圆锥曲线中最值问题的策略探究

摘要：圆锥曲线的题目内容丰富，其中求有关的最大值与最小值问题特点明显，此类问题的求解方法虽然有一定难度，但有规律可循.本文通过典型问题的分析与点评，旨在探索解题策略，研究最值的通解通法，供

教师参考.

关键词：圆锥曲线；最值；解题策略

圆锥曲线中的最值问题是一类常见的综合题型，此类问题的解决涉及多方面的数学知识，既可以抓住圆锥曲线的定义，运用几何分析直接得到特殊的极限位置，从而判断出最值点；也可以利用条件建立目标函数，将题目转化为一个函数求最值问题来解决；还可以对建立的相关式子进行整体变换，然后运用基本不等式解决最值问题.

1抓住曲线定义

圆锥曲线的有关定义是解决最值问题的重要依据，如果问题中还有曲线上的点与焦点线段问题时，用定义去思考可能得到重大突破.

例1已知点P是抛物线y2＝4x上一点，设点P到此抛物线准线的距离为d1，到直线l：x+2y-16＝0的距离为d2，求d1+d2的最小值.

解析：从图形的位置关系去思考，如图1所示.

由抛物线定义知，P到抛物线准线的距离d1等于P到焦点F的距离PF，则当P、F、R（设PR⊥l于R）三点在一条直线上时，d1+d2取得最小值，即为点F（1，0）到直线l的距离FN的长，故（d1+d2）min＝d＝|1+2×0-16|5＝35.

点评：本题解法是利用几何图形的直观性，将复杂的代数问题转化为简单的几何问题，体现了“多动脑，少动手”的考试要求，对培养学生直觉思维很有益处.

例2已知A（4，0），B（2，2）是椭圆x225+y29＝1内的点，P是椭圆上的动点，求|PA|+|PB|的最大值和最小值.

解析：由于A（4，0）为椭圆的右焦点，则左焦点为A′（-4，0）.

直线AB、A′B交椭圆于点P、P′（如图2），则P使|PA|+|PB|为最小，P′使|P′A|+|P′B|为最大.

设M为椭圆上异于P或P′的任一点，则｜MA｜+｜MB｜+｜A′B｜＞｜MA′｜+｜MA｜＝2a（a为半长轴），而|PA|+|PB|+｜A′B｜＝2a，故|PA|+|PB|＜｜MA｜+｜MB｜，同理可证P′为所求，容易求得最大值为2a+｜A′B｜＝10+210，最小值为2a-｜A′B｜＝10-210.

点评：由于动点P在椭圆上，故在求点P到焦点距离问题时，运用椭圆的定义解题是一个比较明智的选择，而相关的距离求最大值与最小值时，就是某个特殊的几何位置.

2运用二次函数

圆锥曲线是一类特殊的二次曲线，其中的最值问题很可能与二次函数相关，这要求学生要善于观察，挖掘内涵，机智灵活地

寻找突破口.

例1已知抛物线E：x2＝-2y，过抛物线上第四象限的点A作抛物线的切线，与x轴交于点M.过M作OA的垂线，交抛物线于B、C两点，交OA于点D（如图3）.若已知MA·MC≥2，求｜AD｜·｜AO｜的最小值.

解析：由题意知，抛物线E：x2＝-2y，即y＝-12x2，求导可得y′＝-x，又点A在抛物线上，可设A（2t，-2t2）（t＞0），则kAM＝-2t，所以直线AM的方程为y+2t2＝-2t（x-2t），所以可得M（t，0），又kOA＝ -2t22t＝-t，所以kBC＝1t，易得直线BC的方程为y＝1tx-1.将此直线方程与抛物线方程x2＝-2y联立，消去y得，x2+2tx-2＝0.设B（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2＝-2t，x1x2＝-2，

则可得MB·MC＝（x1-t）（x2-t）+y1y2＝x1x2-t·（x1+x2）+t2+14x21x22＝1+t2≥2，所以t2≥1.

又由｜AD｜＝1t×2t+2t2-11+1t2＝t（2t2+1）t2+1，｜AO｜＝（2t）2+（-2t2）2＝2tt2+1，所以｜AD｜·｜AO｜＝t（2t2+1）t2+1·2tt2+1＝2t2+122-14，因为t2≥1，所以当t2＝1，即t＝1时，｜AD｜·｜AO｜的最小值是6.

