融合东西方数学文化，促进转化思想的深度理解

［摘 要］转化思想是数学学习中一种重要的思想方法。深入分析教材中的相关内容，结合数学史的相关资料提出两条基于数学文化的学习路径，以及这两条路径融合的可能方式。基于这些研究，进一步设计单元整体教学框架与活动，并通过教学实践验证了该方案的可行性。该方案不仅能提高学生对转化思想的认识，而且能加深他们对转化方法和转化结果的理解。

［关键词］数学文化；多边形的面积；转化思想

［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2024）26-0001-06

数学思想方法一直是数学教育界关注的焦点。数学的作用，无论是技术层面还是思维层面，并不仅仅局限于数学知识和技能本身，更在于其内含的思想方法。这些思想方法源自具体的数学知识和技能，同时又对数学知识和技能的学习产生积极的反馈作用。《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课程标准》）在教材编写建议中提出，要注重教材创新，强化教材的使用功能，编入与教学内容相关的重要数学概念、思想方法等拓展性内容。作为一门具有悠久历史的学科，数学在其发展历程中形成特定的数学史和数学文化，这对数学思想方法的教学具有至关重要的意义。数学史与数学文化不仅仅是教材拓展内容的宝贵源泉，也是教师创造性运用教材的重要参考。

在数学的发展史上，我国传统的数学文化与以古希腊为代表的西方数学文化各自形成了独特的发展路径。从当前数学教育的视角来看，这两种文化在一定程度上是可以相互借鉴的。以多边形面积的计算中蕴含的转化思想为例。我国传统数学强调直观性和实用性，因此发展出了“出入相补”原理；西方数学则注重逻辑推理，从而提出了“等底等高”的命题。探索这两种数学文化背景下关于求多边形的面积的转化方法的融合途径，以及这种融合途径对当前多边形的面积计算和转化思想学习的促进作用，将有助于从更高层次审视教学内容，从而更加有效地进行教学设计和实践。

一、基于数学文化视角的转化思想分析

（一）各个版本教材中转化路径的比较

《课程标准》指出，数学教材为学生的数学学习活动提供了学习主题、知识结构和基本线索，是实现数学课程目标、实施数学教学的重要资源。比较分析国内外不同版本教材，有助于了解这些教材在编排同一内容时各自的内在逻辑。对人教版、苏教版、北师大版、西南师大版、香港现代版、台湾地区部编版、日本东书版、美国Sadlier-Oxford版、新加坡Marshall Cavendish版等多个版本教材中“多边形的面积”单元的教学内容及其中包含的转化思想和策略进行比较，发现一些值得探讨的问题。

从教学内容的顺序来看，以上教材主要采用“平行四边形→三角形→梯形”和“三角形→平行四边形→梯形”两种编排顺序。从图形转化的方式来看，按照“平行四边形→三角形→梯形”顺序编排的，一般都是通过“割补法”将平行四边形转化成长方形，再用“倍拼法”将三角形、梯形转化成平行四边形，部分教材（如西南师大版）则是将三角形或梯形通过“割补”转化成平行四边形。按照“三角形→平行四边形→梯形”顺序编排的，一般都是将三角形转化为长方形，但转化的方法各有不同；对平行四边形的转化，有分成两个全等三角形的，也有“割补”成长方形的；对梯形的转化，一般都是“倍拼”成平行四边形。其中，新加坡MC版教材较为特殊，是通过“出入相补”原理将三角形转化成长方形，没有将平行四边形与梯形作为独立的研究对象，而是将其作为组合图形安排在练习中，主要采用分割求和的方法计算面积。

这些多边形的面积计算之间并没有绝对严格的学习顺序，通过比较发现，各版本教材不论采用何种编排顺序，主要采用的转化方式都是“割补”“倍拼”“分割求和”等三种。这样编排是出于对图形本身的特点及图形之间关系的考虑，也体现了转化方法的多样性，但是各版本教材的内容编排都缺乏一条明确的、一以贯之的主线，容易使学生满足于一题一课的学习，不利于学生理解转化思想的整体性和一致性，也不利于学生思维水平的逐步提升。

（二）基于数学文化的学习路径分析

关于世界数学文化的发展，吴文俊院士曾指出：“在历史的长河中，数学机械化算法体系与数学公理化演绎体系曾多次反复，互为消长，交替成为数学发展中的主流。”《课程标准》指出，应注重教材创新，拓宽视野。《九章算术》和《几何原本》是机械化算法体系与公理化演绎体系的杰出代表。教师教学时可以介绍它们在人类文明发展中的作用。教材中关于求多边形的面积的转化方法，包含了上述两大著作中的重要原理和命题，如各种“割补”方法大多源自《九章算术》及其刘徽注中的“出入相补”原理，“倍拼法”则来自《几何原本》中的命题Ⅰ. 34。如果能沿着东西方数学文化这两条不同路径进行深入挖掘和分析，并设计相应的教学活动，则可以使教学内容的主线更加明确，教学活动的目标更加清晰，从而帮助学生更加结构化地理解学习内容。

