数学好课的过程特征

摘要：本文对6个同课异构获奖课的教学路线图进行编码、分析，发现数学好课在过程上的共同特征为课堂的探究模式，知识的局部建构遵循科学发现路线，师生的细节互动采用“经验—提问”模式，整体、局部、细节协调一致；差异特征为各有偏重的教学环节，各有独特的建构任务，各自搭配不同的互动手段.数学好课的过程特征对数学教学设计、教师个性发挥有很好的启示.

关键词：数学课堂；教学路线图；过程分析

长期以来，多数研究者把课堂视为师生活动的系统，用系统要素的特征来反映好课的特征.例如，课堂以学生的学为中心，激发学生的求知欲，课堂气氛轻松和谐，教学内容、教学目的、教学方法等教学要素配置合理，重难点突出，板书得体，整体上具有科学性、智慧性和艺术性等.［1］［2］要素分析是一个重要方法，但不能反映课堂的动态过程，要想更好地把握课堂的特征，还需进行动态的过程分析.过程分析是指借助教学过程的记录，分析课堂的环节构成、教学步骤、交互事件、教学要素的活动过程及其运动变化，从过程信息中揭示教学各要素及其相互作用的表现特点，从而发现课堂过程的问题或特征，为教学设计和教学改进提供指导.在数学研课中，笔者发现教学路线图能很好地反映课堂过程，是过程分析的有力工具.［3］［4］［5］因此，笔者将一组同课异构获奖课的录像转录成文字，绘制教学路线图，从知识点的分布、知识点的建构过程、建构中的师生互动三个层面进行编码，尝试通过过程分析，获得数学好课的共同特征和差异特征，为优化数学课堂设计，提高教学质量提供帮助.

1研究设计

1.1研究假设

（1）获奖课堂都是经过精心设计、团队指导、多次锤炼的，能代表课堂教学的优秀水平，因此笔者参考有关做法［6］，将获奖课堂视为好课.

（2）教学路线图按照课堂实时顺序，简明地记录师生活动的内容、任务、方式、时间等重要信息.教学路线图与课堂实录相结合，能准确反映课堂教学的内容变化、教学模式、教学进程、师生交互等过程信息.

1.2研究对象

选取某教学比赛决赛中的一组获奖课作为研究对象，共有6个课，其中3个一等奖，3个二等奖.本组课堂同课异构的6位教师（分别记为T1—T6），男、女各3人，教龄都在5年以上，且年龄在39岁以内，是具有较好教学经验、相对成熟的教师.

1.3研究框架

数学课堂是根据数学知识的发展顺序和数学学习的心理顺序展开的.根据不同的知识点和认知任务，将教学路线图编码为三个层次：一级编码反映不同知识点的分布；二级编码反映知识点的建构过程；三级编码反映建构过程中的师生互动事件，即围绕一个知识对象，师生之间所发生的不可再分的教学行为.通过一级编码和二级编码，探索课堂整体的教学模式及其特征（简称整体模式）；通过二级编码和三级编码，探索局部知识的建构过程及其特征（简称局部建构）；通过三级编码，并结合课堂实录、课堂录像，探索师生互动的细节过程及其特征（简称细节互动）.

1.4研究方法

采用微观分析法和比较法.笔者先精细分析6个教学路线图，从整体模式、局部建构、细节互动三个层面梳理每个课堂的过程信息；再通过比较与辨析，归纳6个课堂过程的共同特征和差异特征.其中，T1的教学路线图信息见表1.

2研究结果

2.1整体模式的特征由表1可知，T1有三个教学步骤：①圆的概念；②点与圆的位置关系；③知识总结.步骤①的建构过程是对象感知（观察、回忆、画图）—要素探究（分析、抽象）—新知形成（概括、理解），这个过程属于概念形成的探究教学模式.进一步分析可知，步骤②细分为五个子步骤：圆上的点—圆内的点—圆外的点—点与圆的位置关系—练习应用.前四个步骤有基本相同的建构过程：情境体验（观察、分析）—情境探究（设计、分析、判断）—新知形成（概括、理解），属于命题形成的探究教学模式.可见，T1的整体模式属于探究教学模式.接着，对T2-T6进行同样分析.

