聚焦核心 打通结构

［摘 要］核心概念是数学知识的本质，结构体系是数学脉络的根本。文章以“分数除法单元复习”为例，用数学知识的内核本质打通知识内部结构，用数学模型的表征互译打通模型结构，用数学思想的类比迁移打通思维结构，助推学生结构化思维的发展。

［关键词］分数除法；复习课；结构

［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2024）26-0071-04

【教学内容】

北师大版教材五年级下册“分数除法”。

【教学目标】

能根据算式的特点正确且快速地计算分数除法；

通过对比、联系，会用分数除法的计算方法计算小数除法，理解整数、小数、分数除法算法和算理的一致性；

能够用分数除法解决实际问题，体会数学与生活的密切联系；

经历观察、比较、归纳、概括等过程，培养数学结构化思维。

【教学重难点】

掌握分数除法的计算方法和解题方法，将分数除法与整数除法、小数除法联系起来。

【教学过程】

一、联结内核，厘清运算结构

（一）编题计算，复习算法技巧

师：有一个数——[34]，请再想一个数，使其与[34]组成一道除法算式。

生1：[34÷43] 。

师：这是一道分数除以分数的算式。

生2：[34÷10]。

生3：[9÷34]。

师：我也想了一个——[12÷34]。为了便于交流，我把这四道算式标上序号。（出示图1）

师：你能快速算出这4道除法算式的结果吗？

（学生独立计算，教师组织学生交流）

师：正确率高的同学肯定有计算小妙招，请说一说。

生4：一个数除以另一个数等于乘这个数的倒数。

生5：除数不能为0。

生6：能约分的可以先约分，再计算。

生7：计算后可以验算一下。

【评析：学生基本上都能掌握分数除法的简单计算——只要转化为乘这个数的倒数即可。因此，教师改变传统的出示算式让学生计算的方式，利用“给定一个分数，再想数写算式”的开放问题，让学生自主编题，提升学生的课堂参与度；借助编写的4道不同类型的分数除法算式，帮助学生回顾分数除法的计算方法和约分技巧的同时，了解学生的计算水平。】

（二）举例联结，感悟算法一致性

师：在计算分数除法时，除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数，这种计算方法在计算整数除法和小数除法中适用吗？请试一试。

生1：我写的例子是2÷2=1，2乘[12]得到的结果是1；0.2÷2=0.1，用0.2乘[12] ，得到的结果也是0.1。

生2：我写的是10÷5。10乘[15] 得到的结果是2，和用除法计算的结果是一样的。计算2.4÷1.2时，先把1.2化成分数[65]，2.4除以[65]相当于乘它的倒数[56]，得到的结果是2。

师：看来，除以一个数等于乘这个数的倒数这种方法，适用于计算分数除法、整数除法和小数除法。

【评析：在复习阶段，教师需要及时帮助学生将分散的知识点联结起来，将知识线索串联起来，构建成完整的知识网络。在这一环节中，探讨是否可以用计算分数除法的方法来计算整数除法、小数除法，不仅有助于学生将分数除法、整数除法、小数除法联系起来，还能引导他们发现这一运算方法的普遍性，并深刻体会除法算法的一致性。】

（三）挖掘本质，理解算理一致性

师（出示图2）：请你仔细观察这组材料，说说你的发现。

生1：除数都是2，被除数不同。

生2：这3个被除数里都有4。

师：这些被除数里的4分别表示什么意思？

生3：第一个表示4个十，第二个表示4个0.1，第三个表示4个[17]。

生4：我发现商里都有2。

师：这些商里的2分别表示什么意思？

生5：分别表示2个十、2个0.1、2个[17]。

师：这三道题是什么在变？

生6：计数单位在变。

师：它们的计数单位分别是什么？

生7：10，0.1，[17]。

师（出示图3）：它们只是计数单位发生了改变，但本质是相同的，都是在算4个几除以2等于2个几。

师：如果遇到计数单位的个数不够整除的时候，便把计数单位通过细分，转化成新的计数单位和个数，再继续除。

【评析：除法算理的本质在于细分，具体而言，是对计数单位个数的细分。为了让学生对除法算理有一个全面的认识，教师通过直观图的演示，让学生直观地理解除法的本质：当计数单位的个数不足以进行分配时，可以将计数单位细分为更小的单位，再进行计算。这一算理适用于整数除法、小数除法和分数除法。】

二、依托模型，架构应用结构

（一）算式编题，唤醒应用价值

师：同学们对除法运算的算理和算法有了整体认识，接下来看看如何用分数除法解决问题。先编一个能用算式“[12÷34]”解决的数学问题。

出示学生作品（如图4）：

师：这5道题都可以用“[12÷34]”来解决吗？

生1：第①题和第②题不可以。

生2：第③题、第④题和第⑤题都可以用“[12÷34]”来解决。

【评析：数学应用意识体现在能够认识数学与现实世界的紧密联系，面对现实生活中的问题时，能够运用数学方法解决。同时，这种意识还表现在能够根据算式模型逆向思考相关的实际问题。为此，教师设计了“根据算式编题”这一任务，旨在引发学生回顾已有的知识，并引导他们在讨论与辨析中深入理解使用分数除法解决问题的基本原理。】

（二）直观理解，构建线段模型

师：第③题、第④题、第⑤题都可以用“[12÷34]”来解决，它们又有什么不同呢？为了便于同学们理解，我画了三幅图（如图5）。请同学们仔细观察，三道题的题意分别对应哪幅图？

