激活已有知识经验，构建问题解决策略

摘要：本文以人教版八年级教科书中“课题学习选择方案”为例，探讨在“综合与实践”领域中，如何通过激活学生已有知识经验，探索问题解决的着力点，构建指向核心内容的整体教学样例，从而推动学生数学学科素养的发展.通过重点研究学生思维发展规律，从解决问题的心理机制中寻找对策，关注教学评价方式和效果，优化教学策略和方法，可以实现关键能力的培育，并落实“双减”精神．

关键词：数学学科素养；关键能力；问题解决；思维发展规律

《中国高考评价体系》指出：“学科素养是指即将进入高等学校的学习者在面对生活实践或学习探索问题情境时，能够在正确的思想价值观念指导下，合理运用科学的思维方法，有效整合学科相关知识，运用学科相关能力，高质量地认识问题、分析问题、解决问题的综合品质.”［1］以问题解决为导向的课题学习是培养学科素养的载体.人教版《义务教育教科书数学八年级下册》中《一次函数》单元的“课题学习选择方案”，以现实生活中的费用最少问题，让学生体会数学在生活中的应用，经历从数学的角度观察与分析、思考与表达、分析与解决问题的过程，发展应用意识.

课题学习和项目学习等新型教学方法，通常需要采用一种整体性的教学方法，精制教学理论，就是这样一种方法，它对问题进行简化，靠的是识别问题较简单版本，而不是将其分解为系列小片段.笔者尝试利用精致教学理论，基于问题的数学实质，通过激活学生的已有知识经验，构建教学的着力点，在教学中获得了良好效果．

1教学分析

1.1内容分析

人教版《义务教育教科书数学八年级下册》《一次函数》单元中“课题学习选择方案”的总问题是选择最省钱的方案问题，由以下两个问题组成.［2］

（1）上网收费问题：下表给出A，B，C三种上宽带网的收费方式．

选取哪种方式能节省上网费？

（2）租车问题：某学校计划在总费用2300元的限额内，租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少要有1名教师.现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表.

这两个问题的背景虽然不同，但其实质是一致的，表面是研究不同方案的总费用最少，其实质是比较大小，可以将“租车问题”转化为“比较大小”的数学问题.对问题的感知和识别是构建思路的第一步，它帮助我们抓住问题的核心，并确定了解题的方向.接着就是思考如何解决“大小比较”，一般情况下，学生无法想到与该问题相关的解题经验，所以教学时教师要注意引导学生对已有相关知识和经验的调取.比较大小包括数的大小比较、量的比较，以及变量的大小比较等.在小学数学中，学生就已经接触到了比较大小的基础知识.初中比较变量的大小，可以通过不等式或者建立一次函数模型来解决.用一次函数解决，主要利用函数的增减性，借助图象来完成大小比较.图象是对函数整体的表达，与通过解析式求值相比，更加直观易懂.因此，识别问题并把握其实质，是进行教学内容结构化的起点，也是构建教学整体思路，促进学生学习经验结构化的基础.迁移已有知识和经验来学习具有重要意义，它不仅是学生认知和解决新问题的基础，还能够帮助学生更快地理解新问题的性质和特点，减少探索的时间和成本．

1.2素养分析

教材中两个问题解决需要学生具备较多学科素养，具体如下（见表1）.

2教学设计

2.1上网收费问题：借助生活经验激活思路

从小学生一年级开始，比较大小就成为数学学习的基础.随着学习的深入，比较的对象从整数扩展到分数，涉及的量包括时间、长度、面积等，这些本质上都是比较大小的问题.同时，小学数学中也学习了量之间的关系，如总价是单价与数量的乘积.网费方案选择问题虽然复杂一些，其实质仍然是总费用等于单价乘以时间，这与小学阶段的数量关系学习一脉相承.虽然每个年级学习的数量关系表现形式不同，但其本质始终如一．

例如，人教版《义务教育教科书数学八年级下册》第79页的练习中，呈现某一天北京与上海的气温随时间变化的图象（如图1），通过观察某一天北京与上海的气温随时间变化的图象，得到这一天内，上海与北京何时气温相同，上海在哪段时间比北京气温高，在哪段时间比北京气温低．

图1

笔者在课前让学生重温以上练习，通过气温的比较，唤醒学生比较大小经验基础，感悟“图象是函数的整体和直观的表达”，借用图形比较分段函数值的大小，体会图象角度解决问题的优点，为本课时“上网收费问题”的“费用大小比较”的研究方法打下知识基础，做好方法迁移的准备，给学生做了一个思维的定向.

