经历探究过程 培养推理意识

［摘 要］“找规律”是小学阶段的一种典型的数学探究活动，对于激发学生的数学推理意识具有重要意义。文章以苏教版教材六年级下册“面积的变化”一课为例，通过关注起点、探究规律、完善规律、回顾反思等策略，引导学生构建数学模型，促使学生从知识掌握向思维深度发展，逐步形成初步的推理意识。

［关键词］图形变化；猜想；活动经验；推理意识

［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2024）26-0051-04

苏教版教材六年级下册的“面积的变化”这一“探索规律”的专题内容，是在学生认识了图形的放大和缩小，理解了比例的意义和基本性质并能运用相关知识解决一些实际问题之后编排的，旨在让学生寻找平面图形按比例放大后面积变化的规律，同时通过体验探究方法，强化问题意识，深化思维层次，迁移活动经验，从而逐步提升推理能力和数学素养。

学生在学习了图形的放大、缩小后，是否理解其面积是如何变化的？面积变化的倍数与对应边长变化的倍数之间究竟存在何种关联？学生对此了解到何种程度？针对这些问题，笔者采用问卷的形式对所在学校六（8）班的51名学生进行了学情调研。

一、学情诊断

（一）前测内容

测试1：量一量、填一填。图1中的小长方形长（ ）厘米，宽（ ）厘米，大长方形长（ ）厘米，宽（ ）厘米，大长方形是把小长方形按（ ∶ ）放大得到的，放大后与放大前图形的面积之比是（ ∶ ）。

测试2：把图2中的平行四边形按3∶1放大，画出放大后的图形。如果每一小格的边长都是1厘米，那么放大后与放大前图形的面积比是（ ∶ ）。用你喜欢的方式证明你的结论。

测试3：上面两题有什么共同之处？你还能想到什么？

（二）前测分析

测试1要求学生通过测量来感知图形放大的意义，理解放大前后长方形面积比与对应边长比的不同。测试2则要求学生根据比例绘制放大后的图形，并用自己的方法证明结论。这不仅锻炼了学生的推理能力，也教会了他们在面对新问题时应采用的探究方法。测试3进一步要求学生在前两题的基础上进行自主探究，发现图形面积放大与缩小的规律，甚至从二维图形的特征联想到三维图形体积比的变化，这对学生的理解能力提出了更高的要求。

通过表1可知，学生对图形放大和缩小的概念有较为清晰的认识，但在图形变化规律及其背后反映的本质内容上的认识不足。教学不应停留在学生对概念文字层面的理解，而要引导学生探索图形放大或缩小后求面积的简便方法。只有注重思维能力的培养，才能为学生学习比例尺打下坚实的基础。

二、课堂实践

如何从问题出发，激发学生对数学的好奇心与求知欲？如何引领学生自主探究平面图形按比例放大前后的面积变化规律？如何通过观察操作、合作探究、分析比较、验证推理等手段，提升学生的数学素养？下面，笔者将结合四个具体的教学片段进行详细分析。

【片段一】关注起点，凸显问题意识

师：通过前测，你能提出什么数学问题？

生1：图形的面积变了，形状会变吗？

生2：面积是怎样变化的？面积变化的规律是什么？

生3：面积的变化和什么有关？与前面学习的图形的放大和缩小有什么联系？

师：这些都是值得探究的Vrhbt4iqqXFpl2z/Ohn9pwEueYG++iXtDI5rK6LH8Rk=好问题。面对新问题，我们通常可以围绕“是什么”“为什么”“怎么样”三个关键词来探究。

师：如果将一个平面图形按比例放大，面积将会有怎样的变化，你打算怎样探究？

生4：可以画一个长方形，再将它放大，分别算出各自的面积，然后得到它们之间的关系。

【思考】“面积的变化”这一主题聚焦于学生对基础图形的理解，通过图形的放大或缩小，引导学生准确把握影响图形变化的关键因素，从而培养学生的空间观念。探索规律的过程，必须严格遵循“提出问题—验证猜想—得出结论”的科学步骤。因此，教师以“通过前测，你能提出什么数学问题？”为切入点，这符合知识本身的逻辑顺序，聚焦本课中有关面积怎样变化的核心问题，顺应学生的学习心理，有助于培养学生发现问题、提出问题的意识，激发他们的探究欲望，并促使学生形成积极主动的探究精神。

【片段二】探究规律，彰显思维深度

师：将长方形按n∶1放大，放大后与放大前的面积之比是n2∶1，是不是就可以确认已经解决了面积变化的问题？

生1：只有一个平面图形不足以说明问题，还得研究其他平面图形。

师（出示图3）：图中有3组图形，上面是原来的图形，下面是对应的放大后的图形，它们是按照几比几放大的？图形放大后，与放大前相比的变化规律是什么？（学生回答略）

师：猜想是否正确需要验证。请同学们拿出研究单（二）（如图4），同桌两人合作，共同验证刚刚得到的结论在其他平面图形中是否同样存在。

[研究单（二）

一、研究目的

验证：把其他平面图形按n∶1放大，放大后与放大前图形的面积比是n2∶1。

二、研究材料

把正方形、三角形和圆按比例放大，放大前后的图形如下：

三、数据收集

生2：我们组通过观察、计算后发现“如果每个图形对应边的长度比是n∶1， 那么放大后与放大前的面积之比是n²∶1”，所以我们的猜想是成立的。

师：是不是所有图形都符合这样的规律？如果是平行四边形或者梯形呢？请自主确定比例，先猜想再验证，最后得出结论。（学生回答略）

师：到现在为止，我们是否可以说将任意一个平面图形按n∶1放大，放大后与放大前的面积之比就是n²∶1？

生3：如果是组合图形，会不会也有这样的规律？

师：不规则图形很多都是由简单、规则的基本图形通过叠加变成的，课后有兴趣的同学可以试着画图进行验证。

【思考】在这一环节，学生探索图形面积的变化，运用计算、猜想、验证、交流，展现了探究方法与思维全面性的统一。当学生已经理解了长方形按照一定比例放大后面积的变化规律后，教师提出“是不是就可以确认已经解决了面积变化的问题”，帮助学生从长方形这一简单图形入手，通过合作研究其他平面图形，进而得出面积放大的规律。从特例到一般再到开放性探究，三次猜想逐层推进，学生完全参与整个探究过程，提升了合作意识，有效地促进了思维的全面性和深度发展。

