基于数形结合思想的高中数学解题探索

摘要：数形结合是数学领域的转化思想，它通过以数解形或以形助数，帮助学生灵活解答数学问题，认清数学课程实质，体会数学课程理念.学生灵活运用数形结合思想解决数学问题，提高学习效率，需要教师在数学问题中逐渐渗透数形结合思想方法，使学生掌握数形结合方法的应用技巧，真正认识“数”与“形”的关系，以正确解题，高效学习.

关键词：高中数学；数形结合；主题单元教学

数形结合是指通过代数和图象相互渗透和辅助，解决代数问题或者图形问题.数形结合在数学领域中具有悠久的历史，我国古代数学著作《九章算术》就有关于“数”“形”相融合的思想.目前数形结合思想在高中数学中的应用，主要在空间立体几何或空间平面几何的位置证明或计算，以及平面向量和空间向量计算的应用.高考数学卷中关于数形结合思想方法的应用考查屡见不鲜，教师要注重锻炼学生数形结合思想在解题中的应用能力，提高学生解题效率，发展学生解题思维，帮助学生适应新高考.

本文旨在通过数形结合思想方法在数学问题中的应用，讲解数形结合思想方法的应用方法和技巧.

1数形结合的重要作用

代数关系通常表示为数与数、数与算式、数与方程、方程与方程之间的关系，主要运用数进行表示或表达.图象关系通常表示为点、线、面之间的位置关系，主要运用形进行表示或表达.数形结合就是将数与形进行组合，用以解决数或形的问题.数形结合不仅是一种解题方法，更是一种思维转换方式，通过从不同角度审视问题，从而得出解决问题的思路或方法，实现解决问题的目标.［1］在数学领域有效运用数形结合思想方法，可以帮助学生理解数和形的关系，掌握数学知识规律和内在关联，提高学习效率和解题效率.数形结合思想方法在数学领域中的应用，可以帮助学生深入理解数学概念，加深对数学性质和理念的理解.同时，数形结合思想可以锻炼学生的思维能力，使学生在学习和生活中学会运用转换思想解决问题，从而发展学生解决问题的能力.高考和数学竞赛中经常运用数形结合思想，旨在考查学生对数形结合思想的掌握和运用，以及转化和计算能力.

高中数学课程应当渗透数形结合思想.教师通过引导学生主动参与学习，可以加深学生对数形结合的认识；通过引导学生运用数形结合思想探究数学知识和解决数学问题，加强学生对数学知识的理解，提高学习效率.［2］

同时，数形结合思想的应用，有助于锻炼学生的思维能力，加强学生的转化意识，从而发展学生的学习思维和学习能力.

虽然高中数学知识具有抽象性、复杂性，综合难度较大，但是学生没有学透、学会数学知识的根本原因是没有理解数学的基本概念，不能灵活运用数学思想和方法.

特别是几何图形模块，有难度且抽象，大部分学生都难以理解相关概念、性质，但数形结合思想在空间几何图形的应用，可以帮助学生解决图形位置关系问题.

数形结合思想作为数学领域的重要思想方法，贯穿整个高中数学课程.随着课程标准的修订，新教材更为注重数形结合思想的应用.数形结合思想方法的应用或渗透，可以解决数学教学中数与形分离的问题.［3］

通过代数与几何图形的完美结合，诠释数学课程性质和理念，直观地呈现数学知识，有助于加强学生对数学知识理解，提升思维能力和解决问题能力，对学生核心素养发展和学业水平提升起到重要作用.

2数形结合的常见题型

2.1以数助形

以数助形是指利用数量关系表示几何图形位置关系，如运用导数解决函数单调性问题，运用三角函数解决三角形问题等.

2.1.1利用坐标法解决几何问题

运用坐标法解决几何图形问题，是指将直角坐标系、数、运算法则进行融合，通过代数计算的方式解决结合图形的位置关系，实现直观化研究几何

问题.运用坐标法解决几何图形问题主要步骤如下：

①根据几何图形的各个条件，在几何图形上建立直角坐标系，直角坐标系的建立以简单为基准；

②运用数、算式、方程、公式等元素表示几何图形；

③通过代数推理和计算，解决几何图形的位置关系问题；

④运用代数关系解释几何图形的位置关系，从而实现解决图形问题的目标.高中几何图形模块知识主要包括空间立体几何和解析几何两部分，虽然坐标系能够解决几何图形问题，但是如何在几何图形中建立直角坐标系和标注坐标点仍然是重点和难点.

例1如图1所示，在OBCAD五面体中，四边形BDAC为等腰梯形，BD∥CA，BC＝AC＝12BD，平面OBC⊥平面OBD，OB⊥OD.

（1）求证：平面OBC⊥平面ODA.

（2）若二面角O-BD-C 的余弦值为33，求直线OC与平面ODA所成角的大小.

（1）证明：因为平面OBC⊥平面OBD，平面OBC∩平面OBD＝OB，OB⊥OD，OD平面OBD，所以OD⊥平面OBC.又因为OD平面ODA，所以平面OBC⊥平面ODA.

