感知﹑抽象﹑推理﹑表达

摘要：提升作业的质量，控制作业的数量可以在减轻学生的学习负担的同时实现学科素养的提升.本文以《立体几何初步》为例，讨论单元主题作业设计的一般过程，关注作业的整体性、探究性、多样性、开放性、可选择性特点．

关键词：立体几何初步；单元主题；作业设计

作业设计是教学设计的重要环节之一，它除了能帮助学生巩固所学知识之外，在培养学生独立的学习能力、促使学生养成良好的学习习惯和心理品质等方面也有着重要的作用.［1］《国务院办公厅关于新时代推进普通高中育人方式改革的指导意见》指出，提高作业设计质量，精心设计基础性作业，适当增加探究性、实践性、综合性作业.但目前的高中数学作业设计，往往存在如下问题：①作业在形式上大多是以知识点掌握为目的的练习题，缺少对以数学思想方法领悟和应用为目的的探索性作业；②作业在内容上主要针对单课课时教学中零散知识的巩固，题目之间缺乏联系，不利于能力提升，难以发挥作业在核心素养培养中的积极作用.［2］崔允漷教授指出，只有当我们着眼于单元进行整体教学设计的时候，才能看到指向核心素养的课程改革给我们带来的变化.可见以单元为整体进行作业设计，是挖掘教材本质、整体把握知识结构、渗透教学价值、发展学生核心素养最有效的途径.［3］因此，优化作业结构，从整体的角度对作业进行主题化设计是高中数学作业设计研究的一个方向．

1高中数学单元主题作业的内涵

单元主题作业是主题教学的延续.“主题教学是围绕一定的主题，充分重视个体经验，通过与多个文本的碰撞交融，在重过程的生成理解中，实现课程主题意义建构的一种开放性教学”［4］

，它可以将零碎散落的，甚至单一的内容统整起来.数学单元主题作业将主题教学的思想融入作业设计，在单元视角下，以一个特定的主题统摄整份作业，将一系列与该主题关联紧密的问题以习题的形式呈现，再以一定的编排思路对习题进行整合的作业设计模式，一般可分为确定主题、学情分析、目标分析、主题作业设计、评价修改五个环节.单元主题作业具有整体性、开放性、多样性、探究性等特征，可以满足学生个性化学习的需要，能有效促进学生创造性思维和批判性思维的发展.下面将以《立体几何初步》这一单元的主题作业设计为例进行阐述．

2高中数学单元主题作业设计案例

2.1确定主题

立体几何属于几何与代数主题，该主题突出几何直观与代数运算之间的融合，即通过形与数的结合，感悟数学知识之间的关联，加强对数学整体性的理解.［5］立体几何内容分为两个部分，第一部分为必修课程，包括基本立体图形、基本图形位置关系、几何学的发展等内容；第二部分为选择性必修内容，主要是用空间向量方法研究线线、线面、面面的夹角及垂直和平行关系.本文主要讨论的是在第一部分立体几何初步的教学过程中主题作业的设计.

人教A版《普通高中教科书数学必修第二册》第八章第3节例题1和习题1分别提到正四面体和正八面体这两种正多面体.［6］苏教版《普通高中教科书数学必修第二册》第13章第1节介绍了多面体的概念后给出了食盐、明矾晶体的实物插图，说明自然界中一些晶体有着规则的几何结构.［7］所以在尊重教材的基础上，教师可以充分挖掘教学中有利于学生发展的要素，灵活地对教材内容进行拓展、调整和优化.［8］正多面体作为特殊的多面体，是几何学从二维空间过渡到三维空间的重要内容，对于刚刚接触空间几何体的学生来讲，是一个适宜的桥梁.［9］

正多面体有着重要的教育价值，但现在苏教版、人教A版等教材对此没有专题研究.作为教材和课堂教学的补充，以正多面体为主题实施作业设计能让学生体会数学的广泛应用，丰富学生对空间几何图形的认知，促进学生空间观念的形成，培养学生的学习兴趣，提升学生的数学学科核心素养．

2.2学情分析

学生已经能够借助实物认识长方体、正方体、圆柱、圆锥等立体图形，能说出这些图形的特征，能辨认这些图形的展开图，会计算这些图形的体积和表面积，初步形成了空间观念.初中阶段的几何课程主要研究了平面图形的平移、旋转、轴对称、相似和投影，以及性质的证明等问题.因此，高中阶段学生需要借助基本平面图形展开对立体几何的学习，其所运用的数学思想方法与平面几何没有本质差别，不同的是研究对象，特别是要在一张纸上处理空间图形，对直观想象、逻辑推理和数学运算等方面都有着更高的要求.［10］根据多元智能理论，不同的学生在不同的领域认知水平存在差异性.因此，作业的设计应该体现层次性、多样性、可选择性，以满足不同层次学生的发展需要．

