函数概念引入初中数学教学中的案例研究与效果分析

摘要：函数是初中数学的核心概念之一，对于学生数学学习具有重要意义.通过探究多种典型的函数案例，包括直线运动问题、等边三角形的边长与高的关系及人口增长问题等，分析其在初中数学教学中的应用效果.研究结果表明，这些案例能够帮助学生直观理解函数的概念，培养学生建模思维，为后续函数知识的学习奠定基础.最后对初中数学函数概念引入教学提出了建议.

关键词：初中数学；函数概念；引入案例；教学效果

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）26-0018-03

函数是初中数学教学的重点，涉及一次函数、二次函数、三角函数等多种类型，深刻理解函数概念是学生后续数学学习的基础.在初中数学教学中，结合生活实际有效引入函数概念，培养学生的函数思维，一直是数学教学研究的重点问题.

1函数概念引入的典型案例

1.1直线运动问题

在初中数学教学中，直线运动问题是一个非常典型的引入函数概念的案例.设物体在某一时间内的路程s与时间t成线性关系，即s=at+b，其中a和b为常数.通过观察和分析这种关系，可以帮助学生理解一次函数的概念及其特点.

例如，某汽车从A地出发，以恒定速度v行驶到B地，全程耗时t小时，则汽车行驶的路程s与时间t满足函数关系s=vt，其中v为汽车的速度.通过观察和分析这一函数关系，学生可以发现路程s随时间t成正比例变化，即s与t成线性关系.这样学生不仅可以理解一次函数的定义、函数值等基本概念，而且能够认识到一次函数图象是一条直线，斜率表示速度大小等特点.

在教学过程中，教师可以通过设置不同初始位置和时间

，引导学生分析函数关系式中参数a和b的实际意义.例如，若s=5t+20，则初始位置为20米，速度为5米/秒.通过这种分析，学生可以深入理解一次函数的表达式和图象与实际问题之间的对应关系，培养其将实际问题转化为数学模型的能力.这有助于学生直观认识函数概念，为后续学习其他类型函数打下良好的基础.

1.2等边三角形的边长与高的关系

等边三角形是初中阶段非常重要的几何图形，其边长与高线长之间存在函数关系.设等边三角形的边长为a，其高线长为h，则h与a之间满足函数关系h=3a/2.

通过分析这种函数关系，可以引导学生思考问题：边长a与高线长h之间存在怎样的联系？边长a的变化如何影响高线h的长度？例如，若边长a增加1个单位长度，则高线长增加多少？学生可以通过计算发现其中蕴含的一次函数概念和特点.这不仅有助于学生理解函数概念，也为后续学习二次函数的性质奠定基础.

在教学过程中，教师可以设计一些具体的等边三角形，让学生测量边长和高线长，并绘制相应的函数图象.通过观察和分析图象特征，学生可以进一步理解h与a之间的函数关系.这种探索性的学习方式有利于培养学生的数学建模能力.

1.3人口增长问题

人口增长问题是初中数学教学中常见的引入函数概念的案例.某地人口数量P随时间t的变化可用一次函数P=at+b描述，其中a和b为常数.

通过分析这种函数关系，可以帮助学生理解人口数量随时间的变化趋势，并思考影响人口变化的因素，如出生率、死亡率、迁移等.例如，某城市2010年人口为数量50万，

如果每年增加5万人，那么可用函数P=50+5t来表示该城市t年后的人口数量.

在教学过程中，学生可以代入不同的时间t，计算出相应的人口数量，并绘制函数图象.通过观察图象的特点，如a表示人口变化速度、b表示初始人口数量等，有助于学生理解一次函数的定义和性质.这种具体案例分析有利于培养学生的数学建模意识和函数思维，为后续学习其他类型函数打下基础.

总的来说，上述三种案例都体现了函数概念在初中数学教学中的重要应用，为学生理解函数的本质特征提供了生动直观的素材.教师可以根据教学目标和学生实际情况，灵活选择和设计相关案例，引导学生主动探索函数概念，培养其数学思维能力.

2案例应用效果分析

2.1有利于学生直观理解函数概念及特点

这些案例都来源于实际生活，具有直观性和可视性，有助于学生直观理解函数的基本概念.以直线运动问题为例，学生可以通过测量汽车在不同时间的位置，发现二者成线性关系s=at+b，进而理解一次函数的表达式、图像特点等.例如，某学生测得汽车在0秒、1秒、2秒的位置分别为20米、25米、30米，由此建立函数模型s=5t+20，直观感受一次函数中参数a和b的具体意义.

同样地，在等边三角形的边长与高的关系案例中，学生可以计算三角形的边长和高线长，并绘制函数图象，直观感受二者之间的线性关系.例如，当边长a增加2厘米时，高线长h将增加3厘米.这种直观的观察和分析过程，有助于学生对函数概念及其特点形成深刻印象.

2.2有利于培养学生抽象建模思维

这些案例不仅能帮助学生理解函数概念，还能培养他们的数学建模能力.例如，在人口增长问题中，学生需要根据已知信息，如初始人口数量和年增长率，建立一次函数模型P=at+b描述人口数量的变化情况.某城市2010年人口为50万，近5年平均每年增加3万人，那么可建立函数模型P=50+3t来预测未来人口变化.

