数学教学设计“三项分析”探索与实践

摘要：有效数学教学设计的产生，需要教师研究教科书提供的具体知识内容，再基于教材分析得到关于某数学知识的具体特点，揣摩学生发生这种特点的数学知识认识的心理特点，最后基于教材分析与学情分析进行教学法分析，作出合适教学设计.本文以“三项分析”指导下的“勾股定理”教学设计为例，旨在为教师教学提供新的策略与视角.

关键词：教材分析；学情分析；教学法分析；“勾股定理”

数学教学是一项系统的结构性工程，教师则是这项工程的设计师，需要为学生的数学学习活动制定蓝图，这里的“蓝图”就是数学教学设计.教师要想设计出行之有效的教学，必须以教材分析为基础，再辅之以学情分析，最后在二者的基础上进行教学法分析，从而因势利导，引导学生从已有的数学现实与情境材料产生新知，才能在数学教学中收获满意的效果.

1有效数学教学设计的结构组成

数学教材呈现的知识类别繁多，学生个体之间也存在认知与个性的差异，这就决定了教师进行“三项分析”需要采取不同的方式和途径.正所谓教无定法，不可能存在一个放之四海皆准的教学模式来帮助教师进行数学教学，唯有具体问题具体分析，才能设计出真正适合学生的数学教学方案.本文给出了教材分析、学情分析和教学法分析的内涵及呈现方式，旨在帮助教师在教学前合理进行“三项分析”以便形成有效的数学教学设计方案.

1.1教材分析

所谓教材分析就是教师对教学材料进行研究的思辨过程.对于教师和学生而言，教材呈现的数学知识不仅包含了人类经由认识而获得的确定性成果，也内含了知识原创者在攻克数学难题时思维展开的认知方式，以上皆要由教师对教材的反复解读，进而转化为课堂中影响学生的资源，帮助学生将萌生的数学思想转化为规范性的表达.教材分析包括对知识结构的分析、对教材编写者编写意图的分析.［1］知识结构是指呈现在教材中的知识点及其相互的逻辑关系，从知识维度可以分为宏观和微观；对于编写教材的过程而言，教材编写者编写意图的分析则是一项逆向的心理分析，教师需以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为凭依，解读教材编写者在提炼和概括数学知识时的基本理念和设计意图等，有针对性地培养学生形成符合社会发展需要的技能、技巧.此外，教师需注意教材是就知识论知识，它只关注了数学知识的外显表象，而没有突出知识结构的内在本质.因此，教师在利用教材作为教学顺序和教学目标的参考时，也要创造性地对教材进行二次加工，深入挖掘教材所体现的知识的内涵与本质.

1.2学情分析

学情分析中的“学情”主要包括智力因素与非智力因素两个方面.教师在进行教学设计之前，既要分析学生的智力水平，又要了解学生的情感状态.在智力因素方面，教师需要考虑学生的认知水平和知识技能基础，如学生对概念、法则、性质、公式、公理的理解水平，以及由这些内容所反映出的数学思想和方法的掌握程度.同时，教师也要关注学生的非智力因素.医学中讲究“对症下药”，医者先通过“望、闻、问、切”探清病因，再针对不同的病因选取合适的药理.教学亦如此，学生学习数学时可能会对知识的学习产生抵触情绪，所以教师需要寻找学生产生抵触情绪的原因来“对症下药”，从而利用合适的教学方法化解学生学习数学知识的心理障碍.［2］

学情分析需要引起教师的重视.教师进行学情分析时要避免出现以下三种失误：其一，“经验主义”，即教师以对学生的主观认识来代替学情分析；其二，“本本主义”，即教师认为学生在教材中接触过的就是已经掌握的，未在教材中接触的就一定全然不知，单纯地以教材分析取代学情分析；其三，“形式主义”，即割裂教材内容与学情分析的联系，将学情分析看成形式上的程序，这就失去了学情分析真正的意义.

1.3教学法分析

教学法分析是在教材分析和学情分析的基础上，预设具体的教学流程.在选择教学法来设计和实施数学课堂教学时，教师需要有辩证的思想，把握平衡，杜绝极端，既要注意落实对学生“四基”的培养，又要注意培养数学能力和实践创新精神；既要注重数学知识的认知过程，又要利用合适的教学情境为学生营造自主探究的机会，从而促进理解新知，巩固旧知.教师要在此基础上，合理选择教学方法辅助教学，以达到令人满意的教学效果.