2.3目标分析

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称“课标”）在几何与代数主题下的学业要求中指出，要能够通过直观图理解空间图形，掌握基本空间图形及其简单组合体的概念和基本特征，解决简单的实际问题；能够运用图形的概念描述图形的基本关系和基本结果；能够证明简单的几何命题（平行、垂直的性质定理），并会进行简单应用.重点提升直观想象、逻辑推理、数学运算和教学抽象素养.［5］据此，本单元主题性作业目标是以正多面体为研究对象，遵循从具体到抽象的原则，促进学生对基础知识的理解和掌握，提升其综合应用能力，领悟数学家坚持不懈、追求真理的精神，感悟数学之美.具体地说，就是通过寻找生活中的正多面体.教师引导学生学会用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界［5］，形成对这一类几何体的直观感知；引导学生通过画图和制作模型作业，加强“理念作图”的训练，培养直观想象素养；通过对正多面体点线面数量的探究，引导学生发现变化中的不变量以及正多面体之间的关联，培养学生数学抽象、逻辑推理等素养．

2.4“立体几何初步”主题作业的设计

作业1人教A版《普通高中教科书数学必修第二册》第八章第3节例题1和习题1分别提到两种特殊的多面体，我们称之为正四面体和正八面体，还有我们熟悉的正方体也可叫作正六面体；苏教版

《普通高中教科书数学必修第二册》第13章第1节提到食盐晶体就是正六面体，明矾晶体是正八面体，我们将这种类型的多面体都称为正多面体.除了前面提到的3种正多面体，自然中还有其他类型的正多面体吗？你认为什么样的几何体能称之为正多面体？请给正多面体下定义．

【设计意图】 学生在寻找正多面体的过程中感受复杂多样的大千世界中存在着千丝万缕的联系.例如，学生通过查阅资料，可以发现最小的富勒烯C20分子结构为正十二面体，黄铁矿矿石晶体也呈现正十二面体形状，晶体硼（B12）的结构单元是正二十面体，甲肝、乙肝等多种病毒衣壳也是正二十面

体.在此过程中，学生充分体会到大自然是数学写成的书.在作业反馈环节，学生相互交流，对大量的案例归纳，可以发现自然界中存在正四、六、八、十二、二十面体这5种类型的正多面体，从而发展了学生逻辑推理的学科核心素养.在课堂学习中，学生已经经历了棱柱、棱锥等空间几何体的学习过程.本题让学生在直观感知的基础上，通过抽象图形的组成元素及其形状和位置关系定义正多面体，再次体会定义几何图形的一般方法，从而学会用数学的语言进行表达．

作业2通过作业1的学习，我们发现了5种类型的正多面体，接下来你打算研究什么问题？

【设计意图】本项作业让学生根据已有的学习经验思考正多面体可能的研究方向.在作业反馈时，师生共同讨论评估其可行性，筛选出在学生“最近发展区”内的问题，据此设计后面的作业.

课标提出：“学生能有意识地用数学语言表达现实世界，发现和提出问题，感悟数学与现实之间的关联.”［5］问题是解决问题的起点，与解决问题相比，发现并提出问题显然要更具有挑战性，这也是培养学生创新思维的关键．

作业3（1）观察正多面体模型，将相关数据填入表1.

（2）画出五种正多面体的平面展开图.

（3）正多面体的表面可能是哪几种类型的正多边形？请通过正多边形的卡片拼凑说明理由？

（4）选择合适材料，制作一个正多面体．

【设计意图】 作业3（1）、3（2）引导学生进一步观察正多面体的结构特征，为制作正多面体做准备；作业3（3）引导学生通过操作确认正多面体的每个面正多边形的边数最小为3，最大为5，这是因为正多面体是凸多面体，每个顶点处的面角之和必然小于360°.若每个面都为正三角形，那么每个顶点的正三角形最少为3个，最多为5个；若每个面都为正方形，每个顶点处的正方形只能为3个；若每个面都为正五边形，每个顶点处的正五边形只能为3个.通过本题，学生可以直观地认识到正多面体最多只有5种类型.

作业4（1）分析作业3（1）表格中的数据，它们之间有什么规律？一般的凸多面体也满足这个规律吗？请尝试给出证明．

（2）只有5种类型的正多面体吗？请尝试给出证明，并确定每一种正多面体的顶点数、面数和棱数．

【设计意图】 作业4（1）引导学生先归纳猜想，再严格证明，从感性认识上升到理性认识，经历数学发现的一般过程，让学生体验研究数学问题的一般方法.

本题的证明过程对学生而言有一定的挑战性，适合具有较强思维能力的学生解答.教师可以根据学生实际情况给出适当提示，如对欧拉公式的证明，可以提供问题支架，提示学生可想象将凸多面体想象成用橡皮薄膜做成的中空体，然后将多面体变形，摊成一个平面多边形，这个多边形有m个顶点，为m边形，这个多边形内还有V-m个点，以多面体的面角和为等量关系可得

（n1-2）×180°+…+（nF-2）×180°＝2×（m-2）×180°+（V-m）×360°，

即（2E-2F）×180°＝（-4+2V）×180°，

所以V+F-E＝2.

对于作业4（2），设正多面体每个面都是n边形，每个顶点处有m个面，而顶点处面角和小于360°，即

m×（n-2）×180°÷n＜360°，

化简可得m＜2+4（n-2）.

