函数思想在解中考试题中的应用

摘要：函数思想在初中数学教学中占有重要地位，是一种非常重要的数学思想，贯穿初中数学大部分内容.函数思想在解中考试题中的应用非常广泛，文章以具体的中考真题为例，探究函数思想在数与式的运算、最值问题以及动态问题中的应用.

关键词：函数思想；中考试题；最值问题；动态问题；应用

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）26-0021-03

函数思想通常是指利用函数的概念和性质分析问题、转化问题和解决问题［1］．函数有三种表示形式，即解析式、表格、图象．在利用函数思想解决数学问题时，可以从这三个方面捕捉函数信息，据此构造函数模型，进而利用函数的性质解决问题．

1数式与函数

在数式变化中，通常存在着某种函数关系.代数式的值就是其中某些未知字母的函数，等式中也蕴含函数关系.在初中数学解题过程中，可考虑从数式中构建函数，然后利用函数的性质解决数式问题．

例1（2023年江苏省南通市中考数学第10题）若实数x，y，m满足x+y+m=6，3x-y+m=4，则代数式-2xy+1的值可以是（）

A．3B．2.5C．2D．1.5

解析根据题意可得x+y+m=6，3x-y+m=4，解得x=5-m2，y=7-m2.设w=-2xy+1，则w=-2×5-m2×7-m2+1=-m22+6m-332.因为-12<0，所以w有最大值.利用二次函数的性质可求得最大值为1.5，故选D．

点评本题主要考查二次函数的性质、二元一次方程组的解法等知识，熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键．联立方程组，可用含m的代数式表示x，y，然后设w=-2xy+1，即可得到关于m的二次函数，然后根据二次函数的性质解决问题．

例2（2022年江苏省南通市中考数学第10题）已知实数m，n满足m2+n2=2+mn，则（2m-3n）2+（m+2n）（m-2n）的最大值为（）

A．24B．443C．163D．-4

解析由题意易得（2m-3n）2+（m+2n）（m-2n）=4m2-12mn+9n2+m2-4n2=5m2-12mn+5n2=5（2+mn）-12mn=10-7mn.

因为（m+n）2=m2+n2+2mn≥0，m2+n2=2+mn，所以2+mn+2mn≥0，所以3mn≥-2，所以mn≥-23，由此可得10-7mn≤443，所以（2m-3n）2+（m+2n）（m-2n）的最大值为443，故选B．

点评本题主要考查完全平方公式、平方差公式、不等式的性质等知识，对所求值的代数式进行正确化简，并求出mn的取值范围是解题的关键［2］．先将所求式子化简为10-7mn，然后根据（m+n）2=m2+n2+2mn≥0及m2+n2=2+mn求出mn≥-23，进而可得答案．

2最值与函数

在初中数学中，最值指的是最大值或最小值．对于二次函数y=ax2+bx+c，当a＞0时，y有最小值；当a＜0时，y有最大值.一次函数和反比例函数在自变量的取值范围内，也可能存在最大值和最小值．因此，在解决最值问题时，应联想到构造函数，利用函数的性质求解．

例3（2023年天津市中考数学第12题）如图1所示，要围一个矩形菜园ABCD，共中一边AD是墙，且AD的长不能超过26 m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40 m．有下列结论：①AB的长可以为6 m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192 m2；③菜园ABCD面积的最大值为200 m2．其中，正确结论的个数是（）.

A．0B．1C．2D．3

解析设AB的长为x m，矩形ABCD的面积为y m2，则BC的长为（40-2x） m，由题意得y=x（40-2x）=-2x2+40x=-2（x-10）2+200，其中0 ＜40-2x≤26，即7≤x＜20.

①AB的长不可以为6 m，原说法错误.

②当y=-2（x-10）2+200=192时，解得x=8或x=12，所以AB的长有两个不同的值，其均能使菜园ABCD面积为192 m2，说法正确.

③菜园面积的最大值为200 m2，原说法正确.

