位置变化减难度，思维发散拓技能

摘要：以2024年高考数学新高考Ⅰ卷第16题的平面解析几何解答题为例，剖析问题的设置位置、解题的思维方式、运用的技巧方法等，总结解题技巧与策略，归纳解题的数学思维，引领并指导数学教学与复习备考．

关键词：平面解析几何；椭圆；平行线；数形结合

平面解析几何，作为高考数学中的主干知识之一，一直备受关注.2021—2023年新高考Ⅰ卷此模块知识出现在解答题靠后的位置，以第21题或第22题最后两问的位置来出现，其中2021和2022年出现在第21题，2023年出现在第22题.在2024年的考试试卷中，平面解析几何的解答题出现在第16题的位置，是解答题的第二题，位置直接靠前，难度有所降低．

1真题呈现

（2024年新高考数学Ⅰ卷第16题）&& 已知点A（0，3）和点P3，32分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上的两点．

（1）求C的离心率.

（2）若过点P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程．

此题以椭圆为问题场景，借助椭圆上两点的坐标信息的给出，可以直接求解对应的参数值，为椭圆方程与对应几何性质的求解与应用创造条件．

基于此，通过椭圆上两点以及对应三角形面积的信息给出，可以确定椭圆上的第三个点，并借此求解相应的直线方程，此时问题的切入思维与技巧方法较多，可以回归平面解析几何中“数”或“形”的两种不同思维方式来展开，或从“数”的视角来数学运算与逻辑推理，或从“形”的视角来直观想象与运算推理等，都可以得以突破与求解．

2真题破解

解析：（1）依题，点A（0，3）在椭圆C上，所以b=3．

又点P3，32在椭圆C上，所以9a2+949=1，则有a2=12，即a=23，可得c=a2-b2=3，

所以椭圆C的离心率e=ca=12．

（2）方法1：平行线法.

由（1）可得椭圆C的方程为x212+y29=1．

依题，可得直线AP的方程为y=32-33-0x+3=－12x+3，即x+2y－6=0．

利用两点间的距离公式可得AP=（3-0）2+32-32=352．

设过点B平行于直线AP的直线方程为x+2y－m=0，数形结合可知m＜0，则两平行线间的距离就是点B到直线AP的距离d，利用距离公式可得d=｜m-6｜12+22=

｜m-6｜5．

依题知△ABP的面积为9，所以S=12AP·d=9，即12×352×

｜m-6｜5=9，亦即|m－6|=12，解得m=18（舍去）或m=－6，此时对应的直线方程为x+2y+6=0．

联立x+2y+6=0，

x212+y29=1，解得点B的坐标为（0，－3）或－3，－32，所以直线l，即直线PB的方程为y=32+33-0·x－3=32x－3或y+32=32+323+3（x+3）=12（x+3），即3x－2y－6=0或x－2y=0．

点评：回归平面解析几何的“数”与“形”巧妙综合的一致性，既有“数”的代数信息，也有“形”的几何特征，巧妙融合这两种特性加以合理综合与应用，经常是解决平面解析几何问题的一种基本技巧方法.这里借助“形”的几何结构来确定平行线，进而通过直线与椭圆方程的联立，以“数”的方式来推理与运算，实现问题的转化与应用．

方法2：设点法.

由（1）可得椭圆C的方程为x212+y29=1．

依题，可得直线AP的方程为y=32-33-0x+3=－12x+3，即x+2y－6=0．

利用两点间的距离公式可得AP=（3-0）2+（32-3）2=352．

依题知△ABP的面积为9，所以S=12AP·d=9，所以椭圆C上的点B到直线AP的距离为d=

125．

设点B（m，n），则利用点到直线的距离公式有d=｜m+2n-6｜12+22=

125，即m+2n=－6或m+2n=18．

当m+2n=－6时，此时有m212+n29=1，联立消参有2n2+9n+9=0，解得m=0，

n=-3或m=-3，

n=-32，则点B的坐标为（0，－3）或－3，－32，所以直线l，即直线PB的方程为y=32+33-0x－3=32x－3或y+32=32+323+3（x+3）=12（x+3），即3x－2y－6=0或x－2y=0.

当m+2n=18时，此时有m212+n29=1，联立消参有2n2－27n+117=0，Δ=272－8×117＜0，方程无解．

综上所述，直线l的方程为3x－2y－6=0或x－2y=0．

方法3：设线法.