比较T1-T6发现，6个课堂有相同的教学步骤，且步骤①和步骤②都属于探究教学模式.课堂的整体模式可以概括为五环节模式：感知—探究—新知—应用—总结.笔者统计T1-T6课堂中五个环节的平均用时占课堂时长的百分比（如图1）发现，探究和应用的平均用时较多；课堂呈现M型运行状态，即在简短的直观感知后，投入较多的时间进行探究，在获得新知后，又投入较多的时间进行练习、应用，最后是简短的课堂总结.

笔者对各个课堂的用时进行比较（如图2），发现不同的课堂在时间分配上有不同的特点.如T2的探究占42.7%，应用占22.7%；T6的探究占21.4%，应用占43.4%.可见，两位教师在知识的发现与应用上有不同的重点取向，T2更重视知识的发现，T6更重视知识的应用.又如，T3的感知占22.1%，探究占27.0%，新知占17.3%；T4的感知占7.3%，探究占24.4%，新知占28.0%，说明这两位教师在知识发现的过程与结果上有不同的重点取向，其中T3更重视知识发现的过程，T4更重视知识发现的结果.

综上，笔者总结出整体模式课堂的特征：①教学模式趋同.各位教师都采用探究教学模式，都注重课堂环节的完整性.②运行状态趋同.各环节用时分配呈M型，既重视知识的发现，又重视知识的应用.③重点取向不同.教师的教学模式，或偏重发现的过程，或偏重发现的结果，或偏重知识的应用.

2.2局部建构的特征

限于篇幅，这里以步骤①（圆的概念）为例，说明局部建构的特征.为了便于比较，笔者把6个课堂的建构事件按时序绘制成图3.由图3可以发现以下特点.

第一，知识发现的循环不同.T1、T2、T5是按照“感知—探究—新知”的顺序一次性完成知识的发现（简称一次发现循环）；T3、T4、T6是两次发现循环.其中，T3最为典型，第一次循环后得出圆的定义，第二次循环后得出圆心、半径和圆的符号.可见，同为探究教学模式，却有不同的发现过程，或集中感知、集中探究，或分散感知、分散探究.

第二，任务设计的数量不同.同为一次循环的T1、T2、T5，感知环节的教学事件数分别是4、3、2，探究环节分别是4、2、1，新知环节分别是3、1、2.同为二次循环的T3、T4、T6，各环节的教学事件数也不相同.T2、T5教学事件较少，属于粗放型任务设计；T1、T6教学事件较多，属于精细型任务设计.

第三，任务设计的要求不同.在感知环节，T5没有回忆，其他课堂都有.在探究环节，T1、T2有独立的抽象活动，且主要由学生完成，其他课堂没有独立的抽象过程.在新知环节，T2、T5是学生概括，且T5让学生类比三角形符号创造了圆的符号；T3、T6是教师概括，学生只需在教师的指导下理解内化；T1、T4既有学生概括，也有教师概括.

第四，知识表征的类型不同.将图3中各环节的表征类型图示化，得到图4.由图4可知，T1、T2、T5、T6先感知的是图象，然后是动作，知识发现是从现实原型开始的.T3、T4虽然先感知图象，但很快由图象转为图形，知识发现本质上是从几何图形开始的.在探究环节，T1、T2的探究对象是学生所画的圆，由圆的图形分析逐步转向圆的文字描述，表征变化是从图形走向文字；T4、T5的探究对象是学生画圆的动作，由动作讨论逐步转向文字描述，表征变化是从动作走向文字；T3、T6则混用了上述两类.总体上看，所有课堂的表征变化存在共同趋向，即从图象表征开始，经由动作表征或图形表征，最后转向文字表征和符号表征，表征变化的路线与科学发现的路线相一致.

第五，思想方法的承载方式不同.T4、T5有独立的类比活动，其中T4类比多边形的研究流程获得圆的研究流程，类比的内容是学习方法；T5类比三角形符号创造了圆的符号，类比的内容是数学知识.其他课堂也有类比成分，但都不明显，不能构成独立的教学事件.

第六，任务设计的精细度不同.将各个课堂的局部建构与整体模式联系起来可以发现，偏重发现过程的课堂，任务设计偏向粗放型，对学生有较高的水平认知要求；偏重知识应用的课堂，任务设计偏向精细型，对学生有较低的水平认知要求；偏重发现结果的课堂，则介于两者之间.

