类比与归纳：代数教学的主线

摘要：逻辑推理涉及归纳、类比推理和演绎推理.代数和几何问题的解决都需要归纳、类比和演绎推理，代数教学的主线是归纳与类比，几何教学的主线是演绎.本文以《幂的运算性质》单元教学为例，详细阐述归纳与类比推理在其中是如何发挥主线作用的.

关键词：归纳；类比；代数教学；幂的运算性质

数学发现活动是一个不断通过合情推理提出猜想、发现结论、探索证明思路，通过演绎推理作出证明的过程，合情推理和演绎推理相辅相成，共同推动数学发现活动的顺利发展.本文以《幂的运算性质》单元教学为例，谈谈如何以归纳与类比为主线进行课堂教学设计.

1《幂的运算性质》单元教学流程

1.1温故知新，抽象出相同因数的乘法的结构特征

问题能不能用更简洁的方法表示出算式2×2×2×2？把2换成a呢？

生：24，a4.

追问1在24后面再乘3次2，你会如何计算？还有其他方法计算吗？

生：24×2×2×2，24×23.

追问2在a4后面再乘3次a，你又会如何计算？还有其他方法计算吗？

生：a4×a×a×a，a4×a3.

追问3仔细观察上面两个算式有什么共同特征？

生：底数相同，指数相加.

【设计意图】（1）引导学生回顾乘方的意义，并通过有步骤、有依据的计算，为探索同底数幂乘法的运算性质做好知识和方法的铺垫.（2）底数从数字2变为字母a，让学生感悟数式通性，感悟由特殊到一般的数学思想方法.（3）发展学生数学抽象核心素养.

1.2类比学习，归纳猜想同底数幂的乘法的运算性质

问题类比从24×23到a4×a3的一般化进程，进一步一般化，我们将研究怎样的算式？

师：既然可以把底数由数字一般化为代表数字的字母，那么指数也可以由数字一般化为字母，我们将研究算式am·an（m，n都是正整数）.

追问1am和an分别表示什么意义？

生：m个a相乘，n个a相乘.

追问2你能猜想出am·an的结果吗？说说你是怎么想的？

生：am·an＝am＋n（m，n都是正整数）.

追问3你能用文字语言描述这个算式的关键特征吗？

生：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.

追问4你会证明这一归纳猜想吗？

学生探索和讨论，学生板演或教师板书证明过程.

追问5更一般地，如果多个同底数幂相乘，即am·an·ak（m，n，k都是正整数），结果会怎样？

生：am·an·ak＝am＋n＋k（m，n，k都是正整数）.

【设计意图】（1）让学生经历观察、比较、抽象的过程，概括得出同底数幂的乘法运算的本质特征，并归纳猜想出其运算性质，即am·an＝am＋n，体现归纳的思想.（2）引导学生用文字语言描述同底数幂的乘法的运算性质的关键特征，从而培养学生的抽象概括能力.（3）引导学生认识到归纳猜想得出的结论，须通过严格的演绎推理加以论证，从而培养学生的逻辑推理能力.（4）学生进一步感悟数式通性和不断推进的一般化（先是底数的一般化，然后是指数的一般化，最后是同底数幂个数的一般化）的数学思想方法.（5）发展学生数学抽象和逻辑推理核心素养.

1.3拓展延伸，类比得出幂的乘方的运算性质

问题将算式am·an·ak＝am＋n＋k（m，n，k都是正整数）中的n，k都换成m，得到怎样的算式？

生：（am）3＝a3m（m是正整数）.

追问1类比前面经历两次一般化得到性质am·an＝am＋n（m，n都是正整数）的推进历程，你能将算式（am）3＝a3m（m是正整数）进一步一般化吗？

生：（am）n＝（an）m（m，n是正整数）.

追问2你能用文字语言描述这个一般化后算式的关键特征吗？

生：幂的乘方，底数不变，指数相乘.

追问3怎样证明这一归纳猜想？

学生探索和讨论，学生板演或教师板书证明过程.

追问4类比同底数幂相乘的运算性质，幂的乘方的运算性质还可以进一步一般化吗？即［（am）n］k＝（）（m，n，k都是正整数）.

生：［（am）n］k＝amnk（m，n，k都是正整数）.

【设计意图】（1）将算式am·an·ak＝am＋n＋k（m，n，k都是正整数）中的n，k都换成m，得到（am）3＝a3m，体现了特殊化的数学思想方法；类比am·an＝am＋n（m，n都是正整数）得到（am）n＝（an）m（m，n是正整数）；类比am·an·ak＝am＋n＋k（m，n，k都是正整数）得到［（am）n］k＝amnk（m，n，k都是正整数），学生继续感悟数式通性和类比的思想和一般化思想.（2）引导学生用文字语言描述幂的乘方的运算性质的关键特征，继续培养学生的抽象概括能力.（3）继续巩固证明的意识，提升学生逻辑推理能力.（4）发展学生数学抽象和逻辑推理核心素养.

1.4提出问题，归纳发现积的乘方的运算性质

问题我们已经知道对于底数相同的幂am和an相乘，可以用同底数幂乘法的运算性质相乘，那么对于指数相同的幂an和bn相乘，有对应的性质吗？

师：完成以下题目.

（1）a2·b2＝a·a·b·b＝（ab）·（ab）＝（ab）（）.