2基于“三项分析”的“勾股定理”教学设计示例

本文选取北师大版《义务教育教科书数学八年级上册》中第一章《勾股定理》的第1节《探索勾股定理》为例设计教学活动过程，并围绕教材分析、学情分析和教学法分析来阐述教师在教学设计时需要的准备工作.

2.1“勾股定理”数学教学设计的结构组成

教学设计需要以教材分析、学情分析和教学法分析三部分组成.

其一，教材分析.从宏观知识结构分析勾股定理，本节属于数学定理教学.就定理教学的结果来看，教师要着重让学生掌握定理所包含的条件和结论，即直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，并引导学生掌握从条件到结论的证明方法，必要时能对定理作推广，即勾股定理的逆定理.就定理教学的过程来看，教师需要引导学生经历从定理的背景中发现和提出猜想、论证并获得定理的过程；从微观知识结构来看，教材先引导学生作任意直角三角形并度量长度，再求出各边的平方来推动等量关系的猜想与发现，恰恰直角三角形各边

平方的代数意义就是小正方形的面积值，两个小正方形的面积和与大正方形的面积相等，这种基于面积法构造几何图形的方式，曾在北师大版《义务教育教科书数学七年级下册》“和与差的完全平方公式”中出现过.教材在构造和的完全平方公式时以实例和图1引导学生归纳出结论，因此，旧知由图形帮助学生生成可以使用几何图形解释代数恒等式的思想意识，利用图形加以解释的“和与差的完全平方公式”与“勾股定理”有着密切联系.对教材进行教材编写意图分析，教师需引导学生体验勾股定理的发现过程而不仅仅是知晓结论，在学生观察、归纳、猜想、验证勾股定理的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合思想.

其二，学情分析.认识论曾提出“历史发生原理”的假设，即“个体知识的发生遵循人类知识发生的过程”.［3］因此，以数学史来分析学情，预设学生的数学心理活动不失为良策.希腊哲学家希伯斯（Hippasus）指出正方形边长与对角线是不可公度的.这个结论使得毕达哥拉斯学派持有的“万物皆数”观点瞬间遭到抨击，于是，希腊人开始害怕甚至几乎放弃代数学［4］，在验证与解释代数学中的公式时尽可能地借用几何图形，对代数学的演绎性推导始终持有质疑.借鉴数学史我们认识到希腊人对于无理数的恐惧，由此推测，勾股定理产生的源头，就是人们想要利用几何图形解释“两数和与差的完全平方公式”所连带的分支.因为，古希腊人使用图1来解释“两数和的完全平方公式”时，自然会进一步用图形尝试“两数差的完全平方公式”（如图2）.这时只要顺次连结矩形对角线，就离直角三角形更进一步（如图3），进一步抽象出由直角三角形拼接而成的正方形（如图4）.正方形的面积可用两种方式表示：一是（a－b）2＋4×12ab＝a2－2ab＋b2＋2ab＝a2＋b2；二是c2.综合得a2＋b2＝c2，即勾股定理的一般形式.基于上述分析，从智力因素来看，这里将教材分析后教师归纳出的“两数差的完全平方公式”和“勾股定理”间的联系确定为如下关系，即“两数差的完全平方差公式”为学生学习勾股定理，经历数学知识发生的过程提供合适的根据.从非智力因素来看，学习任何知识的最佳途径都是自己去发现，多数初中生已渐渐从被动学习转向为自我主动学习实现发展.教师应围绕学生学习“勾股定理”的最近发展区，再提供给学生多样化的教学情境材料来应用和拓展，以提高学生学习数学的热情.

