融合东西方数学史料，促进多元化深度理解

［摘 要］在将我国传统数学文化融入数学课堂教学的过程中，应当重视其与世界各国数学文化的协调与互融。融入东西方数学史料的课堂教学，应关注数学史料与教材内容之间的联系，利用数学史料来确定教学目标和设计教学活动，从而构建有效的教学路径。文章以“平行四边形的面积”一课为例，在分析教学内容的基础上，将东西方数学史料与单元整体教学结合，形成以“出入相补”原理和“等底等高”命题为核心的教学主线，并依据这一主线设计了相应的教学活动。这不仅促进了学生对教学内容的多元化深度理解，也体现了数学文化在教学中的价值。

［关键词］HPM；东西方数学史料；平行四边形的面积

［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2024）26-0011-04

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在修订原则中指出，应将中华优秀传统文化有机融入课程内容，并在课程理念中明确提出要继承和弘扬中华优秀传统文化。在小学数学课堂教学中，除了融入并弘扬中华优秀传统数学文化（以下简称“数学文化”），还要引入外国数学文化。因为通过古今对照、中外对比，学生才能更加深入地理解数学的本质，明确学习路径，并对学习内容有多元理解。在HPM（数学史与数学教育）视角下，融入东西方数学史料的教学设计与实施，需要考虑几个问题：如何妥善处理数学史料与教材内容的关系，使其更加符合教学需求？如何运用数学史料设计教学目标和活动，以增强其整体性？如何结合数学史料组织教学活动，以促进学生对教学内容的多元化深度理解？为此，本文以“平行四边形的面积”一课为例，进行了深入的教学思考与实践探讨。

一、基于东西方数学史料的教学分析与设计

数学史料具有较强的系统性和整体性，能清晰地展现数学内容的发生与发展脉络。为了确保基于数学史料的课堂教学设计与实施能够达到预期效果，教师首先应当立足于教学实际需求，对教材内容与数学史料进行细致的比较与关联。

（一）数学史视角下的教学内容分析

在现行的多个版本教材（例如人教版、苏教版、北师大版等）中，“多边形的面积”这一单元的内容通常是按照平行四边形、三角形、梯形的顺序进行编排的。在这样的编排下，教师一般以“平行四边形的面积”作为单元的起始课，先将平行四边形置于网格图中，引导学生利用网格图数出单位面积的数量，从而计算平行四边形的面积，再去除网格，用割补法将平行四边形转化为长方形，利用转化前后图形的对应关系来推导平行四边形的面积公式；后续的三角形和梯形则采用“倍拼法”将其转化为平行四边形进行研究。这样的编排方式简单直观，使教学操作方便，但容易导致学生仅关注局部，即只能看到两种图形之间的关系，如平行四边形与长方形、平行四边形与三角形、平行四边形与梯形的关系，不能整体、多元地认识多边形的面积。同时，教材中图形之间的“一对一”和“局部性”转化与推导，缺乏一条贯穿始终的主线，这使教师在提炼数学方法和渗透数学思想时存在较大的局限性。

《九章算术》《孙子算经》等古代数学名著对三角形和梯形的面积有所论述，却并未记录平行四边形面积的计算方法。如，在传统数学经典《九章算术》的“方田章”中，涉及平面图形面积的内容包括方田（矩形）、圭田（等腰三角形）、邪田（直角梯形）、箕田（等腰梯形）、圆田、弧田和环田等。在传统数学文化中，三角形和梯形是通过“出入相补”的原理转化为长方形来进行面积计算的，这引发了笔者对平行四边形面积及其在平面图形面积序列中位置的思考：是否能够通过“同化”过程，利用“出入相补”原理，将平行四边形的面积纳入现有的研究体系中（如图1-1）？如要充分发挥“出入相补”原理的教学价值，应当将“三角形的面积”作为“多边形的面积”单元的第一课时，而将“平行四边形的面积”作为紧随其后的内容。这样的安排旨在将三角形“出入相补”的思路和方法迁移至平行四边形的学习中。同时，在教学“三角形的面积”之后接着教学“平行四边形的面积”，有助于充分利用欧几里得《几何原本》中“等底等高的三角形面积相等”这一命题的价值。依据这一命题，两个等高的三角形可以合并成一个大三角形，因此，平行四边形也可以先分割成两个全等三角形，再转化为一个大三角形（如图1-2）。同样的方法也可以应用到后续梯形面积的教学中。