（2）a3·b3＝a·a·a·b·b·b＝（）·（）·（）＝（）（）.

追问1你能归纳发现一般化后的算式吗？

生：an·bn＝（ab）n（n是正整数）.

追问2如何证明这一归纳发现？

学生板书证明过程.

追问3我们经常需要将以上算式逆过来运用，即（ab）n＝an·bn（n是正整数），你能用文字语言描述这个一般化后的算式的关键特征吗？

生：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得幂相乘.

追问4类比同底数幂相乘和幂的乘方的运算性质，积的乘方的运算性质还可以进一步一般化吗？

生：（abc）n＝an·bn·cn（n是正整数）.

【设计意图】（1）从同底数幂相乘am·an到同指数幂相乘an·bn，意在培养学生学会发现和提出问题的能力，分析和解决问题的能力，这里重在提出问题.（2）再次增强学生由特殊到一般的归纳能力和引导学生感悟一般化的思想方法.（3）引导学生用文字语言描述积的乘方的运算性质的关键特征，再次培养学生的抽象概括能力.（4）再次提升学生的证明意识.（5）引导学生把（ab）n＝an·bn（n是正整数）一般化为（abc）n＝an·bn·cn（n是正整数），学生再次感悟类比和一般化思想.（6）培养学生数学抽象和逻辑推理核心素养.

1.5巩固应用，通过辨析特征加深对性质的理解和运用

例题计算以下式子.

（1）x2·x5.（2）（103）4.（3）（2x）4.

（4）a·a6.（5）（an）3.（6）（－5x）3.

师生共同分析解答，教师板书（1）（2）（3），学生板书（4）（5）（6）.教师着重让学生说明该算式符合哪种运算特征，引导学生运用合适的运算性质进行计算.

【设计意图】教师引导学生运用性质进行计算，在积累解题经验的同时，体会三种幂的运算的特征，并促使学生能正确选择合适的运算性质解题，发展其数学运算核心素养.

1.6课堂小结，引导学生主动建构知识网络

教师设置以下两个问题，引导学生回顾知识点，从而帮助学生主动建构知识网络.

问题1今天我们一起探究了幂的哪些运算性质？我们是怎样探究的？我们进行探究的最根本的依据是什么？

问题2你认为我们后面还可能会探究哪些运算性质？

【设计意图】引导学生从知识内容和探究过程两个方面进行小结，把握本节课的核心内容，建构知识网络，并在追问中反思与感悟学习幂的运算性质的重要性，进一步体会数与式的通性，以及从具体到抽象、从特殊到一般再到特殊的思想方法在数学问题解决中的应用.

2教学立意的进一步阐释

2.1落实课标理念，践行单元整体教学

《义务教育数学课程标准（2022年版）》倡导单元整体教学.对于幂的性质新授课来说，适合开展单元整体教学，笔者将《幂的运算性质》单元教学的目标构思如下.

学生经历同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方的运算性质的探究过程，体验通过归纳与类比提出猜想、发现结论和探索证明思路的思维活动过程，感悟从特殊到一般、从特殊到特殊的数学思想，发展数学抽象和逻辑推理核心素养.学生理解幂的三个运算的性质及其结构特征，建构幂的运算的知识网络，运用幂的运算性质进行简单的幂的运算，体会数式通性，感悟从一般到特殊的数学思想，发展数学运算核心素养.

2.2预设追问互动，发展学生推理素养

有研究者在关于“数学意识的培育过程”的研究中曾指出：“在知识维度上，从观察具体实例进阶至建构概念内涵；在方法维度上，从表述生活经验进阶至领悟数学思想；在信念维度上，从着意学习体验进阶至濡染理性精神.”［1］对于本文中《幂的运算性质》教学来说，笔者在教学过程中预设大量的“追问”，有效促进了师生、生生之间的对话互动，发展学生推理素养.此外，在这节课中，笔者特别强调了合情推理的训练.合情推理又包括归纳与类比推理，归纳是从个别事实中推演出一般性结论的推理，类比是根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同推演出它们在其他方面也相似或相同的推理.归纳是从特殊到一般的推理，类比是从特殊到特殊的推理，演绎是从一般到特殊的推理.

2.3重视反思回顾，促进学生深刻理解

涂荣豹教授在关于“反思性数学学习”的研究中曾指出：“要求学生对活动中有联系的问题进行反思，对解题思路、推理的过程、运算的过程、语言的表述进行反思.”［2］在课例最后阶段，笔者预设了课堂小结问题，组织学生对本课所学内容、涉及研究方法等进行了反思与回顾，并且让学生展望后续可能会学习哪些内容.设计这类展望式小结的意图还在于让学生基于研究方法和路径对后续所学内容准确预判.从课堂教学效果来看，学生都能基于代数学习经验，展望后续可能学习更多的幂的运算性质以及整式乘除等内容.

参考文献

［1］崔皓翔，宁连华.数学意识的培育：从直观感受到理性感悟［J］.课程·教材·教法，2024（2）：119－124.

［2］涂荣豹.试论反思性数学学习［J］.数学教育学报，2000（4）：17－21.

*基金项目：江苏省南通市教育科学“十三五”规划课题“基于‘自学·议论·引导’的初中数学板书实践研究”（项目编号：ZX2021006）.