由（1）可得椭圆C的方程为x212+y29=1．

依题，可得直线AP的方程为y=32-33-0x+3=－12x+3，即x+2y－6=0．

利用两点间的距离公式可得AP=（3-0）2+（32-3）2=352．

依题知△ABP的面积为9，所以S=12AP·d=9，所以椭圆C上的点B到直线AP的距离为d=125．

当直线AB的斜率不存在时，S△ABP=2S△AOP=2×12×3×3=9，满足条件，此时点B的坐标为（0，－3），则直线l的方程为y=32+33-0x－3=32x－3，即3x－2y－6=0.

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+3，联立y=kx+3，

x212+y29=1，消参有（3+4k2）·x2+24kx=0，解得x=0或x=－24k3+4k2，所以B－24k3+4k2，9-12k23+4k2.

利用点到直线的距离公式有d=－24k3+4k2+2×9-12k23+4k2-612+22=

125，即|4k2+2k|=3+4k2.

当4k2+2k=3+4k2时，解得k=32，此时B－3，－32，所以直线l，即直线PB的方程为y+32=32+323+3（x+3）=12（x+3），即x－2y=0.

当－4k2－2k=3+4k2时，可得8k2+2k+3=0，此时方程无解.

综上分析，直线l的方程为3x－2y－6=0或x－2y=0．

点评：回归平面解析几何“数”的基本属性，依托问题的应用场景，借助设点、设线等参数的引入，通过设点法或设线法来处理，是解决平面解析几何问题中最为常用的通性通法.引入参数的方式多样，其中最为常见的还是设点思维或设线思维等，特别要注意对应点或线的存在性判断与应用等．

方法4：数形结合法.

由（1）可得椭圆C的方程为x212+y29=1．

依题，可得直线AP的方程为y=32-33-0x+3=－12x+3，即x+2y－6=0．

利用两点间的距离公式可得AP=（3-0）2+32-32=352．

依题知△ABP的面积为9，所以S=12AP·d=9，所以椭圆C上的点B到直线AP的距离为d=125．

如图1所示，设点D（0，－3），连接PD，延长PO交椭圆C于点E，连接AE，则E－3，－32．

由于S△AOP=12×3×3=92，那么S△ADP=2S△AOP=9，S△AEP=2S△AOP=9，S△ABP=9，所以当点B为点D或点E时，满足题设条件，数形结合可知满足条件的点B最多只有两个．

当点B为点D时，此时B（0，－3），则直线l的方程为y=32+33-0x－3=32x－3，即3x－2y－6=0.

当点B为点E时，此时B－3，－32，则直线l的方程为y+32=32+323+3（x+3）=12（x+3），即x－2y=0.

综上分析，直线l的方程为3x－2y－6=0或x－2y=0．

点评：回归平面解析几何的平面几何本质，借助“形”的结构特征，可以多一点直观形象，多一点逻辑推理，少一点数学运算，这对有效快速解题是非常有益的.基于平面解析几何场景和平面几何知识的融会贯通、合理转化，综合利用平面几何与平面解析几何知识来巧妙推理，实现问题的突破与求解．

3教学启示

3.1降低难度，优化思维

依托高考试卷中平面解析几何解答题的位置提前设置情境，对平面解析几何知识的考查难度有所降低，特别对于以往高考中此模块解答题中繁杂的数学运算有所减少，这充分说明高考的基本指导精神——少运算，多思维．

这就要求教师在高中数学课堂教学与学习过程中，应该把教学重心更多地放在拓展学生的数学思维，优化学生的解题习惯，培养学生的数学核心素养等方面.对于基本的数学运算要继续加强，避免繁杂或纯数学运算的高难要求．

3.2把握常规，创新应用

对解决平面解析几何问题的常规技巧与方法，学生还要进一步充分理解与把握，依托平面解析几何的问题场景，或从“数”的思维视角来数学运算与逻辑推理，或从“形”的思维视角来直观想象与运算推理等，这都是解决平面解析几何问题的常规技巧方法.同时，学生还要挖掘平面解析几何问题的本质与内涵，合理应用创新思维与创新意识，使问题的解决更加直接有效.这是学生创新意识与创新应用不断培养与提升的过程．