初中数学新定义题赏析

摘要：近几年中考数学试题中，经常出现新定义类问题.这类问题主要考查学生的数学阅读能力和对新知识的现学现用能力，因而深受命题者的青睐.基于此，对初中数学中经常出现的新定义题进行归类，并给出每种类型问题的解题思路.

关键词：初中数学；新定义题；代数运算；思路分析

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）26-0015-03

所谓新定义题，主要是指中学数学教材中未出现过且学生未知的新概念、新运算、新公式、新定理及新法则等，需要学生对题干中的信息现学现用，结合已有知识和能力进行理解，并根据新定义进行运算、推理和迁移的一种题型［1］.笔者对历年中考试题中的新定义题分类解析，并给出其解题思路.

1新定义数

例1对于一个两位数m=ab，（0≤b≤a≤9，1≤a+b≤9），记F（m）=a+b，将m的十位数字与个位数字的和、十位数字与个位数字的差分别作为m′的十位数字和个位数字，新形成的两位数m′叫作m的伴生和差数，把m放置于m′十位数字与个位数字之间，就可以得到一个新的四位数M，最小的M为，若M能被7整除，则F（m）：F（m′）的最小值为.

解析因为两位数m的十位数字是a，个位数字是b，两位数m′的十位数字是a+b，个位数字是a-b，四位数M=1 000（a+b）+100a+10b+（a-b）=1 101a+1 009b，所以当a=1，b=0时，M最小，M=1 101.因为M能被7整除，1≤a+b≤9，所以当a=3，b=1时，M=4 312；当a=5，b=4时，M=9 541；当a=6，b=2时，M=8 624；当a=7，b=0时，M=7 707.由题意得F（m）=a+b，F（m′）=（a+b）+（a-b）=2a，所以当F（m）F（m′）=a+b2a=12+b2a最小时，即b2a最小，所以当a=7，b=0时，F（m）F（m′）=12．

点评本题为新定义问题，主要考查整式的加减、分式加减的逆用等知识.根据题意用含a、b代数式写出四位数M的表达式，然后根据a、b的范围，即可得到最小的M.因为M能被7整除，从而可知a和b的取值，可得F（m）：F（m′）的最小值．

2新定义运算

例2定义一种新运算：对于任意实数a、b，满足＜a，b＞=a-2b（a≤b），b-2aa＞b.当a=1，b=2时，＜a，b＞的最大值为．

解析因为a=1，b=2，所以a=±1，b=±2.

当a=1，b=2时，＜a，b＞=1-2×2=1-4=-3；

当a=1，b=-2时，＜a，b＞=-2-2×1=-2-2=-4；

当a=-1，b=2时，＜a，b>=-1-2×2=-1-4=-5；

当a=-1，b=-2时，＜a，b＞=-2-2×-1=2-2=0．因为-5＜-4＜-3＜0，所以＜a，b＞的最大值为0．

点评本题为新定义问题，主要考查绝对值的意义、有理数混合运算、有理数的大小比较等知识．根据绝对值的意义，易得a=±1，b=±2，再分类讨论即可求出＜a，b＞的值，然后比较大小即可．

例3定义新运算：ab=1a+1b，若a-b=2，则3ab2a-2b的值是．

解析因为ab=1a+1b，所以a-b=1a+1-b=2，即b-a2=ab.故3ab2a-2b=3（b-a）4（b-a）=34.

点评本题是新定义的运算，主要考查代数式求值.理解题意，得到b-a2=ab是解决问题的关键．

3新定义方程

例4在平面直角坐标系xOy中，对于与原点不重合的两个点Pa，b和Qc，d，关于x，y的方程ax+by=1称为点P的“照耀方程”．若x=c，y=d是方程ax+by=1的解，则称点P“照耀”了点Q. 例如，点P5，7的“照耀方程”是5x+7y=1，且x=3，y=-2是该方程的解，则点P5，7“照耀”了点Q3，-2．

（1）下列点中，被点A3，-2“照耀”的点为．

B1-1，1，B24，6，B35，7.

（2）若点Cp，q同时被点D5，-9和点E-3，7“照耀”，请求出p，q.