综上，局部建构的特征有以下几点：①知识表征的变化趋同.知识表征从现实事物的图象表征开始，经由动作表征或图形表征，逐步转向文字表征和符号表征.知识表征的发展变化与科学发现的认识路线相一致，符合探究教学的要求.②知识发现的循环不同.有的课堂集中感知、集中探究，一次性完成知识建构；有的课堂分散感知、分散探究，分批次完成知识建构.③认知加工的重点不同.感知的重点有的是图象，有的是图形；探究的重点有的是图形，有的是动作.④认知任务的数量不同.有粗放型设计，认知事件较少；也有精细型设计，认知事件较多.⑤认知任务的要求不同.有的课堂要求学生主动分析、主动概括、反思评价，有较多的高水平认知任务；有的课堂要求学生描述、理解、强化，主要是低水平的认知任务.⑥思想方法的承载不同.有的显性融入，有的隐性融入，有的指向学习方法，有的指向具体知识.⑦局部建构的差异与整体模式的重点取向有关.

2.3细节互动的特征

以步骤①（圆的概念）为例，笔者选取6个课堂都有的三个事件，即“感知：观察”过程、“探究：分析”过程、“新知：概括”过程，进行比较和分析（见表2、表3、表4），得到了细节互动的特征.

由表2可知，观察过程的基本互动方式是教师展示图片，引导学生观察；教师提问图形名称，引导学生明确学习对象.教师是观察活动的主导者.教师所展示的图片来源于学生生活，且往往是很多张（T2先给出1张，后又给出4张），容易唤起学生已有的生活经验，促使学生将注意力集中于圆的认识上.这种调动学生已有的生活经验，并通过提问引导学生形成认知材料和认知目标的互动方式，称为“经验—提问”模式.

表2还显示，观察过程的互动差异是在调动学生经验时，除了展示图片，T1、T5还运用了诠释，T2还运用了回忆.在提问时，T3还运用了追问.

由表3可知，分析过程的基本互动方式是教师引导学生观察所画的圆形或复述画圆的过程.教师通过提问引导学生分析（提取、补充）画圆的必要条件，明确圆的要素.教师是学生分析的引导者.在这个过程中，教师引导学生观察（复述）的是学生刚刚获得的直接经验，提问的意义在于引导学生反思自己的直接经验，从直接经验中提取新知识的要素.这种调动学生的直接经验，通过提问引导学生分析、反思并逐步生成新知识的互动方式，也称为“经验—提问”模式，只不过这里的经验是学生在课堂上生成的直接经验，提问的作用是引导学生的反思性思维活动.

从表3还容易看出，分析过程的互动差异是在调动学生的直接经验时，T1、T3运用观察，T2、T6运用复述，T5两者皆用；在提问时，T2、T5直接指向知识要素，T1、T3、T4间接指向知识要素，引导了更高水平的思维活动.T6没有提问，使学生失去了分析、反思的机会，因此本过程不具有探究学习意义.

表4显示出两类概括过程.一类是T1、T2、T4、T5呈现的概括过程，教师先让学生规范表述圆的形成过程，最后呈现定义，是教师引导、学生概括的过程；T5虽有不同，但PPT呈现的并不是一般意义上的定义，而是对圆的形成过程的抽象，等价于规范描述，应归为同一类.另一类是T3、T6呈现的概括过程，教师先呈现定义，然后让学生理解定义，是教师概括、学生理解的过程.

两类概括都是在学生前期体验和分析的基础上进行的，概括的实质是让学生把已经形成的关于圆的新经验改造成科学定义.除T6外，概括过程都有提问，所以总体上说，概括过程的基本互动方式是教师调动学生需要改造的新经验，通过提问帮助学生完成概括.这种互动方式也可以称为“经验—提问”模式，这里的经验是学生需要改造的新经验，提问的作用在于帮助学生加工新经验，实现新经验的理性升华.

概括过程的互动差异具体如下.

第一，概括的类型不同.T1、T2、T4、T5是教师引导下的学生概括，T3、T6是教师概括、学生理解.

第二，调动学生经验的手段不同.T1、T2是引导学生规范表述圆的形成过程，是对分析结果的抽象与综合，思维水平较高；T4、T5是引导学生描述圆的形成过程，是对感知经验和分析结果的复述，思维水平较低.

第三，提问所引导的认知水平不同.T1、T5引导的是推广或一般化，T2、T3、T4仅仅是强化.