其实，类似气温的比较，学生生活经验也很丰富，这些经验同样可以被巧妙地运用在教学中.例如，学生能够观察到十一二岁的女生身高往往突然超过男生，到了十五六岁，男生的身高又普遍超过女生，这样的生活实例比比皆是.只要教师适当地引导和激活这些经验，学生便能够自然而然地形成研究思路.笔者收集苏科版教材，也有类似的引例.

引例根据如下某地学生平均身高变化图，回答下列问题．

（1）哪个年龄段学生的身高增长较快？哪个年龄段学生的身高变化较缓？

（2）男、女生身高差异，哪个年龄段较小？哪个年龄段较大？

（3）为什么图中男、女生身高的平均数曲线有两个交叉点？你认为这符合青少年身体发育的特点吗？

通过引用学生熟悉的身高变化（男女身高比较）和气温比较等生活经验，我们可以将分段函数的比较转化为直观的图象理解，让学生体会“图象是函数的整体表达”.在后续研究上网收费问题时，学生可以自然地运用这种思路，通过图象比较来判定函数值的大小.图象展示的函数整体规律更易于把握，解析式则侧重局部表达，需要具体求值才能进行比较，这相对复杂.因此，借助图象，学生能够获得全局视角，更清晰地理解整个问题规律．

2.2租车问题：借助已有知识激活思路

租车问题提供数据较多，涉及的数量关系也较多，对于大部分学生存在困难，如何引导学生构建思路成为当前的教学研究需求.

不论是哪种类型的任务，在使用简化条件法时都要做两件事：一是确定任务最简单的版本；二是基于整体性的概念，将简化条件一个个去掉，产生一个个完整的、更加复杂的任务版本.根据精致教学理论，对于复杂的租车问题，教师需要识别出其较简单的完整版本进行简化，然后按照具体性递增的方式，逐级设置问题.笔者梳理小学和初中相关教材内容，进行结构化分析，整体教学思路是以旧引新，渐次精致．［3］

2.2.1溯源：定位思考的起点人教版《义务教育教科书数学四年级下册》中有如下租车问题.［4］

实验小学四年级同学到城郊开展踏青活动.大客车每辆可乘坐45人，租金360元/辆，中巴车每辆可乘坐22人，租金200元/辆.四年级共有师生224人，怎样租车最省钱？最少需要多少钱？

通过对四年级师生的调查，发现小学生解决此类问题的思考方式如下.

（1）计算每人乘坐大客车和中巴车的成本.

大客车：360÷ 45=8（元/人）.

中巴车：200÷ 22≈ 9.09（元/人）.

从成本上看，大客车每人费用更低．

（2）确定最省钱的租车方案.尽量多租大客车，因为大客车的单人成本更低.四年级共有224人，如果全部乘坐大客车，需要的车辆数为 224÷ 45≈ 4.98（辆）.由于不能租用部分车辆，我们需要考虑整数车辆．

（3）计算不同租车组合的费用.租用5辆大客车的费用为5×360=1800（元），但会有空座，因为5辆大客车可以载225人，超过了224人.租用4辆大客车和1辆中巴车的费用为4× 360+1× 200=1640（元），正好可以载224人（4辆大客车载180人，1辆中巴车载44人）．

（4）得出结论.

最省钱的租车方案是租用4辆大客车和1辆中巴车，总费用为1640元．

通过解决小学中的租车问题，学生学会了如何通过比较单价、计算总成本来做出最优选择，这种策略在解决更复杂的初中问题时仍然适用.

所以教师思考的问题就是怎么引导学生的思路，打开学生的思维，给学生一个比较宽泛思维空间.从方法引导上，面对更复杂的问题时，学生可能也会尝试将其简化，利用在小学阶段学到的基本原理来找到解决方案．

2.2.2拆解：分析难点，铺垫台阶

租车问题涉及主要因素与次要因素.要找到几对数量关系中的核心变量，租车费用与甲乙车辆数相关是主要因素，甲乙车辆数又与乘客数相关，故乘客数是次要因素，对于学生而言有一定难度，直接实现思维水平要求较高.笔者采用拆解难点方式，通过设计三个有关联的问题，为学生铺垫三层台阶，让他们拾级而上突破卡点．

问题1甲种客车每辆租金400元，乙种客车每辆租金280元，在总费用2300元的限额内，若租7辆客车，可以有几种租车方案？哪种方案费用最少？

【设计意图】原租车问题中涉及的变量较多，学生对于处理多变量问题有一定困难，一方面前面课本练习题安排上也缺少相关此类问题的深入研究；另一方面学生对于找到“费用大小的主要因素与次要因素”经验也不足.故本问题是在原租车问题上做了从多变量到双变量的调整，降低难度的同时，突出了影响租车费用的主要因素，为

问题2 做好铺垫．

问题2某学校计划在总费用2 300元的限额内，租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少要有1名教师.现在甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表.