（3）若n个不同的点P1，P2，…，Pn，每个点都“照耀”了其后所有的点，如P1“照耀”了P2，P3，…，Pn；P2“照耀”了P3，P4，…，Pn；…Pn-1“照耀”了Pn.请写出n的最大值，并说明理由．

解析（1）点A（3，-2）的“照耀方程”为3x-2y=1，把点B1（-1，1）代入得-3-2=-5≠1，所以点B1不是被点A（3，-2）“照耀”的点；把点B2（4，6）代入得3×4-2×6=0≠1，所以点B2不是被点A（3，-2）“照耀”的点；把点B3（5，7）代入得3×5-2×7=1，所以点B3是被点A（3，-2）“照耀”的点. 答案为B3（5，7）．

（2）点D（5，-9）的“照耀方程”为5x-9y=1，点E（-3，7）的“照耀方程”为-3x+7y=1，解方程组5x-9y=1，-3x+7y=1，得x=2，y=1.从而可知点C的坐标为（2，1），即p=2，q=1．

（3）n的最大值为3.理由如下：设点P1（a1，b1），则关于点P1（a1，b1）的“照耀方程”为a1x+b1y=1.设点P2（a2，b2），则关于点P2（a2，b2）的“照耀方程”为a2x+b2y=1.设点P3（a3，b3）是被P1（a1，b1）和P2（a2，b2）的“照耀”的点，所以x=a3，y=b3是方程组a1x+b1y=1，a2x+b3y=1的解. 因为方程组a1x+b1y=1，a2x+b3y=1为关于x、y的二元一次方程组，又因为此二元一次方程组只有一个解，所以被P1（a1，b1）和P2（a2，b2）“照耀”的点只有一个，故不可能再写出第4个点，所以n的最大值为3．

点评本题主要考查新定义运算，解题的关键是理解题意，熟练掌握二元一次方程组的解法．

4新定义最值

例5对于两个不相等的数a，b，我们规定min{a，b}（a≠0）表示a，b中的较小的值.例min{2，3}=2，则方程min11-x，21-x=2x-1-3的解为．

解析根据新定义可得，若1-x＞0，即x＜1，则min11-x，21-x=11-x.

因为min11-x，21-x=2x-1-3，所以11-x=2x-1-3，所以-1=2-3x-1，解得x=2.又2＞1，所以x=2不符合题意，舍去.若1-x＜0，即x＞1，则min11-x，21-x=21-x.因为min11-x，21-x=2x-1-3，所以21-x=2x-1-3，故-2=2-3x-1，解得x=73.当x=73时，1-x=1-73=-43<0，故答案为x=73．

点评本题主要考查新定义运算、分式方程的解法等知识.解题的关键是根据题意将新方程转化为分式方程，转化过程中需要注意进行分类讨论．根据新定义可知，若1-x>0，则min11-x，21-x=11-x；若1-x<0，则min11-x，21-x=21-x.分别求出x即可解决问题．

5新定义数对

例6规定a，b表示一对数对，给出如下定义：m=1a，n=b（a>0，b>0）．将m，n与n，m称为数对a，b的一对“对称数对”．例如，数对4，1的一对“对称数对”为12，1与1，12．

（1）数对9，3的一对“对称数对”是．

（2）若数对3，y的一对“对称数”相同，则y的值是多少？

（3）若数对x，2的一个“对称数对”是2，1，则x的值是多少？若数对a，b一个“对称数对”是3，32，求a，b的值．

解析（1）易得m=19=13，n=3，所以数对93的一对“对称数对”是（13，3）与（3，13）.

（2）由题意可得m=13，n=y，所以数对3，y的一对“对称数对”为33，y与y，33.因为数对3，y的一对“对称数对”相同，所以y=13，从而可得y=13.

（3）因为数对x，2的一对“对称数对”是1x，2与2，1x，而数对x，2的一个“对称数对”是2，1，所以1x=1，由此可得x=1.根据题意可得m=1a，n=b，所以数对a，b的一对“对称数对”为1a，b与b，1a.因为数对a，b一个“对称数对”是3，32，所以1a=3，b=32，或b=3，1a=32.从而可知a=13，b=18或a=118，b=3.

点评 ;本题主要考查实数的运算，理解“对称数对”的定义是解题的关键．对于问题（1），根据“对称数对”的定义代入计算即可.对于问题（2），先将数对（3，y）的一对“对称数对”表示出来，因为数对（3，y）的一对“对称数对”相同，由此可得到y的值.对于问题（3），先将数对（x，2）的一对“对称数对”表示出来，因为数对（x，2）的一个“对称数对”是2，1，即可得出x的值；先将数对（a，b）的一对“对称数对”表示出来，根据数对（a，b）一个“对称数对”是3，32，即可得出a，b的值.

6结束语

新定义问题是考查学生数学能力与数学素养的新题型，也是今后中考数学命题的趋势［2］. 因此，作为一名初中数学教师，在日常教学中要适当为学生提供新定义问题，并渗透新定义问题的解题方法，不断提高学生运用所学知识分析问题和解决问题的能力.如此，教师可在无形中培养学生的数学学习能力，发展学生的数学核心素养.

参考文献：

［1］ 崔国勋.关注中考“新定义”类数学问题［J］.数学之友，2022，36（4）：96-97.

［2］况微.中考数学“新定义”题型解题研究：以2008—2021年贵阳市中考试卷为例［J］.贵州教育，2021（23）：27-31.

［责任编辑：李璟］