（2）解析：如图2所示，过点C作CQ⊥OB于Q，CW⊥BD于W，连接WQ.

因为平面OBC⊥平面OBD，平面OBC∩平面OBD＝OB，CQ⊥OB，CQ平面OBC，所以CQ⊥平面OBD.又BD平面OBD，所以CQ⊥BD.

又CW⊥BD，且CW∩CQ＝C，CW、CQ平面CWQ，所以BD⊥平面CQW.因为QW平面CQW，所以BD⊥WQ，则∠CWQ为二面角O-BD-C的角.不妨设BD＝4，则BC＝AC＝AD＝2，且BW＝1，WC＝3.因为cos∠CWQ＝33，所以WQ＝1，所以∠DBO＝π4.

过点W作WZ⊥平面OBD，以WB，WQ，WZ分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则C（0，1，2），O（-1，2，0），D（-3，0，0），A（-2，1，2），

所以OC＝（1，-1，2）， DO＝（2，2，0），AO＝（1，1，-2）.

设平面ODA的法向量为n＝（x，y，z），则n·DO＝2x+2y＝0，

n·AO＝x+y-2 z＝0.

令x＝1，则y＝-1，z＝0，所以n＝（1，-1，0）.

设直线OC与平面ODA所成角为θ，则sinθ＝n·OC ｜n｜｜OC｜＝21+1×1+1+2＝22，所以θ＝π4，所以直线OC与平面ODA所成角的大小为π4.

解读：空间立体几何中诸多位置关系具有隐藏性，在空间立体图形中画出空间直角坐标系，利用代数的方法解决空间几何图形问题较为简单，可以简化空间几何图形证明步骤.求解例1的第2问的关键是运用二面角O-BD-C的余弦值为33，以及WB＝WQ＝1，得∠DBO＝π4.空间立体几何中只能观

察和求解图形的位置关系，难以观察和求解图形的数量关系，将代数计算方法运用到空间几何图形的位置关系求解当中，充分体现“数”在图形位置关系求解中的辅助作用，即数形结合.［4］

2.1.2利用三角函数解决几何问题

例2如图3所示，Q是两个同心圆圆心，半径分别为1cm和2cm，等腰三角形CAB中，点C在外圆上，点A和B在内圆上.AB与弧AB所围成的弓形面积为S1，三角形AQC与三角形BQC的面积和为S2，∠AQB＝2α.求当S2-S1为最大值时，cosα＝（）.

A. -1+52

B. 52-1

C. 12

D. 22

解析：由题可知，∠AQB＝2α∈（0，π），则α∈0，π2.S△AQB ＝12×QA×QB×sin2α＝12sin2α，S△ABC ＝12×AB×（2+QA×cosα）＝12×2sinα×QA×（2+QA×cosα）＝2sinα+sinαcosα.设劣弧AB所对扇形面积为S3，则S3＝12×2α×QA×QA＝α，故S1＝S3-S△AQB ＝α-12sin2α.S2＝S△CBA- S△AQB ＝2sinα+sinαcosα-12sin2α＝2×

sinα，则S2-S1＝2sinα+12sin2α-α，α∈0，π2.

令f（α）＝2sinα+12sin2α-α，α∈0，π2，则f′（α）＝2cosα2+2cosα-2.

令f′（α）＝0，得cosα＝-1+52或cosα＝-1-52（舍去）.记cosα0＝-1+52，α0∈0，π2.

当θ∈（0，α0）时，f′（α）＞0，函数f（α）单调递增；当θ∈α0，π2时，f′（α）＜0，函数f（α）单调递减，故当α＝α0，即cosα＝-1+52时，f（α）取得最大值，即S2-S1取得最大值.故选A.

解读：三角函数可以解决三角形相关问题，本题旨在运用三角函数描述三角形的几何特征，再结合导数判断函数单调性，解决该问题.

2.1.3利用向量法解决几何问题

例3三角形EFG中，角E、F、G的对应边为e、f、g，已知2e-f2＝cosFcosG，g＝2.

（1）求角G.

nZmzWmpRsSZEcSBjntwKy1iWkEuqgDdzxf5tHwORJfc=

（2）若H为EF的中点，求GH的最大值.

解析：（1）根据题意可知，2e-f2＝cosFcosG，对已知条件进行转变，得到（2e-f）cosG＝2cosF.

∵g＝2，∴（2e-f）cosG＝2cosF＝gcosF.

根据正弦定理，得fsinF＝esinE＝gsinG，

∴（2e-f）cosG＝

gcosF转化为（2sinE-sinF）×cosG＝sinGcosF，得出2sinEcosG＝sinFcosG+sinGcosF＝sin（F+G）＝sinE.

∵0＜E＜π，∴sinE≠0，2cosG＝1，cosG＝12.

∵0＜G＜π，∴G＝π3.

（2）∵H为EF中点，∴GH＝12（GE+GF）.