点评：本题用参数t表示出抛物线上的一动点，激活了整个解题思路，最后将待求的距离乘积也表示成参数t的二次函数，这是一个成功的关键一步.

例2如图4所示，点A、B分别是椭圆x236+y220＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.

（1）求点P的坐标.

（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于｜MB｜，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.

解析：（1）由已知可得点A（-6，0），F（4，0），设点P（x，y），则AP＝（x+6，y），FP＝（x-4，y），由于PA⊥PF，所以AP·FP＝0，即（x+6）（x-4）+y2＝0，将此方程与椭圆方程x236+y220＝1联立，可得x＝32，y＝532，所以点P的坐标是32，532.

（2）由（1）可得直线AP的方程是x-3y+6＝0，点B（6，0）.设点M的坐标是（m，0），则点M到直线AP的距离是|m+6|2，于是|m+6|2＝|m-6|，又-6≤m≤6，解得m＝2.

由椭圆上的点（x，y）到点M的距离为d，得d2＝（x-2）2+y2＝x2-4x+4+20-59x2＝49×x-922+15，由于-6≤x≤6，所以当x＝92时，d取最小值，最小值为15.

点评：本题的求解关键就是将待求的距离d表示出来，其中求出点M的坐标就是解题核心，必须注意到椭圆上点的变化范围.

3运用基本不等式

在一些待求问题的表达式中，会显露出可以运用基本不等式求最值的机会，要及时地抓住，但必须注意完全满足“一正、二定、三相等”的条件.

例1如图5所示，

过抛物线y2＝4x的焦点F作两条斜率存在且互相垂直的直线AB与CD，求

AD·CB的最小值.

解析：易知F（1，0），由题意知直线AB的斜率存在且不为0，

设为k，则直线AB的方程为

y＝k（x-1），将此方程与抛物线方程

y2＝4x联立，消去y得，k2x2-（2k2+4）x+k2＝0，设A（x1，y1），

B（x2，y2），则x1+x2＝2+4k2，x1·x2＝1.由于AB与CD垂直，则CD

的斜率为-1k，设C（x3，y3），D（x4，y4），

同理可得x3+x4＝2+4k2，x3·x4＝1.由于AD·CB＝（AF+FD）·（CF+FB）＝AF·CF+AF·FB+FD·CF+FD·FB＝|AF|·|FB|+|FD|·|CF|＝（x1+1）

·

（x2+1）+（x3+1）·（x4+1）＝x1x2+（x1+x2）+1+x3x4+（x3+x4）+1＝1+2+4k2+1+1+（2+4k2）+1＝8+4k2+1k2≥8+8＝16，当且仅当k2＝1k2，即k＝±1时，取等号，AD·CB取最小值16.

点评：本解法根据向量的有关特点，通过设相关点的坐标，利用向量性质列式、化简，然后整体变形、整体求解，自然顺畅.在运用基本不等式解题时，要注意取等号的条件.

例2

已知双曲线x2a2-y2b2＝1（a＞0，b＞0），O为坐标原点，离心率e＝2，点M（5，3）

在双曲线上.（1）求双曲线的方程.

（2）如图6所示，若

直线l与双曲线的左、右两支分别交于点Q、P，且OP·OQ＝0，

求｜OP｜2＋｜OQ｜2的最小值.

解析：（1）因为e＝ca＝2，所以c＝2a，b2＝c2-a2＝3a2，所以双曲线的方程为x2a2-y23a2＝1.

因为点M（5，3）在双曲线上，所以15-3＝3a2，所以a2＝4，所求双曲线的方程为x24-y212＝1.

（2）设直线OP的方程为y＝kx（k≠0），则直线OQ的方程为y＝-1kx，将方程y＝kx与双曲线方程x24-y212＝1联立，解得x2＝123-k2，y2＝12k23-k2，所以｜OP｜2＝x2+y2＝12（1+k2）3-k2.同理，用-1k代替式中的k，可得｜OQ｜2＝121k2+13-1k2＝12（k2+1）3k2-1，所以1|OP|2+1|OQ|2＝3-k2+3k2-112（k2+1）＝16.若设｜OP｜2＋｜OQ｜2＝t，则t1|OP|2+1|OQ|2＝2+|OP|2|OQ|2+|OQ|2|OP|2≥2+2＝4，所以t≥416＝24，即｜OP｜2＋｜OQ｜2≥24，当且仅当｜OP｜＝｜OQ｜＝23时，取等号，即当｜OP｜＝｜OQ｜＝23时，｜OP｜2＋｜OQ｜2取得最小值24.