因为m，n为大于等于3的正整数，可得n，m的整数解只有n＝3，m＝3；n＝3，m＝4；n＝3，m＝5；n＝4，m＝3；n＝5，m＝3这5种情况.再根据nF＝2E，mV＝2E，V+F-2＝E，可得5种正多面体的顶点数、面数和棱数．

作业5正多面体的嵌套.如图1所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，连结B、D、C1、A1这四个顶点，就构成一个正四面体，再连结该正四面体各条棱的中点，就得到一个正八面体，若能在正八面体内找到一个正方体，就能构成一个循环，有人认为将正八面体各条棱的中点连起来就可以得到正方体，你认为对吗？为什么？

【设计意图】 作业5引导学生从图形的嵌套角度探求其相互之间的关系，需要学生从图形直观感知，从代数角度计算论证，在此过程中，能很好地培养学生的直观想象、逻辑推理等核心素养.

本题答案并不唯一，连接正八面体各面的中心可以得到正方体，也可以在棱上取点得到正方体，但不是棱的中点，如图2所示，不妨设正八面体棱长为2，内接正方体棱长为x，TE＝y.由x＝2y，x+y＝2，可得x＝4-22，y＝22-2，由此可见，点T并不是中点．

作业6撰写数学小论文（下面2个主题二选一）．

主题1阅读关于正多面体研究的历史资料，撰写小论文，论述数学家研究正多面体的过程、重要结果、主要人物、关键事件及其对人类文明的贡献．

主题2请你围绕某一种类型的正多面体，从线面的平行垂直关系、空间角、空间距离、几何体的表面和体积、与球的内切外接、在生活中的应用等角度进行全面的研究，撰写小论文．

【设计意图】 在作业6中，学生根据兴趣选择一个主题进行写作，赋予学生对作业的选择权可以激发学生自我责任感和对作业的主动认知投入.［1］主题1引导学生系统地梳理人类对正多面体的认知过程，在此过程中，学生不仅需要关注数字和符号，而且要考虑数学背后的逻辑、思维方式和历史背景，领悟数学家们研究问题的方法，体会数学家严谨、刻苦、专注等良好的科学品质，充分体现数学学科育人的价值.

主题2中，学生根据自己的能力从5种类型的正多面体中选择一种进行研究，可以系统地梳理本章节的基础知识和基本方法，经历系统研究数学对象的一般过程.

2.5多元评价、全面发展

作业类型的多样性导致了评价标准和评价方式的多样性，作业1和作业2为实践类作业，考虑学生发现材料的丰富性、思维的发散性和深刻性、数学语言的科学性和严谨性等，采用学生相互评价与教师评价相结合的方式；作业3为操作类作业，主要考虑展开图的科学性、说理的全面性、制作正多面体的美观性等，采用学生相互评价的方式；作业4和作业5为纸笔作业，主要考虑学生逻辑推理的严谨性、思维的全面性计算的准确性，以教师评价为主；作业6为阅读写作类作业，考虑论文的科学性、真实性、数学性、新颖性、流畅性等，采用自评与教师评价相结合的形式，优秀的作品张贴供其他同学赏析.作业6的评价表见表2.

3结语

在正多面体这个主题进行整体设计中，学生不仅仅是作业的完成者，还是问题的发现者和提出者、作业成果的展示者和评价者，体现了学生在作业活动中的主体性地位.学生经历直观感知、数学抽象、逻辑推理、数学表达等一系列的过程，能很好地发展其数学学科核心素养.

那些以机械记忆和简单模仿为目的的作业已经不能适应时代的需求，教师提供给学生的学习材料应该具有多样性、探究性、拓展性等特点，要能够促使知识发生迁移，使学生在完成作业的过程中学会探究，学会学习，能够培养学生的创新能力和合作交流能力，能激发学生的学习兴趣和探究欲．

参考文献

［1］方臻，夏雪梅.作业设计 基于学生心理机制的学习反馈［M］.北京：教育科学出版社，2014．

［2］马超周，高宇.“双减”背景下指向素养发展的高中数学单元作业设计［J］.数学通讯，2022（22）：24-27+56．

［3］侯学萍，陈琳.小学数学单元教学的整体设计［J］.教学与管理，2018（29）：43-45．

［4］窦桂梅.“主题教学”的思考与实践［J］.人民教育，2004（12）：32-34．

［5］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］.北京：人民教育出版社，2020．

［6］人民教育出版社课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中教科书数学必修第二册［M］.北京：人民教育出版社，2019．

［7］单墫，李善良.普通高中教科书数学必修第二册［M］.南京：江苏凤凰教育出版社，2020．

［8］李祎，王逸勤.基于核心素养的数学教学设计及其点评——以“椭圆及其标准方程”的教学为例［J］.数学通报，2023（5）：1-6．

［9］张晓雪，代钦.正多面体的历史及其现代教育价值［J］.数学通报，2019（2）：5-12.

［10］章建跃.核心素养立意的高中数学课程教材教法研究［M］.上海：华东师范大学出版社，2021．

*基金项目：江苏省教育科学“十四五”规划2021年度课题“高中数学单元作业设计研究”（项目编号：D/2021/02/463）.