∵GH2＝14（GE+GF）2＝14（GE2+GF2+2GE·GF）＝e2+f2+ef4，

∵cosπ3＝e2+f2-g22ef＝e2+f2-42ef，∴e2+f2＝4+ef，

GH2＝4+2ef4.

∵e2+f2＝4+ef≥2ef，∴ef≤4，则GH的最大值为3.

解读：由于向量有方向和大小，可以作为数和形相互转换的媒介，所以利用向量代表数和形相互转化的工具，用以解决空间几何问题，利用代数解决空间几何问题叫作以数助形.虽然利用数可以解决几何图形问题，但是数学高考中也会考查纯几何问题，所以教师还要注重纯几何图形知识讲解，引导学生学习几何图形元素含义，利用纯几何图形知识解决图形的位置关系，促进学生整体掌握数学知识.

2.2以形助数

以形助数是指从几何图形视角解决数学问题.代数问题存在隐含关系，难以直观找出代数关系.通过观察图形可以找出代数的隐含关系，从而确定解决代数问题的思路和方法.

2.2.1

利用函数图象解决问题

例1已知函数g（x）＝（a+1）x2+（a+2）x·lnx+ln2x有3个不同的零点，求实数a的取值范围.

解析：g（x）＝（a+1）x2+（a+2）xlnx+ln2x＝（x+lnx）（ax+x+lnx），函数有3个不同的零点，令f（x）＝0，

则x+lnx＝0，ax+x+lnx＝0.

令函数z（x）＝x+lnx，当x∈（0，+∞）时，z（x）单调递增，且z（1）＝1＞0，z1e＝1e-1＜0，存在x1∈1e，1，使z（x1）＝0，即g（x1）＝0.

∵ax+x+lnx＝0，∴-a-1＝lnxx.

由题可知，直线y＝-a-1与w（x）＝lnxx有两个交点.

∵w′（x）＝1-lnxx2，令w′（x）＝0，则x＝e，

∴当0＜x＜e时，w′（x）＞0，w（x）单调递增；当e＜x＜+∞时，w′（x）＜0，w（x）单调递减，∴w（x）max＝1e.

图4为函数w（x）＝lnxx的图象，要使直线y＝－a－1与w（x）＝lnxx有两个交点，则0＜-a-1＜1e，即-1e-1＜a＜-1，所以a∈-1e-1，-1.

解读：零点问题是高考数学的重要考点之一，一般在函数、导数中出现.要求解或判断函数的零点，就需要对函数进行分情况讨论，所以零点问题具有一定难度.零点问题通常不会直接考核，

而是通过转化为函数图形与x轴的交点问题，先利用函数的单调性和导数知识判断零点个数，再画出图象表示零点个数.画图法能够解决代数问题，但是对于高精准的数学问题，如果图形出现错误，容易导致解题错误，所以需要学生在平时训练过程中，注重画图技巧培养.

2.2.2利用几何图形

解决问题

例2B为椭圆x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）上的点，BD为∠F1BF2的外角平分线，F2C⊥BD于点C，则点C的轨迹为（）.

A. 双曲线

B. 抛物线

C. 椭圆

D. 圆

解析：延长F2C交F1B于点A，如图5所示.

∵BD平分∠F2BA，

∴∠F2BC＝∠ABC，|BC|＝|BC|，∠BCF2＝∠BCA.

∴△BCF2≌△BCA，∴|BF2|＝|BA|，|CF2|＝|CA|.

∴点C为AF2的中点.

∵O为F1F2的中点，

∴｜OC｜＝12｜AF1｜＝12（｜BF1｜+｜BA｜）＝12（｜BF1｜+｜BF2｜）＝a，

∴点C的轨迹是圆.

故选D.

解读：延长F2C交F1B于点A，则|BA|＝|F2B|，|F1A|＝2a，根据中位线性质即可得出结论，该题为典型的以形助数数学题.

3结语

数学课程教学不只是讲解教材，而应当通过运用适当的教学方法和教学方式，构建适合学生学习和发展的教学课堂，引导学生通过参与式学习，探究数学知识本质，理解数学知识内在规律和实质.

目前高中数学课程教学紧密围绕课程标准，结合学生实际情况开展教学活动，旨在改变传统数学课程教学模式，注重改变学生学习思维、方法、技巧，使学生能够灵活多变的学习数学知识和解决数学问题.数形结合通过“数”“形”相互转化的方式解决数学问题和学习数学知识.数形结合可以帮助教师构建高效教学课堂，调动学生主观能动性，激发学生学习兴趣，引导学生高效学习.

参考文献

［1］吴雪梅.借助数形结合思想，推动高中数学解题教学［J］.数理天地（高中版），2024（11）：96-97.

［2］王进忠.浅谈数形结合思想在高中数学教学中的应用［J］.考试周刊，2024（20）：100-103.

［3］徐文波.数形结合思想在高中数学教学中的渗透探究［J］.学周刊，2024（14）：53-55.

［4］徐建花.例谈数形结合思想在高中数学教学中的应用［J］.数学学习与研究，2024（7）：47-49.