【片段三】完善规律，发展推理意识

师：把一个平面图形按n∶1的比放大，放大后与放大前的面积之比是n²∶1。对此，大家还有哪些疑问？

生1：为什么会有这样的变化？

生2：如果将一个平面图形按比例缩小，面积又会有怎样的变化？

师：你能用推理的方式证明这个规律是正确的吗？

生3：长方形长a、宽b，按n∶1放大后，新的长是an，新的宽是bn，原来的面积是ab，新的面积是an·bn，即（ab·n²）∶（ab）= n²∶1。

师：如果将一个图形按1∶n缩小，猜想一下，缩小后和缩小前的面积之比是多少？

生4：如果一个图形按照1∶n缩小，每条边的长度是原来的n分之一，那么缩小后和缩小前的面积比就是1∶n²。

【思考】学生的思维具有不断生长的特性，因此教师可以依据思维的生长点进行纵向拓展。当学生掌握了一个平面图形按照n∶1放大后面积变化的规律，教师提出“大家还有哪些疑问”，这向学生传递了一个信息：除了画图、测量、计算、比较等手段，还可以通过推理来验证图形放大的规律。学生在观察和比较中自主进行逆向探究，即探讨平面图形按一定比例缩小后的面积变化规律时，他们已经在脑海中构建了面积比与长度比相关联的新数学模型，从而完善了对平面图形面积变化规律的理解。

【片段四】回顾反思，迁移活动经验

师：通过学习，你有什么收获或者想法？

生1：从最简单的长方形开始研究，然后通过猜想、验证找到规律。

生2：对于三角形、正方形、圆、平行四边形、梯形等其他平面图形，通过猜想、验证也能找到总结性的规律。

生3：不管是按比例放大还是按比例缩小，如果影响变化的两个因素是同步的，即使大小变了，图形的形状也没有改变。

生4：因为平面图形长度之比是n∶1时，面积之比为n2∶1，我联想到立体图形每条棱长按n∶1的比放大，放大后与放大前的体积之比是n3 ∶1。

【思考】回顾与反思不仅是学生在参与完整探究活动过程中不可或缺的一环，而且是教师引导学生理解知识、掌握探究方Hlek3cKEN7EjXWXEkCYpcg==法、体验感悟规律、积累数学活动经验的有效途径。学生在面对面积变化规律的初步感知、猜想验证，直至最终获得结论的过程中，已经将学习知识的方法贯穿于整个探究规律的过程。他们不仅从二维空间的面积变化角度观察事物，而且将视角扩展到三维空间的体积变化。

三、课后反馈

为及时掌握学生的课堂学习效果，同时也为再次的教学提供可以实施教学干预的可能，笔者在课后立即进行了教学后测。

（一）后测内容（同前测内容）

（略）

（二）后测分析

通过表2可知，在测试1中，学生需要根据长方形长度比的变化来求得面积比，正确人数为46人，占比达到90.2%。这表明绝大多数学生已经能够通过测量的方式理解图形放大的概念，并掌握了平面图形按n∶1放大后的面积变化规律。在测试2中，学生需要根据给出的平行四边形画出放大后的图形，有41人画图正确，占比达到80.4%。有84.3%的学生能够通过类比推理找到平面图形按一定比例放大后的规律，并能够根据个人喜好用计算或演绎推理验证自己的猜想，这一数据在前测中仅为56.9%，表明学生的推理能力有了显著提升。在测试3中，有39人能够用自己的语言或演绎推理表达平面图形放大后面积的变化规律，正确率从前测的51.0%上升到76.5%。另外，有16人联想到图形缩小的变化规律，2人联想到体积比，正确率从前测的2.0%上升到35.3%。这说明学生在课堂上真正参与了探究过程，能够从前两题中找到共同点，不断增强问题意识。他们不仅从平面图形面积的放大联想到面积的缩小，甚至将思维扩展到图形体积的变化，逐步将探索过程中积累的经验通过内化表达出来，思维的广度和深度得到了显著提升。

有了前测对学生知识基础和认知结构的准确把握，教师在教学时应重点引导学生经历探索规律的过程。在引导学生发现和提出新的数学问题时，不仅要彰显思维的深度，还要帮助学生提升推理能力，并积累丰富的数学活动经验。教师基于思维的教，学生基于思维的学，最终指向学生数学核心素养的提升。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 史宁中，曹一鸣.义务教育数学课程标准（2022年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2022.

[2] 杨宏权.让初步的科学方法论教育在此萌发：由“面积的变化”教学实践说开去[J].小学数学教师，2017（9）：67-70.

[3] 吉阳艳.“猜想—验证”，让学生更具生长性：以苏教版数学六年级下册《面积的变化》一课为例[J].小学教学研究，2018（4）：79-81.

【本文系2021年江苏省中小学教学研究第十四期课题“基于关键能力发展的小学数学‘综合与实践’领域教学研究”（项目编号：2021JY14-L168）的阶段研究成果。】

（责编 李琪琦）