构造直角三角形 破解中考压轴题

摘要：与正方形有关的几何计算问题，根据图形结构，通过构造某些关键线段的平行线或垂线，由此得到相似三角形、全等三角形等基本图形，然后利用其性质探寻已知线段与所求线段之间的数量关系，从而为问题解决创造条件.“一题多解”不仅可以培养学生的逻辑思维能力，而且能够有效培养学生的数学核心素养．

关键词：构造；相似三角形；正方形

正方形具有矩形、菱形的所有性质，是最特殊的平行四边形.以正方形为基本图形的中考试题形式灵活多样，解法不拘一格，倍受命题者的青睐.笔者对2024年天津市中考数学第17题进行了深入研究，从不同角度构建已知条件与所求结论之间的逻辑关系，给出了多种解法，供读者参考．

1问题呈现

如图，正方形ABCD的边长为32，对角线AC，BD相交于点O，点E在CA的延长线上，OE=5，连接DE．

（1）线段AE的长为．

（2）若点F为DE的中点，则线段AF的长为．

2试题分析

从已知条件入手，因为四边形ABCD是正方形，则AB=BC=CD=DA，OA=OB=OC=OD，AC⊥BD，∠DAC=45°.因为正方形ABCD的边长为32，由勾股定理或直角三角形的边角关系可得AC=BD=6，所以OA=OC=3.从所求问题入手，对于问题（1）而言，因为OE=5，所以AE=2.对于问题（2）而言，点F为DE的中点，线段DE可以看作△ADE的边，也可以看作△DOE的边.在△ADE中，AE=2，AD=32，∠DAE=135°，F为DE的中点.显然，在此三角形中无法直接求得线段AF的长.在△DOE中，∠DOE=90°，OD=3，OE=5，由勾股定理易得DE=34，据此易求得线段DF或EF的长.显然，△DOE是直角三角形，其三边是可求的，点F是斜边DE的中点，点A是直角边OE上的定点.显然，在此三角形中也无法直接求得线段AF的长.解决本题的关键是根据已知条件及图形的基本结构，构造全等三角形、相似三角形等基本图形，以此建立已知线段与所求线段之间的数量关系，从而厘清问题解决的基本思路．

3解法探究

基于以上分析，笔者从不同角度出发，通过添加辅助线，构造全等三角形、相似三角形等基本图形，然后利用基本图形的性质探寻已知线段与所求线段之间的关系，由此得到问题（2）的多种解法．

思路1：构造相似三角形.

解法1：如图1所示，过点D作DG∥AF，交CE于点G．

因为F为DE的中点，所以DE=2EF.因为正方形ABCD的边长为32，所以OD=OA=3.又因为OE=5，所以AE=2．

由DG∥AF，得∠EAF=∠EGD，∠EFA=∠EDG，所以△EAF∽△EGD，所以AEEG=AFGD=EFED=12，所以EG=2AE=4，所以OG=OE-EG=1.在Rt△DOG中，由勾股定理，得DG=OD2+OG2=10，则AF=12DG=102．

点评：这种解法涉及平行线的性质、正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，是初中数学最核心的基础知识.根据图形结构，构造DG∥AF，从而得到△EAF∽△EGD，这是典型的“A型”相似三角形.由此可得到已知线段与所求线段之间的数量关系，从而厘清问题解决的基本思路.由此可以看出，根据图形结构，构造某些关键线段的平行线，能够得到解决问题所需的相似三角形，从而为问题解决创造条件．

解法2：如图2所示，过点F作FI⊥CE，垂足为I．

易知EF=DF，OA=OD=3，AE=2.因为四边形ABCD是正方形，所以OD⊥CE，从而可知FI∥OD，所以∠EIF=∠EOD，∠EFI=∠EDO，所以△EIF∽△EOD，所以EIEO=FIDO=EFED=12，所以EI=12EO=52，FI=12DO=32，所以AI=EI-AE=12.在Rt△AFI中，由勾股定理，得AF=AI2+FI2=102．

点评：这种解法通过作FI⊥CE，得到了一组“A型”相似三角形，即△EIF∽△EOD.显然，在直角三角形、矩形或正方形等几何图形中，通过构造某些线段的垂线可得到相似三角形，从而可借助相似三角形的性质及勾股定理解决问题．