通过基于数学史料的教学内容分析，能够构建出一条明确的学习路径，确保了教学的整体性与一致性，有利于学生深入理解并牢固掌握单元中的核心知识技能及思想方法。

（二）基于数学史的教学目标与活动设计

将“平行四边形的面积”教学置于东西方数学文化的背景之下，并纳入单元整体教学的框架中，有助于构建清晰的学习线索和脉络，并能够借助有效的知识迁移，帮助学生突破学习过程中的重点和难点，进而构建整体、一致的认知结构。在“三角形的面积”一课中，学生已经学会运用“出入相补”原理将三角形转化为长方形，并推导出三角形的面积公式，也通过计算和分析，初步掌握“等底等高”的命题。以此为基础，“平行四边形的面积”一课的教学主要目标可设为：（1） 在学习三角形面积的基础上，通过观察、操作、比较和迁移等学习活动，掌握平行四边形的面积公式；（2）经历使用不同方法将平行四边形转化为其他图形，并推导面积公式的过程，感受转化思想，体会推导方法的多样化；（3）积累数学活动经验，发展空间观念，感受东西方数学文化的价值和魅力。与目标相对应，“平行四边形的面积”一课中主要教学活动可设为：（1）引导学生回忆三角形的转化方法和其中蕴含的“出入相补”原理，以及三角形“等底等高面积相等”的特性，为研究平行四边形的面积找到方向和思路；（2）小组合作探究，借助“出入相补”原理和“等底等高”命题转化平行四边形，根据转化前后的图形各部分的对应关系推导平行四边形的面积公式；（3）进一步根据“等底等高”命题研究三角形的面积和平行四边形的面积之间的关系；（4）对已知平面图形之间的关系进行梳理，形成结构化认知。具体活动安排见表1。

二、融入东西方数学史料的教学活动实施

在融入数学史和单元整体教学的背景下，教师应充分认识各个课时在单元结构中的定位。

（一）回顾三角形面积的推导过程

基于HPM视角开展教学活动，目的就是借助数学史、数学文化的发展脉络，促进单元内各课时教学内容和教学活动之间的联动。首先在课前引导学生回忆曾用哪些方法研究三角形的面积，在学生回答的基础上，教师通过微课介绍古人通过“以盈补虚”研究三角形面积的过程和结论，将数学家的研究与学生的发现联系在一起。在交流讨论中，学生感受到了传统数学文化的魅力，为本节课研究平行四边形的面积做好了思路和方法的铺垫。

（二）探索平行四边形的多种转化方式

数学史与数学文化的重要价值在于其广泛的适用性。在教学中，教师应当依据这一特性，鼓励学生运用已有经验去探索新的知识。

在回顾了三角形的转化方式之后，教师出示学习要求，并指导学生通过小组合作来探究平行四边形的转化过程及面积公式的推导方法。合作探究结束后，教师首先邀请将平行四边形转化为长方形的小组进行汇报（如图2）。由于“出入相补”原理直观且形象，学生可以轻松地将其应用于实际，并对其有深刻的印象，深刻体会到了传统数学文化的巧妙与实用性。

在探讨了将平行四边形转化为长方形的方法之后，教师进一步展示了其他的转化策略。其中，小组4提出了一种新颖的方法：将平行四边形沿着对角线剪开，得到两个完全相同的三角形（如图3-1）。对于小组5的做法（如图3-2），学生的看法各异，主要分为三种：（1）完全不赞同，新增的三角形是钝角三角形，而沿对角线剪开得到的是锐角三角形，两者完全不同；（2）部分赞同，虽然新增三角形的高与右侧三角形相同，但底边并不一致；（3）有条件地赞同，如果新增三角形的底边与右侧三角形相等，那么这两个三角形就可以视为等底等高三角形。在交流互动中，学生逐渐发现，通过等底等高的转化方法，将右侧的锐角三角形转化为钝角三角形，原平行四边形便转化为一个大三角形，而这个大三角形的底是平行四边形底边的2倍，因此，根据三角形的面积公式，图中三角形的面积可以表示为“平行四边形底边的2倍×平行四边形的高÷2”，化简后得“平行四边形的底×高”，这也就是平行四边形的面积。

利用“等底等高”将平行四边形转化为三角形是本节课的难点，为了提高学生的参与度，教师展示了学生的“半成品”（如图3-2），这引发了学生的互动交流和补充，加深了他们对“等底等高”命题、三角形与平行四边形之间关系的理解。虽然这种转化方式看似“舍近求远”，但它有助于学生体验不同图形的转化路径，培养他们的空间想象力和推理意识，具有特定的教学价值。

