初中生数学模型观念的培养

【摘要】数学模型思想的培养是新一轮课程改革的热点问题，初中数学教师要全面精准把握新课标精神，进一步提升模型观念培养能力。文章在解读数学模型概念的基础上，提出了深入解读课标，把握教学任务；积极挖掘教学资源，创设真实情境；注重建构过程，强化模型观念；突出项目学习，促进模型应用等培养学生创新精神和解决实际问题能力的方法。

【关键词】初中数学；模型观念；提升途径；培养策略

【中图分类号】G633.6【文献标志码】A【文章编号】1004—0463（2024）19—0106—04

数学模型是对现实世界中的某种特定对象或现象，用数学的语言和符号描述和表达而形成的数学结构。数学模型思想是“能够有意识地用数学的概念、原理和方法，理解、描述以及解决现实世界中一类问题的思想”[1]。数学教学中应该注重模型思想的渗透和应用，促使学生深刻领悟抽象难懂的数学概念，全面提升学生的数学素养、逻辑思维能力、创新精神和解决实际问题的能力，最终使学生数学素养得以全面提升。

具体而言，初中阶段模型观念的主要表现包含如下几个方面：通过数学模型，感悟数学与现实世界交流的基本方式；能运用方程、不等式、函数、统计量、分布概率等工具构建模型，解决简单的实际问题；体验从现实情境中提出问题，构建模型解决问题的过程，感悟数学建模的思想方法[2]。

一、深入解读课标，把握教学任务

初中数学教师应通过多种途径不断提升自己对数学模型观念培养的理解和教学能力，努力将数学模型思想渗透到日常教学中，为学生的全面发展奠定坚实的基础。

数学课程标准是教学的指南针，教师应细致研读其中关于模型观念培养的过程和具体要求，理解其背后的教育理念和目标，如何通过数学建模活动培养学生的抽象思维、逻辑推理、创新能力和问题解决能力[3]。模型观念培养的过程不仅仅是构建数学模型的过程，更包括识别问题、选择模型、应用模型、验证模型及优化模型等完整流程。教师应深刻理解这一过程的每个环节及其教育价值。通过阅读国内外数学教育领域的专业文献，尤其是关于数学模型观念培养的研究论文和教学案例，教师可以了解到最新的教育理念和教学方法，以及不同文化背景下模型教学的实践探索，借鉴成功案例中的教学策略和技巧，结合自己学生的实际情况，设计符合他们认知水平的数学模型教学活动。虽然各学段对模型思想的教学要求和目标是不同的，但是它们是相辅相成、层层递进，呈螺旋式上升的。比如，在小学，人教版从学生身边熟悉的情境——学科竞赛引入，让学生体验了韦恩图（模型）的构建过程，感悟其中蕴含的集合思想方法，用逻辑推理解决生活中较为简单的问题。初中数学中，有数的集合、多项式的集合、方程（组）解的集合、平面图形的集合，以及符合特定条件的点的集合（轨迹）的直观理解；也有利用韦恩图的特点解决数学或生活中的问题，如，表示特殊四边形的相互关系，以及“取公共部分”求不等式（组）解集的应用过程，都为高中系统学习集合思想和利用相关模型解决问题奠定扎实的基础。初中数学培养模型观念需要注意提高模型构建的深度与广度，注重模型应用的实践性，以便培养学生的模型意识与观念。

课程标准对模型观念的培养，每个年级的要求有所不同，七年级的学生主要是经历知识生成的过程，初步感受模型观念；八年级学生要求会用方程、不等式、函数等数学模型解决一些实际生活问题；九年级学生则要求能够比较完整地体验数学建模的全过程。因此，我们要梳理统整初中三年的数学教学内容，有意识系统地以数学模型思想为主线，根据教学目标和学习内容的具体要求，设计出有针对性、有实践性的教学方案，然后有系统地组织教学。比如，n个点可以连几条线段、从同一个点引出的n条射线能形成几个角、正多边形的边与对角线条数、某个集合的子集个数，到现实生活中的n个人的互相握手次数、单循环比赛场数、车票种类数等，都是排列组合模型中的特殊情况，且贯穿于教材的多个章节中。因此，教师要注意根据学情，适时适度地学习与总结，并让学生能熟练应用，为今后高中的继续学习打好基础。