《九章算术》对多边形的面积计算有一套成熟的方法，开篇第一章“方田”中就记录了圭田（等腰三角形）、邪田（直角梯形）、箕田（等腰梯形）等多边形的面积计算问题，总结出了这些图形之间严格对应的转化和计算方法。魏晋时期数学家刘徽为《九章算术》做注时，在对这些方法进行总结的基础上，提出了“令出入相补，各从其类”的“出入相补”原理，用图形的分、合、移、补证明了不少数学恒等式，开创了中国古代数学中数形结合的独特研究方法。因此，虽然《九章算术》或其他中国古典数学著作中并没有记录平行四边形的相关内容，但按照三角形和梯形的转化方法以及其中包含的“出入相补”原理，很容易通过迁移得到平行四边形的转化方法和面积公式的推导过程（如图1）。这一点虽然在一些教材中有所提及，但很少有教师将其作为正式的教学内容。

《几何原本》提出并证明了关于平行四边形与三角形的面积关系、等底等高的三角形的面积关系、等底等高的平行四边形的面积关系等方面的多个命题。上述关于平行四边形与三角形面积关系的命题Ⅰ. 34（平行四边形中，对边相等，对角相等，对角线平分平行四边形）通常以“倍拼法”的形式呈现在教材中，但是关于等底等高的三角形的命题Ⅰ. 37（同底等高的三角形面积相等）和Ⅰ. 38（等底等高的三角形面积相等），却没有得以在教材中完全发挥它们的价值。“等底等高”相关命题至少具有三方面的教学价值：一是提供了图形转化和公式推导的不同思路；二是解决了图形面积计算的实际问题；三是形成了对多边形面积公式的一致性认知和理解（如图2）。教材编排和实际教学往往比较注重通过练习课或复习课体现后两种价值，很少在新知学习的过程中体现第一种价值。

教材体现了东西方数学文化中的一些重要元素，但是还有很大的挖掘和开发空间。为此，教师应该在有理有据的前提下充分发挥数学文化的价值，创造性地使用教材。

二、凸显转化思想的教学框架与活动设计

从数学史的角度来看，特定的社会文化背景会形成不同的数学文化，再经过较长时间的发展和演变，这些数学文化就会形成清晰的逻辑主线。因此，基于数学史、数学文化的视角分析教学内容，有助于教师把握教学内容的发展脉络，梳理出更加合理的教学主线。

（一）融合东西方数学文化的教学框架

不同的数学文化为当前的数学教学提供了不同的路径。多元文化进课堂，能使学生在古今对照、中外对比中更深入地理解数学的本质，更多地了解世界文化，更好地感悟数学文化的独特魅力。通过对《九章算术》及其刘徽注的研究，郭书春认为，刘徽的面积理论是一个以长方形的面积为出发点，以三角形的面积为核心，运用“出入相补”原理和无穷小分割方法的有机整体。“出入相补”原理与“等底等高”命题的结合，可以更好地凸显三角形的面积在多边形的面积学习中的核心地位，使多边形的面积乃至后续圆的面积具有更强的整体性。

因此，可将“多边形的面积”单元中教学内容的顺序确定为“三角形→平行四边形→梯形”，并且每一种已知图形都将成为后续图形的转化对象，从而实现转化路径的多元化（如图3）。因此，将本单元教学内容做如下调整：（1）将三角形的面积调整为第一课时，以便将平行四边形和梯形转化为三角形，然后进行面积公式的推导；（2）三角形、平行四边形、梯形面积公式的推导都按照两条路径推进，在适当的条件下实现合流；（3）将组合图形（多边形）的面积与单元复习进行整合，在多边形面积的研究过程中进一步梳理和运用图形的转化方法及面积公式，体现“出入相补”原理和“等底等高”命题更广泛的运用价值；（4）考虑到不规则图形的面积与单元核心内容之间的关系不大，故暂时未将其纳入单元整体教学中。

（二）整合不同路径的单元整体教学活动

从数学文化中挖掘教学主线，还需要以相应的教学活动作为载体。按照数学史、数学文化的视角，“多边形的面积”的教学有两条路径。如何使两条路径既能同时发展，又能在适当的时候互相补充，充分发挥作用，这是需要精心设计的。需要注意的是，不论采用何种路径，教学设计始终应凸显“转化”这一主题，并以不同文化视角下的路径作为学生多角度理解转化思想和方法的载体。

为此，传统数学文化路径可以《九章算术》方田章刘徽注（以盈补虚为直田也）为基础，适当借助网格图等辅助工具，引导学生自主尝试将三角形、平行四边形、梯形等转化成长方形并进行面积公式推导，再以圭田术、邪田术、箕田术等具体术法印证学生的思路。西方数学文化路径则可以《几何原本》命题Ⅰ. 37、Ⅰ. 38（同底等高、等底等高的三角形面积相等）为主要线索，在三角形面积的教学过程中，引导学生结合具体问题理解“等底等高”命题，在平行四边形、梯形面积的探究过程中运用命题探索新的转化路径（如图4）。除了教授多边形面积公式的推导，还应在问题解决过程中进一步加深学生对“等底等高”的理解，使学生认识到“等底”也可以理解为“上下底之和相等”，并沟通各个多边形面积公式之间的关系。各课的具体内容见表1。