其三，整合教材分析与学情分析的结果进行教学法分析.教材提供给学生自学的便捷途径，学生也可以由环环紧扣的问题环节及实际操作猜想出勾股定理，但是教师若在课堂教学时完全照搬教材会扼杀学生拓宽思维的可能.这是因为方格纸中呈现的例图无论是等腰直角三角形还是特殊直角三角形，都是课本或教师提供的，并非学生提出来的.再者，向直角三角形的三边外各做正方形，也并不是由学生的数学灵感和顿悟推进.综上所述，数学教学并不仅仅是教师提供关键环节和参考资料的单向活动，而是要教师既关注教材能够进行二次创造，又尊重学情有所凭依，抛出合理的“初始问题”进行互动的师生双向活动.

2.2“勾股定理”教学设计示例

再好的教学理念若得不到实践的检验，注定是不结果实的花朵，不具备推广的价值.下面的内容是在以上三项分析基础上，设计的一种勾股定理课堂教学活动的引入环节.

情境1根据已学习过的“两数和的完全平方公式”，请同学们来设计一个几何图形，用该几何图形的面积来表示（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2.

师生活动：教师抛出的问题正是学生认知结构中“两数和的完全平方公式”的合适根据地，由（a＋b）2＝（a＋b）×（a＋b）这个整体提示该几何图形为正方形，学生只要构建一个边长为a＋b的正方形即可（如图1）.

情境2类比上述使用“两数和的完全平方公式”表示几何图形的面积，你还可以提出新问题并解答吗？

师生活动：学生可基于上述问题顺势思考，提出新的问题——是否可以用“两数差的完全平方公式”构造一个几何图形，用它的面积来表示（a－b）2＝a2－2ab＋b2，并将上图进行改造（如图2）.

情境3给定一个直角三角形，如果要研究它的直角边a、b，斜边长c三者之间的数量关系，可以借助上述两个图形进行推理吗？

师生活动：学生进行小组讨论.借助图2中的线段a、b，连结四个矩形的对角线，就可以构造出四个直角三角形.设对角线的长度为c，可得到图3，抽象出其中的大正方形可得到图4，那么想要求解图形的面积，可以用两种方式分别表示，整体或者局部相加，即得到c2＝4×12ab＋（a－b）2＝a2＋b2.［5］

【设计意图】中国古算中有“出入相补”的原理，刘徽在其所注释的《九章算术》中就利用了上述原理证明勾股定理，我们现在学习到的勾股定理则是赵爽在《周髀算经》中注释的“案弦图又可以勾、股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股自差自乘为中黄实，加差实亦成”.［6］为了方便教师施教，教科书在学生学习勾股定理时，直接给出了赵爽构造出来的结论，即图5.教师也就依此方式如法炮制，由此便损害了知识点本身蕴含的教育价值.因此，教师要明确认识到，为学生创造并选择一个新知产生的教学活动的培养不是一件便捷容易的事.数学教师要酌情考究数学知识产生的历史源头，例如，在本次“勾股定理”的教学引入设计中，需站在知识点本身的构成及来源，思考勾股定理灵感的原创者是怎样产生“勾股圆方图”的真实心理过程.

3结语

教师要想设计出行之有效的数学教学，就需要在教学设计之前进行“三项分析”.教材分析是数学教学设计的基础.教师只有基于理论基础与实践经验将教材提供的教学材料分解开，并掌握数学知识每个部分、每个层次的要素，才能够思考并总结知识板块间的关联，为教学设计的完成打下基础.学情分析是数学教学设计的重要前提.教师唯有充分了解学生的知识基础和情感状态，才能量体裁衣，设计出有益于学生学习的教学.教师需要整合教材分析和学情分析的结果进行教学法分析，选取适合学生学习和方便教师施教的教学方法，预设师生共同参与的课堂教学活动流程，才能做到“知己知彼，百战不殆”.

参考文献

［1］何鸿斌，王爱仁.中学数学教材分析与研究［M］.大连：辽宁师范大学出版社，1997.

［2］张昆.学情分析：有效教学设计的前提［J］.中学数学杂志，2017（12）：5－8.

［3］刘洁.基于历史发生原理的平面概念的教学研究［D］.长沙：湖南师范大学，2009.

［4］H·伊夫斯.数学史概论［Ｍ］.太原：山西人民出版社，1986.

［5］张昆，张雨晴.运用最近发展区策略示例——透过数学教学设计的视点［J］.中学数学教学，2018（3）：4－8.

［6］刘钝.大哉言数［M］.沈阳：辽宁教育出版社，1993.