二、积极挖掘教学资源，创设真实情境

教师既要深入研读数学教材，又要开发和利用课外资源，挖掘其中蕴含的数学模型元素，引导学生理解模型思想的应用。互联网蕴藏着极其丰富的优质教学资源，无论是专业的教育平台、权威的数学建模网站，还是教师社群分享，都能快速获取到适合不同能力水平学生的模型观念培养教学素材。学生们可以在教师的引导下，利用网络资源深入学习和探究，接触到更多元化的数学应用场景，进一步拓宽知识视野和思维空间，锻炼思维能力和创新精神。教具的应用在教学中有重要的实际意义，教师可以利用简易的耗材及身边的废旧物品自制教具和学具，如几何图形、概率实验装置等，让数学模型看得见、摸得着，让学生在摆一摆、拼一拼、说一说的过程中触类旁通，培养学生的动手能力和创新思维。

新课标中重点提出了“三会”，都是要建立数学和现实世界之间的联系。教师要将数学模型观念的培养与学生的生活实际相结合，设计贴近学生生活的问题情境，让学生在解决实际问题的过程中感受数学的魅力和价值，增强学生的直观感受和实践能力。一是从学生的日常生活出发，选取与数学模型紧密相关的实例，如购物打折、测量距离、计算利息等，通过这些实例让学生感受到数学模型的实际应用价值。还可以利用多媒体教学工具，展示数学模型在现实生活中的应用场景，增强学生的直观感受。比如，在学习相似三角形的概念时，学生可以利用几何画板等可视化工具，动态地探索和构建相似三角形的模型。二是让学生在模拟情境中体验。教师在课堂中设计模拟情境，如超市购物、旅行规划、工程问题等，让学生扮演不同角色，加深数学知识的理解与掌握，体验数学模型的应用过程。三是鼓励学生走出课堂，深入校园乃至社区，进行实地调查和研究，如测量校园面积、调查同学身高体重与生活习惯关系、绘制社区地图等。让学生在解决问题的过程中，掌握科学研究的基本方法，培养创新思维和批判性思维，为未来的学术研究和职业发展打下坚实的基础。

教师可通过搭建有效的学习支架，明确学习目标，逐步引导与示范；提供学习资源和工具、设置挑战性问题等策略来促进学生模型观念的全面发展。比如，从小明骑自行车的简单“行程问题”，可以拓展到“规划出行路线”：小明要到某地参加一项活动，他需要确保在活动开始前到达目的地。

层次一：假如规划小明是从家出发，先骑自行车到火车站，然后乘坐火车前往另一个城市，再乘坐出租车到活动地点。如果限定小明乘坐的火车发车时间是上午10点出发，他最晚应该在什么时间出发骑自行车，以确保他能按时参加活动。

层次二：限定小明在下午2点前到达活动地点，鼓励学生探索不同的出行组合方式。教师要指导学生使用手机中的App软件，方便便捷的规划出行路线。如，利用百度地图查询各种交通工具的路线、时长和费用，包括骑行、公交、出租车、地铁、火车等。利用铁路12306查询火车班次、余票情况、发车时间、到达时间等。

层次三：引导学生比较不同方案的时间成本、经济成本及舒适度，选择最适合的方案。教师要引导学生思考如何在时间、费用和舒适度之间找到最佳平衡点，教会学生根据天气、个人体力状况、活动紧急程度等因素灵活调整出行方案，同时，鼓励学生创新思维。比如，考虑拼车、使用共享单车解决短途接驳等新型出行方式。

通过这样的层次递进教学，不仅帮助学生掌握了实用的出行规划技能，还培养了他们管理时间、控制成本和综合分析的能力。

三、注重建构过程，强化模型观念

用整体、联系、发展的眼光注重建构过程至关重要，因为在这个过程中体现了从理解数学知识到建立数学模型的思维变化，引发学生深刻思考，强化模型观念。在概念、定理及法则的教学活动中，教师应积极引导学生亲身体验这些数学构件从具体到抽象的演变过程，促使学生深入理解其内在逻辑与核心要义，深刻把握其本质特征。比如，讲解平方差公式时，先用多项式相乘的法则计算，再引导观察、分析、归纳相乘的两个多项式有什么特点？积又有什么特点？积与原式之间有什么联系？让学生聚焦平方差公式模型的本质，能充分唤醒并激发学生的模型意识，进而在实践中不断深化对模型观念的理解与应用，实现模型观念培养的有效落地。

在课堂练习时，通过同类演练、变式拓展等形式，引导学生从特殊到一般逐步去体会模型中的整体思想，理解模型中“不变”与“变”的本质，体会模型的共性实质，强化学生模型观念，提升学生建模能力。学习完平方差公式后，师生可以共同完成练习：