第四，与提问搭配的其他互动手段不同.T1、T3、T4、T6搭配了朗读，T3、T4搭配了强调，T4用教材呈现概括结果.所有课堂都用到PPT.

第五，将各个课堂的互动特点与整体模式联系起来可以发现，每个课堂的互动特点与整体模式的重点取向相一致.例如，T3偏重知识发现的过程，在观察和分析过程中则用了追问、间接指向的提问，引导较高水平的思维活动，在概括过程中则是教师概括、学生理解，引导较低水平的思维活动；T4偏重知识发现的结果，在观察过程中没有引导较高水平的思维活动，在分析和概括阶段则用了间接指向的提问、学生概括，引导较高水平的思维活动.

综上，细节互动有以下特点：①“经验—提问”模式是基本的互动方式.教师先调动学生的经验，再通过提问引导学生开展相应的认知活动，逐步实现经验的发展、新知识的建构.提问的作用随着学生经验的发展而变化.在感知阶段，提问针对学生已有的生活经验，作用是引导学生聚集认知材料、确立认知目标；在探究阶段，提问针对学生课堂生成的直接经验，作用是引导学生辨析认知材料，生成新知识；在新知阶段，提问针对学生需要改造的经验，作用是引导学生概括新经验，实现认识的升华.②提问引发的思维水平不同.有的提问直接指向知识要素，学生只需回忆、复述、强化，思维水平较低；有的提问较为开放，给学生的思考空间较大，产生了分析、评价、推广、应用等较高水平的思维活动.③搭配使用的其他互动手段不同.除提问外，不同的课堂还以不同的方式搭配使用了回忆、诠释、演示、强调、朗读等其他的互动手段.④细节互动的差异与整体模式的重点取向相关联.

3结论与启示

3.1数学好课的共同特征

（1）整体模式采用探究模式.教学过程由“感知—探究—新知—应用—总结”五个环节构成，探究和应用环节的用时较多，课堂教学既重视知识的发现，又重视知识的巩固.

（2）局部建构遵循科学发现的认识路线.知识发现从直观的图象表征开始，经由图形表征或动作表征，逐步转向抽象的文字表征和符号表征，体现了从具体到抽象、从感性到理性的认识过程.

n35JRT47V9VVZiQ346qFpsQGrBGPTQx2JG1jVcOYnM4=（3）细节互动的基本方式是“经验-提问”模式.在一次教学事件中，教师往往先调动学生的经验，然后通过提问，引导学生开展认知活动，推动教学不断前进.学生的经验，在课堂的不同环节有不同的内涵，从已有的生活经验，到课堂生成的直接经验，再到需要改造、完善的经验，在教师的引导和帮助下逐步发展.教师的提问也会因为学生经验的不同，在不同的环节呈现不同的导向和作用.

（4）整体、局部、细节协调一致.在整体上采用了探究模式，局部建构则按照科学发现的一般过程组织学习过程，细节互动则从学生已有的生活经验入手，引导学生经历知识发现、发展的全过程，体现数学探究的教学价值.

3.2数学好课的差异特征

（1）整体模式各有不同的重点取向，或偏重发现的过程，或偏重发现的结果，或偏重知识的巩固和应用.

（2）局部建构差异很大.知识发现的过程、思想方法的融入、认知任务的数量和要求各有不同.

（3）细节互动中，与提问搭配的其他互动手段各不相同.

（4）局部建构、细节互动的差异与整体模式的重点取向存在一致性.偏重发现过程的，任务设计偏向粗放型；偏重知识巩固的，任务设计偏向精细型.不同的差异有内在的一致性，这种内在一致性体现了课堂的个性化风格，也说明“好课”各有各的“好”.

3.3启示

（1）优化课堂过程要注意整体、局部、细节三个层面协调一致.如果课堂整体上采用了某种教学模式，那么就要遵循这种模式的过程要求，处理好局部建构的过程设计和每个细节的互动设计，使局部建构和细节互动很好地体现这种模式的特点、优点，避免出现教学过程、知识发展、学习引导之间的不协调、不一致、不完整现象.

（2）个性化教学设计要注意教学个性在三个层面上协同一致.教学个性本质上是教学过程差异的综合表现，对教师来说，追求和表达自己的教学个性，就要使自己的课堂在整体、局部、细节上有个性化表现，而且三个层面的个性化表现还要产生协同一致的效果.

参考文献

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