教师引导学生思考，要最节省费用的租车方案，需要做什么？

（1）费用的构成要素及其关系.

总费用=租用甲车的费用+租用乙车的费用.

租用甲车的费用=租用甲车的数量×租金，租用乙车的费用=租用乙车的数量×租金.

（2）当租金确定的情况下，租车费用与甲、乙车辆数相关（主要因素），

费用是租用甲车的数量（或乙车数量）的函数．

（3）若车辆总数固定，甲、乙车辆数与乘客数相关，乘客数是次要因素，它决定了甲、乙车辆数．

【设计意图】学生在问题1的分析与求解基础上，能够初步感知本题中费用随租甲车数量的变化而变化，并把这两个变量作为研究的对象，从而实现对问题的解决方案的整体感知.面对问题2，很自然会进行对比，发现与问题1的不同，未给出租客车的数量，同时在问题1的解决经验指引下进行分析，明确先确定租几辆车，一旦租车总数确定后，就变成问题1，从而问题得以解决.这样的活动设计做到有层次性地分散难点，先解决一个整体思路，再解决一个说不过去的点，然后整个问题解决思路就构建完成.教学设计的发力点是去思考怎样塑造学生的思维空间，既给学生定向思路，还能让他们尽量多地去自主思考，保有学习的主动性．

问题3甲种客车每辆租金400元，乙种客车每辆租金280元；甲种客车最大载客量45人，乙种客车最大载客量30人.在总费用2300元的限额内，租用汽车送234名学生与8名教师集体外出参加活动，每辆汽车上至少有1名教师.可以有几种租车方案？哪种方案费用最少？

【设计意图】对于租车问题的研究，到问题2还不太够，这是因为与上网费用方案选择问题对照，租车问题的图象只表现为一条完整的折线图象，为了回应上网费用方案选择问题，突出选择方案问题借助函数图象来解决问题，需涉及不同函数的大小比较问题，从这个角度设计问题3.问题3是在满足问题2一样的条件，只改变了租车总数从6变到8，就实现是三个函数间比较大小，问题的图象在结构上与网费方案选择问题一致.该问题学生就可以综合网费方案选择的经验，通过分析三个一次函数，求函数在定义域内的最小值得到答案．

2.3学以致用，点燃创新

问题解决不以训练技巧为目标，而是以联系实际，发展提出问题、分析问题、解决问题能力发展为目标，学生除了课堂上在教师的引导下经历费用构成要素分析、各要素的可变性分析、变量的确定、变量之间关系的确定及数量表示等过程，还需要在课后生活情境下的探索与实践，这样所学的知识与方法就“活了”，创新意识才能有机会萌芽．

因此，本课需安排实践性作业，如“双十一”，某公司需要购置若干台空调，请调查市场上不同节能级别的空调的价格、耗电量，了解当地的电费价格，运用数学知识进行分析，给公司提一个购买建议，并把你的调查分析及建议写成书面报告形式.建议采用“项目式学习”方式组织学生进行小组合作学习方式解决问题，同时教师对学生的活动要提供一定的帮助与指导，设计评价量表，把实践问题解决的过程和结果作为评价学生利用一次函数模型解决方案选择问题的水平．

3教学启示

数学学科素养培育的重点任务就是加强对数学课程内容本质的理解，研究学生认知规律，在此基础上做好教学，培养数学学科核心素养，充分发挥数学学科的育人价值.问题解决整体思路就是激活知识经验的过程，它需要学生将那些零散的记忆和理解进行系统归纳和分析，从而在面对新的选择方案时，能够迅速调动这些信息.这种方法不仅促进了知识的结构化，也促进了方法的结构化，从而真正实现了大单元教学的整体性，在数学学科素养培育方面，做到学生能够在不同情境下综合利用所学知识和技能处理复杂任务的目标，培育学生“泛化”与“可迁移”的能力，与真实社会中所需的人才相匹配．

参考文献

［1］教育部考试中心.中国高考评价体系［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］人民教育出版社课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.义务教育教科书数学八年级下册［M］.北京：人民教育出版社，2013.

［3］黄淑钦.基于精致理论的导数单元教学设计［D］.福州：福建师范大学，2020.

［4］人民教育出版社课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.义务教育教科书数学四年级下册［M］.北京：人民教育出版社，2022.

*基金项目：福建省教育科学规划2023年教育考试招生重点专项课题“中考综合改革背景下数学学科素养的培育研究”（项目编号：FJJYKS23-59）.