通过这种由实际问题抽象到数学模型的过程，学生不仅掌握了一次函数的知识，而且培养了分析问题、识别数学关系、建立模型的能力.这种数学建模思维对于学生今后解决复杂问题具有重要意义，也是核心素养培养的重要目标之一.

2.3有利于促进知识迁移和综合应用

这些引入函数概念的案例，为学生后续学习其他函数类型打下了良好的基础.例如，在学习二次函数时，学生可以结合生活中的拱桥进行思考.已知水位线、警戒线、水位上涨速度，通过计算出水位线淹没桥顶所需时间，以此理解二次函数的概念和特点，为学习指数函数和反比例函数奠定基础.

研究发现，当学生在初中阶段对函数概念有了较为深入的理解后，在高中数学学习中表现明显优于其他学生［1］，他们不仅能够掌握函数的基本性质，还能灵活运用函数思维解决实际问题.如运用一次函数分析路程问题，利用二次函数优化设计方案等，体现了函数概念引入对数学学习的深远影响.

3初中数学函数概念引入教学建议

在初中数学教学中，为使学生深入理解函数概念，提高

其运用函数知识分析问题和解决问题的能力，提出以下针对性教学建议.

3.1拓展案例选择，贴近学生生活

除了上述三个案例，在选择引入函数概念的案例时，教师应充分考虑学生的兴趣爱好和生活经验，设计更加丰富多样的案例.

例如，在学习三角函数时， 可以引入建筑学中测量与设计问题，当需要测量建筑物的高度时，可以通过测量建筑物底部与观测点的水平距离及建筑物顶部的仰角，然后利用三角函数关系计算出建筑物的高度.这种方法利用三角函数的性质和几何知识，将实际问题转化为三角函数问题.

这样的案例不仅贴近学生的生活实际，

而且能与其他知识紧密结合，如物理定律、图形特性等，有助于学生构建知识体系，增强学习的整体性和针对性.

在初中数学教学中，教师还可以引导学生分析问题情境，讨论相关的数学概念和公式，并设计实践活动，让学生亲身体验数学建模过程.这不仅有助于他们理解函数概念，而且能培养其动手操作能力、数学建模思维等综合素质.3.2注重数学建模过程，提升综合素养

在引入函数概念时，教师应注重分析问题和解决问题的具体过程，培养学生的数学建模能力，引导他们体验数学在现实生活中的应用价值.

例如，在学习二次函数时，可引入投球问题.在投篮时，球的高度可用二次函数h=-4.9t2+vt+h0描述，其中h为高度，t为时间，v为初速度，h0为初始高度.学生需要分析问题情境，确定已知条件和未知量，建立二次函数模型，最后进行分析和求解.

通过这一过程，学生不仅能理解二次函数的性质，如

极值、图象等，而且能感受到数学在实际应用中的作用.他们需要运用所学知识分析问题，选择合适的数学模型，并对结果进行解释和检验［2］.这种基于实际问题的数学建模训练，有助于培养学生的综合素养，如逻辑思维、问题解决能力等.3.3注重多元探究，激发学习兴趣

在函数概念教学中，教师还应创设多元的探究情境，激发学生学习兴趣，引导学生主动参与学习，培养他们的探究精神和创新能力.

例如，在学习反比例函数时，可以设计一个有关投资收益的案例.某人想投资一家校服生产公司，公司的收益率与投资金额成反比例关系，即xy=k，其中y为收益率，x为投资金额，k为常数.学生可以通过假设不同的投资金额，预测公司的收益率，并探讨如何选择最优的投资方案.

在这一过程中，学生需要分析问题情境，建立反比例函数模型，并根据实际需求进行计算和分析.这种以学生为中心的探究式学习，不仅有助于他们理解反比例函数的特点，还能激发他们的好奇心和创新意识，培养独立思考、团队合作等能力.

函数是数学中最基本的概念，它描述了两个或多个量之间的依赖关系.函数概念包括函数的定义域、函数值、函数图象等内容.教师可以通过梳理不同类型函数的共性，引导学生认识函数的本质特征，如变量之间的对应关系、函数值的唯一性等［3］.

除此之外，教师还可以引导学生思考函数的数学抽象性特点.函数概念体现了从具体事物到数学模型的抽象过程，强调了数学语言的简洁性和一般性.这有助于培养学生的数学抽象思维，增强他们对函数概念的整体把握.

通过对函数概念本质的深入剖析，并结合丰富多样的案例教学，学生不仅能掌握函数的基本特征，而且能培养数学建模思维，提升数学应用能力.这种融合理论和实践的教学方式，有助于提高初中数学教学质量，提升学生的数学核心素养.

4结束语

在初中数学函数教学中，教师需紧密联系学生现实生活，引入具体的函数案例，帮助学生理解函数的定义和性质，培养其数学建模思维，提高其运用所学知识分析问题和解决问题的能力.

参考文献：［1］

刘思余，周学勇.基于核心素养的数学概念教学案例设计与分析：以初中《函数的概念》的教学为例［J］.科技风，2021（8）：62-63.

［2］丁琳琳.案例教学法在初中数学教学中的应用［J］.新课程，2023（18）：70-72.

［3］曹小红.初中数学函数概念起始课的有效教学案例研究［J］.数学学习与研究（教研版），2018（21）：115-116.

［责任编辑：李璟］