用填数规则填聪明数格

小朋友，前几期中，我们介绍了3×3和4×4的聪明数格的填写，知道已知数和特殊的结果（特殊的和、差、积、商）是填写这种谜题的突破口。其实，在填写聪明数格时，还可以用填数规则来填数。下面，我们一起来学习5×5聪明数格的填写。

例题1 图1 是一个5 ×5 的加减聪明数格。你能在空格内填入1 ～5 ，使得每个数在每行、每列中都不重复，且每个实线框中左上角的数正好是这个框中其他数的和或差吗？

为了便于叙述，我们可以像图2这样标注方格所在的列和行，用字母与数的组合来表示方格的位置，如橙色方格可以记为A1，绿色方格可记为E5。这道题有两个已知数，A1处填2，E5处填5（如图2）。

A列最下面框中3个数之和是12，而每列中5个数的和是1+2+3+4+5=15，可知A2填15-12-2=1。根据第2行中的差4可知B2填4+1=5。E列中，E1填15-5-7=3。因为第1行中已经出现了2，所以第1行中的差1只能是4-3=1，可知D1填1+3=4。根据每行中的数不重复，第1行中已经有2，3，4，可知第1行中剩下两个空格中的数是1和5，又因为B列中已经有5，所以B1填1，C1填5，1与5的和正好是6（如图3）。

C列中，C5填15-8-5=2。因为B列中已经出现了1，所以第5行的差1只能是3-2=1，可知B5填1+2=3。A列中的和12只能是3+4+5=12，可知和12所在框中的3个数是3，4，5。因为第5行中已经有3和5，所以A5填4。根据每行中的数不重复，第5行中已经有2，3，4，5，可知D5填1。根据D列中最下面的差1可知D4填1+1=2。根据每列中的数不重复，D列中已经有1，2，4，可知D列中剩下两个空格内的数是3和5，又因为第2行中已经有5，所以D2填3，D3填5，5减去3的差正好是2（如图4）。

观察图4中5所在的位置，你会发现A列中没有5，第4行中没有5，运用排除法可知A4填5。因为A列中和12所在框中的3个数是3，4，5，所以A3填3。根据每列中的数不重复，B列中已经有1，3，5，可知B列中剩下两个空格内的数是2和4，又因为第4行中已经有2，所以B3填2，B4填4（如图5）。

剩下的“和8”与“和7”，从“和7”突破比较容易，和7只能是4+2+1=7，和7所在框中的三个数是4，2，1。因为第4行中已经有2和4，所以E4填1。因为第3行已经有2，所以E3填4，E2填2。剩下的空格，用唯一法可以填出，C2填4，C3填1，C4填3。4，1，3三个数的和正好是4+1+3=8。最终的答案如图6所示。

例题2 图7 是一个5 ×5 的混合聪明数格。你能在空格内填入1 ～5 ，使得每个数在每行、每列中都不重复，且每个实线框中左上角的数正好是这个框中其他数的和、差、积或商吗？

为了便于叙述，我们可以像图8这样标注方格所在的列和行。这道题中没有已知数，可以用一些特殊的“和”或“差”来进行推理。

E列中，和9只能是4+5=9，和9所在框中的两个数是4和5，商2只能是2÷1=2，商2所在框中的两个数是1和2。根据每列中的数不重复，E列中已经有1，2，4，5，可知E5填3。D列中，积6只能是1×2×3=6，所以积6所在框中剩下的两个数是1和2，积15只能是3×5=15，积15所在框中的两个数是3和5。根据每列中的数不重复，D列中已经有1，2，3，5，可知D1填4（如图9）。

第1行中的积10只能是2×5=10，积10所在框中的两个数是2和5。根据每行中的数不重复，第1行中已经有2，4，5，可知第1行中剩下2个方格内的数是1和3，再根据第1行中的差1可知C1填3，E1填1（如图10）。

第5行中的商5只能是5÷1=5，商5所在框中的两个数是1和5。因为积6所在框中剩下的两个数是1和2，且第5行中已经有1，所以D4填1，D5填2。根据每行中的数不重复，第5行中已经有1，2，3，5，可知A5填4。根据A列中的商2可知，A4填4÷2=2（如图11）。

根据每行中的数不重复，A列中已经有2和4，可知A列中剩下3个方格内的数是1，3，5。因为第1行中已经有1和3，所以A1填5。根据第1行中的积10可知B1填 10÷5=2。第2行中的积4只能是1×4=4，积4所在框中的两个数是1和4，由此可知A列中A2填3，A3填1。因为D列中积15所在框中的两个数是3和5，且第2行中已经有3，所以D2填5，D3填3（如图12）。

观察图12中3所在的位置，你会发现B列中没有3，第4行中没有3，运用排除法可知，B4填3。因为B列中已经有2，所以B列中的差1只能是4-3=1，可知B3填1+3=4。因为第2行的积4所在框中的两个数是1和4，且B列中已经有4，所以B2填1，C2填4。根据每列中的数不重复，B列中已经有1，2，3，4，可知B5填5。根据第5行的商5可知C5填5÷5=1（如图13）。

根据每列中的数不重复，C列中已经有1，3，4，可知C列中差3所在框中的两个数是2和5，又因为第4行中已经有2，所以C3填2，C4填5。剩下的空格，可用唯一法填出，E2填2，E3填5，E4填4，最终的答案如图14所示。

小朋友，你有没有发现，在5×5混合聪明数格的填写中，我们不仅要充分运用一些特殊的和、差、积与商，还要用到同一数所在的行和列来排除填数，有时还要用到每行或每列中5个数的和是15。

怎么样，你学会了吗？下面你来填一填图15～18的5×5聪明数格吧！

填写要求：在空格内填入1～5，使得每个数在每行、每列中都不重复，且每个实线框中左上角的数正好是这个框中其他数的和、差、积或商。