，富豪家的餐厅如同豪华的宫殿，地上铺着正方形的大理石地砖，学者凝视着脚下排列规则的大理石地砖陷RMjBaOXtFSyQl3Rx7lIn+WB8NQ0/61x4+f3aXGcIWA0=入了沉思，甚至拿着画笔选择一块瓷砖勾画起来，由此，他发现了勾股定理，并杀了一百头牛来纪念这个伟大的发现.— —小俞

3.读后反思

对于 2 的存在性，教师并非简单直接地告诉学生，而是借助研究正方形的面积和边长之间的关系，通过改变正方形面积的大小，让学生首先认可边长的存在.再结合算术平方根的表示方法，发现有些正方形的边长不能用学过的有理数来表示，进而产生思维冲突.最后再穿插数学家的故事，让他们了解，原来自己与数学家拥有相类似的探究过程和思维困惑，从而产生共鸣，消除对数学学习的畏惧心理.更重要的是，数学史的合理渗透，让他们领略到数学知识背后蕴藏着的探究精神，进而激发数学学习的兴趣，凸显数学学科的育人价值.正因为有了教师这样的课堂演绎，才有了学生对勾股定理的自主探究.关于勾股定理，班级中有三位同学利用初一寒假进行了资料查阅，撰写了数学小论文.有理由相信，他们的心中已经埋下了求知的火种，勾股定理已成为他们最期盼触摸的数学知识了.

总体思考

1. 数学小论文的写作，为学生提供了反馈学情的新渠道

学生反馈学情，常见的渠道首先是课后作业.教师借助批改作业，看到学生的解答过程和结果是否正确，但是却不能了解学生的错误产生的深层原因.其次是回答问题，教师可以通过设置问题，了解学生的思维过程，但是却不能关注到全体学生，也不方便在课堂上针对一个同学提系列问题.最后是课后辅导，教师可以在和学生交流的过程中，知道学生的问题所在，但是能够关注到的学生毕竟有限，并且受时间限制，沟通不一定能够深入进行.数学小论文写作则提供了一个新的渠道.学生有充足的时间进行思考和写作，可以借助文章描述清楚自己的观点和思路.教师通过阅读小论文，可以了解学生完整的思考过程及学习感悟，如果发现了错误，也能从文章的逻辑顺序中找出错误的根源；另外，可以实现和每个学生进行点对点沟通，实现对每个学生学习状态的清晰了解和把握.

2. 数学小论文的写作，为学生提供了建构知识的新媒介

建构主义认为，学生的学习主要是对所学知识进行主动建构.如何实现这样的主动建构呢？最常见的做法是解答相应习题，回答相关问题.数学小论文写作，则提供了一个新媒介.由于我们的数学小论文题材不限，较多学生的数学小论文主题是方RMjBaOXtFSyQl3Rx7lIn+WB8NQ0/61x4+f3aXGcIWA0=法及题型的推广和运用，小施同学写了 《因式分解注意事项手册》，小陆同学写了《猜想也能解决问题》，小蔡同学更是写了几何方法的系列文章，这样的文章必然是对知识进行主动建构的产物.

3. 数学小论文的写作，为学生提供了思考问题的新动力

“从理解数学到热爱数学，从学会学习到主动学习”［2］ 是我们课题组追求的目标，我们倡导“趣动数学”课堂，就是在努力改变教师的教学形式，调整学生的学习方式，突出关注兴趣、乐趣、志趣等情感因素，强调思维活动在数学学习中的重要地位 . 而完成一篇优秀的数学小论文，首先需要学生专注于课堂学习的内容，其次需要进行课后的认真思考和及时归纳，这样才能发现写作的素材 . 而写作的过程，又是一个知识梳理的过程，或回忆课堂流程，或回顾思维过程，或归纳各种题型等，这个过程也促进了学生对数学课堂的再思考 . 优秀的数学小论文受到肯定和奖励，又成为推动学生积极思维的新一轮动力，如此反复形成良性循环，学生的思维能力必然呈现螺旋式上升的良好态势.

4. 数学小论文的写作，为教师提供了反思教学的新视角

我们倡导“趣动数学”，就是希望消除学生固有的对数学学习的畏惧心理， 充满兴趣，积极活动，主动思维，投入探究。走出趣动数学课堂，很多教师都会进行教学反思，问题设计是否合理？例题选择是否具有梯度？流程安排是否恰当？以期调整自己的备课，希望自己的课堂更有利于学生的学习和成长 . 数学小论文的写作，为教师提供了教学反思的新视角 . 教师通过研读小论文，从学生的角度来审视趣动数学课堂 . 由于学生的主题涉及较广，有对一节课的体会，有对一道题的解法总结，有对一个概念的剖析等，从他们的题材，教师可以看出他们对一节课的喜爱程度，例如，“加权平均数”一课， 教师将课题改为“今天我来当老总”，很多同学写了这节课的感受，说明这样的课题改动能够激发学习的兴趣 . 又如，不少同学围绕“截长补短”写了论文，说明学生对这种方法的理解较为透彻，应用也得心应手 . 教师通过阅读数学小论文来印证自己的教学设计，根据小论文的反馈，对自己的课堂教学进行适当的调整 . 将学生的数学小论文与教师的教学反思相结合，全方位立体式审视课堂，让课堂教学真正为学生的学习服务.

写在最后

数学小论文写作，作为我们课题组的一个教学实践，取得了一些成果.小论文写作激发了学生数学学习的积极性，而积极主动的思考又提升了论文的质量，进而得到老师和同学的认可，这种成就感又激励学生沉浸于下一轮思考中.学生在这样的良性循环中，数学眼光更加敏锐，数学思维更加严谨，数学语言更加精准，更善于利用学科知识解决实际问题，核心素养得以提升.对教师而言，阅读数学小论文，从学生的角度观察课堂，收获的是课堂最真实的反馈，将其运用到课题研究中，则更加有的放矢，进一步提高课题研究的成效.以此观之，数学小论文写作真正发挥了以写促思、教学相长的功效.当然，关于数学小论文写作的研究，还有很长一段路要走，我们将不断实践、不断探索，我们的研究一直在路上.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部 . 义务教育数学课程标准 （2022 年版）［M］.北 京 ： 北 京 师 范 大 学 出 版 社 ，2022.

［2］茅雅琳．基于问题链的“趣动数学课堂”教学设计及思考 ［J］．数学教学通讯，2020（32）：5-7．