综上所述，正确结论的个数是2个，故选C．

点评本题主要考查二次函数的性质、一元二次方程的解法等知识，准确理解题意，列出二次函数解析式是解题的关键．设AB的长为x m，矩形ABCD的面积为y m2，则BC的长为（40-2x） m.根据矩形的面积公式即可列二次函数解析式，再根据AD的长不能超过26 m及二次函数的最值，解一元二次方程即可解决问题．

3动态变化与函数

在速度一定的情况下，运动路程就是运动时间的函数.如果某些量的变化引起另一些量的变化，这里面可能存在函数关系，找出其中变量之间的函数关系，利用函数性质即可解决有关数学问题．

例4（2022年广州市中考数学第25题）如图2所示，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，连接BD.

（1）求BD的长；

（2）点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合），点F在边AD上，且BE=3DF.当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+3CF的值是否也最小？如果是，求CE+3CF的最小值；如果不是，请说明理由．

解析（1）如图3，连接AC，设AC与BD的交点为O.因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD ， OA=OC，AB∥CD，AC平分∠DAB.因为∠BAD = 120°，所以∠CAB=60°，所以△ABC是等边三角形，所以BO=AB·sin60°=6×32=33，故BD=63.

（2）如图4所示，过点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N.

因为△ABC是等边三角形，所以AC=AB=6.由（1）得BD=63.在菱形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，AB∥CD，BC=AB=6，所以MN⊥BC.因为∠BAD=120°，所以∠ABC=60°，所以∠EBN=30°，所以EN=12BE.因为S菱形ABCD=12AC·BD=MN·BC，所以MN=33.设BE=x，则EN=12x，所以EM=MN-EN=33-12x.因为S菱形ABCD= AD·MN=6×33=183，所以S△ABD=12S菱形ABCD=93.因为BE=3DF，所以DF=BE3=33x，所以S△DEF=12DF ·EM=12·33x33-12x =-312x2+32x.设四边形ABEF的面积为S，则S=S△ABD-S△DEF=93-

（-312x2+32x）=312x-332+2734.因为点E在BD上，且不在端点，故0＜BE＜BD，即0＜x＜63.

作CH⊥AD于H，如图5所示.因为CO⊥BD，CH⊥AD，而点E和F分别在BD和AD上，当点E和F分别到达点O和点H位置时，CF和CE分别达到最小值.在菱形ABCD中，AB∥CD，AD=CD.因为∠BAD=120°，所以∠ADC=60°，所以△ACD是等边三角形，所以AH=DH=3，所以CH=33.由S=312x-332+2734可知，当x=33，即BE=33时，S达到最小值.因为BE=

3DF，所以DF=3，此时点E恰好在点O的位置，而点F也恰好在点H位置，所以当四边形ABEF面积取最小值时，CE和CF也恰好同时达到最小值，此时CE+3CF的值达到最小，其最小值为CO+3CH=3+3×33=12．

点评本题主要考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、二次函数的性质、三角形的重心、解直角三角形等知识. 根据菱形的面积可求出MN=

33，设BE=x，则EN=12x，从而得到EM=MN-EN=33-12x，再由BE=3DF，可得DF=33x，从而得到四边形ABEF的面积S=S△ABD-S△DEF=312x-332+2734.作CH⊥AD于H，可得当点E和F分别到达点O和点H位置时，CF和CE分别达到最小值；再由S=312x-332+2734，可得当x=33，即BE=33时，S达到最小值，从而得到此时点E恰好在点O的位置，而点F也恰好在点H位置．

4结束语

函数是初中数学的重要内容，函数思想作为初中数学的重要思想，贯穿整个初中数学.因此，在初中数学教学中，教师需在日常教学中渗透函数思想. 在解题教学中，教师要引导学生学会将函数思想与其他内容相结合，并利用函数思想解决中考试题，让学生在解决中考试题的过程中感悟函数思想的魅力，提升其数学核心素养.

参考文献：［1］

张海涛.借助函数思想，指导初中数学解题研究［J］.数理化解题研究，2022（8）：56-58.

［2］李鸿昌，徐章韬.关于对数平均的一个不等式的推广［J］.数学通报，2023，62（8）：50-52.

［责任编辑：李璟］