点评：用参数k设出直线OP的方程后，则直线OQ的方程就出来了，同样由｜OP｜2也容易得到｜OQ｜2，这是一个简化解题的技巧，应该熟练运用.

4换元转化

一些目标式子比较烦琐，需要学生要观察其特点，抓住关键式子进行换元处理，这样既能简化表达式，又能显示其特点.

例1已知P、Q、M、N四点都在椭圆x2+y22＝1上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，已知PF与FQ共线，MF与FN共线，且PF·MF＝0，求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.

解析：由PF·MF＝0知PQ⊥MN，则PQ与MN中至少有一条斜率存在，不妨设PQ的斜率为k，则PQ所在直线的方程为y＝kx+1，将此方程代入椭圆方程x2+y22＝1，消去y化简得（2+k2）x2+2kx-1＝0.

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则有x1+x2＝-2k2+k2，x1x2＝-12+k2，

所以｜PQ｜＝1+k2·（x1+x2）2-4x1x2＝1+k2·-2k2+k22-4·-12+k2＝22（1+k2）2+k2.

（1）当k≠0时，直线MN的斜率为-1k，将上式中的k换为-1k，则易得｜MN｜＝221+1k22+1k2，故四边形面积S＝12｜PQ｜·｜MN｜＝42+k2+1k25+2k2+2k2，令u＝k2+1k2，则u≥2，且S＝21-15+2u，易知函数S是关于自变量u的递增函数，当k＝±1时，u＝2，S＝169，所以169≤S＜2.

（2）当k＝0时，MN为椭圆的长轴，则｜MN｜＝22，｜PQ｜＝2，此时S＝2.

综合（1）（2）可知，四边形PMQN面积最大值为2，最小值为169.

点评：在解决本题中面积关系中，通过引参换元，简化了目标函数的表达形式，显露出目标函数的特殊性质，从而可判断出函数的单调性，这是成功解决函数最值的重要环节.

例2已知过点（0，2）的直线l（直线l不与x轴垂直）与椭圆x22+y2＝1交于不同的两点M、N，且O为坐标原点.求△MON的面积的最大值.

解析：因为直线l不与x轴垂直，则l的斜率k存在，所以直线l的方程为y＝kx+2，将此方程与椭圆方程x22+y2＝1联立，消去y并整理得（2k2+1）·x2+8kx+6＝0.

又因为直线l与椭圆交于不同的两点M、N，则有Δ＝（8k）2-4·（2k2+1）·6＝16k2-24＞0，所以k2＞32，则有k＜-62或k＞62.设点M（x1，y1），N（x2，y2），则有x1+x2＝-8k2k2+1，x1x2＝62k2+1，所以｜MN｜＝1+k2|x1-x2|＝1+k2·（x1+x2）2-4x1x2＝1+k2·-8k2k2+12-4·62k2+1＝1+k2·222k2-32k2+1.

原点O到直线l：kx-y+2＝0的距离d＝21+k2，所以△MON的面积S＝12|MN|·d＝ 12·1+k2·222k2-32k2+1·21+k2＝222k2-32k2+1，为了书写方便，令t＝2k2-3，则2k2＝t2+3（t＞0），所以S＝22tt2+4＝22t+4t，由于t+4t≥4，当且仅当t＝4t，即t＝2时取等号，此时k2＝72，即k＝±142，符合前面的限制要求，从而有S≤224＝22，所以当k＝±142时，△MON的面积的最大值为22.

点评：本题也是对三角形面积表达式进行了换元处理，用一个新的参数替换了一个根式，成功地将原来的目标函数式中的根号去掉，这是最常见的换元方法.在用基本不等式求最值时，还需注意等号成立的条件，也要符合根的判别式的限制条件.

5结语

本文通过对典型例题的分析求解，归纳了圆锥曲线中求有关的最大值与最小值的常用方法，同时展示了解决圆锥曲线问题的破题思路，揭示了解决此类题的核心手段.在学习和研究具体问题的求解时，学生要善于归纳方法，揭示解题规律，这样就能提高学习效率，大幅度地提升分析问题、解决问题的能力.