生1：第③题对应的是图中的C，第④题对应的是图中的B，第⑤题对应的是图中的A。

生2：第④题是把小红的糖的数量看成单位“1”，所以图中的B中上面的线段表示小红的糖的数量，下面的线段表示小明的糖的数量。第⑤题是沙子被运走的部分与总量相比，所以只需画一条线段。第③题表示12里有几个[34]。

【评析：直观的线段图能够帮助学生更好地理解数量关系，并感受线段图在解题中的重要作用，进而体会数学模型的应用价值。教师提供了三幅图，指导学生将这些图形与问题相对应，实现文字表征与图形表征的相互转换，以此感受线段图的概括性，并深刻理解线段图作为数学模型的独特价值。】

（三）分类梳理，明确问题结构

师：如果将这三幅图进行分类，你会怎么分？

生1：可以分为两类，一类是有两条线段的，另一类是只有一条线段的。

生2：我也是分成两类。把图5中的A、B归为一类，因为它们的总量都是未知的，都在求总量；图5中的C为一类，因为它求的是总量与部分之间的关系。

师：同学们说得很有道理，图5中的C对应我们之前学过的除法问题，只是数量发生了改变。图5中的A、B是有关单位“1”的问题。

【评析：除法问题的基本原型可以追溯到二年级的等分模型和倍比模型。五年级阶段，分数除法内容有了进一步扩充与延伸。教师通过对比和分类的方法，引导学生理解分数除法中的等分模型侧重于求解一个数中包含多少个特定单位的问题，而倍比模型则侧重于求解单位“1”的量。】

（四）练习巩固，提升应用能力

师（出示图6）：请你选几条信息，使得问题能用“[12÷34]”来解决。

师：我发现大部分同学都选了②⑤，这是为什么？

生1：这道题中的单位“1”是苹果的质量，苹果质量的[34]就是梨的质量——12千克。

师：为什么不选②④？

生2：这样的话，苹果的质量是梨的[34]，而梨的质量已知，求苹果的质量应该用乘法计算，也就是[12×34]。

师：如果选择③⑥，该怎么解？

生3：用“梨比苹果少12吨”除以它所对应的分率[34]，可以算出苹果的质量。

【评析：教师设计了一道开放性的选信息问题，旨在帮助学生及时巩固分数除法的应用方法。在反馈环节中，学生从基础题型开始，逐步深入到乘除法的差异对比，再到进行对应量和对应分率的变式练习，这一过程再次加深了学生对分数除法模型的理解。】

三、全课总结，提升思维结构

师：通过今天这堂课的学习，你有什么收获？

生1：分数除法的计算方法也适用于整数除法和小数除法。

师：同为除法，它们的算法和算理是一样的。

生2：分数除法问题可以用三种线段图来表示。

师：如果把这三类问题分成两类，可以怎么分？

生3：图5中的A和B为一类，它们都是求单位“1”的总量，图5中的C为一类，它求的是12里有几个几。

师：这也是除法问题的两大类型。

生4：分数除法和乘法之间也是有联系的。

师：只要大家带着联系的眼光去看待问题，一定会有不一样的收获。

【评析：教师在帮助学生总结学习收获的基础上提炼了数学学习的思想方法，旨在帮助学生构建结构化思维方式。】

【教学反思】

“分数除法”单元主要涉及分数除法的计算方法和计算原理，并运用这些知识解决实际问题。本节课作为单元复习课，根据学生的学习情况，重点讲解分数除法与整数除法、小数除法之间的一致性，着重解决分数除法问题的模型，并培养学生的结构化思维方式。在教学过程中，本节课尝试实现以下目标：

第一， 通过深入追问，揭示算理与算法的结构。数学知识的核心概念具有统摄性和一致性，贯穿整个知识结构。在复习阶段，应设计结构化教学材料，针对核心概念进行深入追问，帮助学生梳理知识脉络，理解知识结构。本节课围绕分数除法的算法与整数除法、小数除法的算法和算理进行追问，以帮助学生体会除法运算的算法和算理的一致性。

第二，利用直观模型，构建应用问题的结构。直观的图形表征不仅能使抽象的数学知识形象化，还能清晰地展示数量关系，帮助学生理解问题模型的内部结构。在复习过程中，教师应分析不同类型的数学问题，利用直观图形进行辨析，帮助学生构建问题结构。例如，在本节课中，从编写问题入手，收集学生的作品进行辨析，区分分数除法问题的类型，并在此基础上利用线段图加深学生对问题模型结构的理解，并通过问题匹配和巩固练习来强化模型结构。

第三，总结思想方法，构建学习的思维结构。课堂小结不仅要总结知识，还应对数学思想方法进行提炼，以帮助学生提升和迁移研究问题的思想和方法，并应用于后续问题的研究中。在本节课的总结环节，围绕数学知识的整体性和一致性进行提炼，总结如何通过联系的方式研究数学，进而教会学生如何进行整体化学习。

纵观全课，本节课力求以数学核心知识为抓手，从整体结构的视角来设计教学。聚焦数学知识的本质，用知识的本质来打通知识内部结构；抓住数学模型的直观表征，利用线段图来打通问题模型结构；发挥数学思想方法的实用价值，通过类比迁移来打通数学思维结构。

（责编 黄 露）