折出来的轴对称——等腰三角形

将一张长方形纸片，按照图1的要求，先对折，然后用剪刀斜着裁出一部分，再把裁剪得到的直角三角形展开，所得到的三角形是什么形状呢？

根据纸片的折剪过程，我们很容易发现△ABC是等腰三角形，也深刻认识了等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形。这也是判定等腰三角形的基本方法。

我们将得到的等腰△ABC（如图1⑦）重新对折，使得两条腰AB和AC重合。我们可以发现：等腰三角形是轴对称图形，两底角∠B和∠C重合，BD和CD重合，折痕AD与底边BC的两个夹角∠ADB和∠ADC重合，折痕AD与两条腰AB、AC的两个夹角∠BAD和∠CAD也是重合的。这就验证了等腰三角形的相关性质定理：（1）等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴；（2）等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）；（3）等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）。

我们再思考一下，借助刚才折纸过程给你的启发，你能证明“等边对等角”以及“三线合一”的定理吗？

例 已知：如图2，在△ABC中，AB=AC。

求证：∠B=∠C。

证明：作顶角的角平分线AD，由AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，用“SAS”可证明△ABD≌△ACD。可知∠B=∠C，从而证明“等边对等角”；还可以得出BD=CD，∠ADB和∠ADC相等，都是90°，即AD⊥BC，所以，顶角平分线AD也是底边BC上的中线和高线，从而证明“三线合一”。

你还能想到其他辅助线的添加方法吗？

如果不用长方形纸片，用一张普通的不等边三角形纸片，你还能通过折纸得到一个等腰三角形吗？

如图3，将三角形的一边BC沿自身折叠，使得点B与点C重合，折痕MD与AB交于点D，连接CD，沿着CD剪开，展开之后就能得到等腰△BCD了。（证明略）

通过折叠普通三角形得到等腰三角形，我们需要明确构造等腰三角形这个轴对称图形，就是要构造边相等或角相等，折叠就是一种轴对称变换。图3这种折叠方法就是通过轴对称构造相等的边。

有兴趣的同学可以继续探究，利用折纸“做”出更多的轴对称图形。

（作者单位：江苏省昆山市第二中学）