（a+b）（a-b）=a2-b2

（-a-b）（a-b）=b2-a2

（3x+2y）（3x-2y）=（3x）2-（2y）2=9x2-4y2

（a+b+c）（a+b-c）=（a+b）2-c2=a2+2ab+b2-c2

（a-b）（a+b）（a2+b2）（a4+b4）=a8-b8

学生就会理解，这里的a和b，不管是具体的某个数，还是一个代数式，重点是是否符合公式特征，只有符合公式的特征才能用这个公式进行相关计算。如，当学生遇到10.2×9.8时，能够根据数据特点联想到平方差公式的模型，主动选择更简便的方法来解决问题。

可以从简单的例子开始，逐渐增加难度和复杂性，直到学生能够独立建构和应用数学模型。比如，在研究“游船的最短航行距离”中，研究从“两点之间，线段最短”“垂线段最短”到“将军饮马”，再到“一定两动点”下三段距离之和的最短问题，进而再解决“两定点两动点”情况下三段距离之和最短问题，等等，这样“温水煮青蛙”式的“进位”，巧妙地引导学生从两条线段和最小的问题中体会思想、提炼方法、举一反三，不知不觉中提高了学生的应用能力和创新能力。

教师要鼓励学生积极参与实践操作，通过亲自动手来构建数学模型解决问题。比如，学习全等三角形的证明时，全等三角形的几何模型却是多种多样的，它们都有什么样的相同点和不同点呢？如何分类整理出来呢？这就需要学生在操作的基础上，分析思考、整理内化，让图形有序、分门别类地呈现出来。教师可以让同学们通过平移、翻转、旋转、平移加翻转、平移加旋转等得出全等三角形的不同组合形态，再根据不同的组合形态抽象出不同的全等三角形几何模型。

四、基于项目学习，促进模型应用

课堂上教师通过巧妙的设计完成“建模”过程，而课后更要引导学生主动自觉地“用模”，来解决现实生活中的问题，真正内化模型观念。教师可以将与学生生活密切相关的问题引入课堂，如购物、旅行规划、家庭预算等，让学生在解决这些问题的过程中感受到数学模型的实际应用价值。教师也可讲解数学模型在物理学、经济学、生物学等领域的应用实例，让学生认识到数学模型的普适性和重要性。

课后作业要精心设计，使学生在完成作业的过程中，运用数学模型去数学地思考与表达，将学习的模型纳入认知系统，让模型观念生根，从而加强学生的应用意识。比如，学习了“一次函数的应用——分段收费问题”后，教师可以布置学习任务——分段计费问题的调查，让学生们走进生活，去探索分段计费在生活中的广泛应用：（1）调查走访，寻找生活中的分段计费问题；（2）任选其中一种问题进行重点调查（查阅资料或实地考察），弄清具体收费要求；（3）构建函数模型，结合数学题并解决。在学习过程中，学生加深了对“分段计费”模型的理解，学会了在实际背景的问题中收集信息并分析问题，建立需要的数学模型，选择合适的方法求解，分析这个解的意义，并与实际问题进行比较。如果解不合理则调整模型，直到实际问题得到解决。

跨学科和项目式学习是新教材的特色和亮点。教师要鼓励学生参与项目式学习，通过小组合作、调查研究、数据收集与分析等方式，自主构建数学模型并解决实际问题，从而培养他们的探究精神和创新能力，培养跨学科学习的综合素养。如，学习完“轴对称”和“中心对称”后，教师可以布置“制作美丽的对称图形”的项目化学习任务，让学生经历观察、折叠、思考、抽象、裁剪或绘制等一系列实践活动，综合应用数学和其他学科知识，自主分析问题、解决问题，最后设计制作出自己喜欢的几何图形或模型。在创造设计过程中，学生们丰富了对轴对称图形和中心对称图形的认知和理解，体会到数学和实际生活的密切联系，感受到了大自然的美、世界的美和生活的美，充分认识到了数学的应用价值。

总之，数学模型思想源于生活实际、始于数学抽象、基于教学变革、成于过程经历、达于立德树人。初中数学教师教学中应把握教学目标，引导学生体验模型的发生、发展和形成的过程，体会学习数学模型的必要性和重要性，培养模型观念，激发学生探究模型结论的兴趣，积累活动经验，发展数学思维，提升数学核心素养。

参考文献

[1]郑义富.模型思想的本质意蕴与教育价值[J].中小学教师培训，2022（10）：48-52.

[2]鲍建生，章建跃.数学核心素养在初中阶段的主要表现之七：模型观念[J].中国数学教育，2022（23）：03-08.

[3]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2022.

编辑：赵静艺