解法3：如图3所示，延长BA，交直线DE于点G.过点F作FH⊥AD，垂足为H．

易知AE=2，OA=OC=OD=3，CE=8，CD=32，DE=34.因为点F为DE的中点，所以DF=12DE=342.易知AG∥CD，∠EAG=∠ECD，∠AGE=∠CDE，从而可知△EAG∽△ECD.由相似三角形的性质，易知AGCD=AECE=EGDE，即AG32=28，由此可知AG=324.在Rt△ADG中，由勾股定理，得DG=AG2+AD2=3344.易知△DHF∽△DAG，从而可得DHDA=DFDG=FHGA，即3344DH=32×342，解得DH=22，从而可得AH=AD-DH=2，FH=23AG=22.在Rt△AFH中，由勾股定理，得AF=AH2+FH2=102．

点评：这种解法通过构造AG∥CD，FH⊥AD，得到△EAG∽△ECD，△DHF∽△DAG，这两组相似三角形均是“A型”相似三角形，然后利用其性质即可得到某些关键线段的长，为问题解决创造了便利条件.这种解法蕴含基本的解题思路，是常见的解题方法，不足之处是这种解法计算量较大，对学生而言是一个巨大的挑战，但也是解决问题的一种有效方法．

解法4：如图4所示，过点A作AG⊥DE，垂足为G．

易知AE=2，OA=OD=3，DE=34.因为F是线段DE的中点，所以EF=12DE=342.因为∠AEG=∠DEO，∠AGE=∠DOE=90°，从而易得△EAG∽△EDO，由此可得AGDO=AEDE，即AG3=234，从而AG=33417，故EG=53417，则FG=EF-EG=73434.所以在Rt△AFG中，AF=AG2+FG2=102．

点评：这种解法通过构造垂线，得到了一组“A型”相似三角形，即△EAG∽△EDO，然后利用“相似三角形的对应边成比例”这一性质解决问题.这种解法计算量小，求解过程非常简洁.由此可以发现，构造垂线，可得到直角三角形和相似三角形，然后利用其性质即可解决问题，这也是解决几何计算问题的常见方法．

解法5：如图5所示，过点E作EG∥AF，交DA的延长线于点G.过点E作EH⊥DG，垂足为H．

易知AE=2，AD=32，∠EAH=∠DAC=45°，从而易得AH=EH=2.因为F是线段DE的中点，所以DE=2DF.因为EG∥AF，所以∠FAD=∠EGD，∠AFD=∠GED，从而可知△DAF∽△DGE，由此可得DADG=AFGE=DFDE=12，从而易求得DG=2AD=62，所以GH=DG-AD-AH=22.在Rt△EGH中，由勾股定理，得EG=GH2+EH2=10.由此可知AF=12EG=102．

点评：该解法通过构造EG∥AF，得到△DAF∽△DGE，这也是“A型”相似三角形，根据相似三角形的对应边成比例可得到已知线段与所求线段之间的比例关系.由此可以发现，平行线、垂线、直角三角形、相似三角形等基本图形的性质在解决几何计算问题中发挥着重要作用，是学生必须掌握的基础知识与基本技能，是培养学生数学核心素养的基础．

思路2：构造全等三角形.

解法6：如图6所示，过点D作DG∥CE，交AF的延长线于点G.过点G作GI⊥CE，垂足为I．

易知AE=2，DG=IO，GI=OD=OA=3.在△AEF和△GDF中，易知∠EAF=∠DGF，∠AEF=∠GDF，EF=DF，所以△AEF≌△GDF，所以IO=DG=AE=2，所以AI=OA-IO=1.在Rt△AGI中，由勾股定理，得AG=AI2+GI2=10.由此可知AF=12AG=102．

点评：这种解法通过构造DG∥CE，得到了一组“X型”全等三角形，即△AEF≌△GDF，从而为问题解决创造了有利条件.这种解法涉及直角三角形的性质、矩形的性质、直角梯形的性质、全等三角形的判定与性质等基础知识，是《义务教育数学课程标准（2022年版）》规定的最核心的基础知识.与其他求解方法相比，这种求解方法思路清晰自然，求解过程通俗易懂，计算量特别小，是一种非常简洁的求解方法.由此可以发现，全等三角形的性质也是解决几何计算问题的有效工具．

4结语

几何计算问题是初中数学教学的重要组成部分，其形式灵活多样，解法千变万化.解决几何计算问题的基本思想是不变的，即根据图形结构，构造图形中某些关键线段的平行线或垂线，从而得到全等三角形、相似三角形等基本图形，然后利用其性质厘清已知线段与所求线段之间较为隐蔽的数量关系，从而为问题解决创造有利条件.“一题多解”是培养学生逻辑推理能力的有效途径，也是提升学生核心素养的有效方法.在初中数学教学中，通过“一题多解”训练，可以帮助学生更好地理解数学问题的本质，提高其思维灵活性和发散思维能力．