传统数学文化中的“出入相补”原理和欧几里得《几何原本》中“等底等高”命题在平行四边形转化为长方形或三角形的过程中发挥了重要作用。本节课与上一节课“三角形的面积”相结合，初步构建了两条齐头并进的学习路径。这两条路径将在后续学习梯形面积、组合图形面积时继续发挥重要作用。

（三）丰富“等底等高”命题的内涵

基于HPM视角设计课堂教学活动时，应当深入挖掘数学史料的多维度价值，并利用这些价值来串联起不同学习对象之间的内在联系。例如，“等底等高”命题不仅适用于三角形，也适用于平行四边形。因此，可以将三角形中发现的“等底等高”规律迁移到平行四边形中，并进一步运用这一规律来研究三角形与平行四边形之间的面积关系，这对于学生全面理解这两种图形的联系具有积极作用。

在练习巩固环节，教师出示一组等底等高的三角形和一组等底等高的平行四边形（如图4），引导学生通过具体的计算或类比迁移，探索并发现等底等高的平行四边形面积也是相等的。在此基础上，教师以开放题的形式，激发学生思考：在什么条件下，三角形的面积和平行四边形的面积相等？经过独立思考和交流讨论，学生发现：当两者的高相等，且三角形的底是平行四边形的底的2倍时，它们的面积相等；当两者的底相等，且三角形的高是平行四边形的高的2倍时，它们的面积相等。当然，这一规律还有更多变化形式，需要学生去探索和发现。在讨论“等底等高”命题时，若能在平行线之间让图形“动”起来，使变化过程可视化，将有助于调动学生的多种感官，让他们在观察和想象中深刻感受面积相等的关键要素和本质规律。

（四）架构已知平面图形面积的关系网

将教学内容置于数学史和单元教学的大背景下，应当明确当前内容在知识体系中所处的位置，并在此基础上不断构建和优化知识结构。

在整理提升环节，教师可引导学生观察并比较各种转化方法，以发现它们之间的共性与差异。学生注意到，尽管课堂上展现的所有转化方式的最终结果都是“平行四边形的面积等于底乘高”，但这些转化过程本身各有特点，且其中的“乘2”和“除以2”所代表的含义也不相同。由此，以长方形为基础，以三角形为核心，贯穿东西方数学史料的长方形、三角形、平行四边形面积知识体系得以形成。这一体系不仅为学生后续学习其他多边形的面积提供了理论支持和实践方法，而且为学生理解其他平面图形的面积公式推导的整体性和一致性奠定了坚实的基础。

三、指向东西方数学文化融合的教学过程反思

将“平行四边形的面积”教学置于东西方数学文化和单元整体教学的大背景下，将数学史料与教学内容有机结合，构建了系统化、一致性的知识结构。在HPM视角下，东西方数学文化共同作用下的数学课堂具有独特优势，这些优势主要体现在以下三个方面。

（一）学习活动整体多元

站在数学史、数学文化的高度审视当前教学内容， 有助于摒弃片面的教学方法，将教学内容置于广阔的历史背景和立体的知识结构中进行深入分析，使得教学活动的设计与实施更加科学和合理，同时强化了教学的整体性和一致性。在“平行四边形的面积”的教学中，相比于传统教学的线性推进，HPM视角下的课堂教学不仅关注该内容在“多边形的面积”单元中的位置，而且强调不同图形之间的联动，这有助于开辟多种学习路径，实现多元学习的可能性。

（二）思想方法一脉相承

数学史和数学文化的重要性在于它们经历了筛选，去除了非必要的细节，保留了最核心的数学思想方法，这是数学教学活动的宝贵资源。在HPM视角下，包括“平行四边形的面积”在内的“多边形的面积”教学，在东西方数学史料的影响下，生动地展示了转化思想的内涵。通过教学活动的逐层推进，这一思想方法贯穿于每个内容的教学中，学生深刻理解和掌握后能够将其应用于更多实际问题。

（三）文化价值充分体现

数学是一门经历演进的学科，人类积极参与了数学的演进过程；历史上的数学是通过不同文化的演进而发展起来的，不同文化都对数学的形成产生了影响；内部因素和外部力量共同推动了数学的进步。在“出入相补”原理和“等底等高”命题的共同作用下，“平行四边形的面积”和“多边形的面积”的教学正是融合了东西方数学史料，使学生不仅学到了知识技能，更重要的是，他们逐渐树立了正确的数学学习观念，并深刻体会到了数学文化的魅力和价值。

（责编 金 铃）