三、立足东西方数学文化融合的教学实施

不论是出于数学文化浸润这一长期目标，还是出于教学效果提升这一短期目标，教学过程都应重视我国传统数学文化与世界数学文化的价值，创造性地运用数学文化促进学生对数学内容的全方位、多角度、深层次理解。融合东西方数学文化的多边形面积及转化思想的学习，可以为实现不同层次的教育教学目标提供载体。

（一）两条转化路径的推进与融合

在现有教材的基础上，深挖数学史、数学文化中关于多边形面积及转化思想的相关内容，并以恰当的素材、适切的活动为载体开展教学，有以下两个目的：一是帮助学生形成清晰的转化路径，更好地理解转化思想，有效地掌握转化方法；二是在对两条转化路径形成深刻认识的基础上，发现它们之间的互通点和融会点，实现文化互鉴，发展学生的创造性思维。

在“三角形的面积”的教学活动中，通过《九章算术》中的刘徽注“以盈补虚为直田也”引发学生思考：“直田”指长方形田，“以盈补虚”指移多补少，即通过移多补少的方法将三角形转化成长方形。在这一总体思路的引导下，学生尝试用不同的方法将等腰三角形转化为长方形，通过比较与推理得出等腰三角形的面积计算公式，并将转化方法推广到一般三角形的面积计算中。在操作、比较、推理的过程中，学生能够体会到“出入相补”原理的巧妙与魅力。在此基础上，通过具体计算两个等底等高的三角形的面积，学生感悟到两者的相等关系，并能灵活运用等积变形解决问题，积累了将平行四边形、梯形转化为三角形的经验（如图5）。

在后续探究平行四边形的面积、梯形的面积的过程中，学生从三角形的面积的探究路径、方法、过程和思想中得到启发，分别沿着“出入相补”和“等底等高”两条路径进行探索，成功推导出了它们的面积公式，实现了转化方法的有效迁移（如图6）。除了沿着预设的两条主线进行转化和推导，学生还能在此基础上进行创新，如运用“出入相补”原理将梯形转化为平行四边形，又如结合“出入相补”的方法与等积变形的结果（大三角形）得出平行四边形或梯形的新转化方法（如图7）。

（二）转化思想和方法的自觉运用

在两条文化路径的指引下，学生经历了从模仿到创造的过程。在这一过程中，学生是否已经将转化思想、方法和路径内化并能自觉运用？解决稍复杂的问题的过程就能够反映学生的学习成果。因此，在探究“多边形的面积”的过程中，可以筝形作为研究素材，考查学生综合运用转化方法的能力。

尽管教师给学生提供了最基本的“分割求和”法，但极少有学生采用这一方法，说明学生对转化思想有了自己的理解，追求更高阶的方法，这充分体现了数学学习对学生思维方式和思维水平的影响。在解决筝形面积问题的过程中，学生将筝形看作两个三角形的组合，主要用到的方法有“一般割补法”“倍拼法”“出入相补”“等积变形”等，将单个三角形的转化方法同时迁移运用到了两个三角形中（如图8）。从这些方法中可以看出，学生已经具备丰富的空间想象力、灵活的思维，以及较强的推理意识。

（三）图形面积与转化思想的深度理解

设计并实施东西方数学文化共同作用下的“多边形的面积”单元整体教学，既致力于实现当下的目的，还有着眼于未来的考量。前者指向转化思想的深度挖掘与多边形面积的体系构建，后者指向转化思想的多元理解及后续圆的面积的研究构想。为此，教师在“多边形的面积”一课中引入了正六边形的研究，以此作为方与圆之间的过渡衔接。

在学生尝试用多种方法转化正六边形并近似地计算其面积之后，教师可组织学生重点探讨将正六边形分割成六个全等的正三角形并进一步转化的问题。对此，学生提出了“分组对插”和“等积变形”两种转化思路（如图9），这为后期在圆的面积公式推导过程中运用“印度西瓜法”和“开普勒法”提供了直接的经验。在此基础上，教师出示将各类正多边形由中心点出发分割成若干个三角形的示意图（如图10），凸显三角形在研究平面图形面积过程中的重要价值，帮助学生对方（多边形）与圆之间的关系形成整体认知，从而在极限思想和转化思想的共同作用下体会方与圆之间的转化。

可见，在以转化思想为核心的单元整体教学中，恰当运用数学史料，不仅能帮助学生理解和掌握知识和技能，体会数学思想方法，还有助于培养学生的空间观念、推理意识、应用意识和创新意识，从而促进学生核心素养的发展。同时，对包括转化思想在内的数学思想方法及其他数学教学内容而言，教师只有深度挖掘、深入分析，才能帮助学生达到深刻理解，做到融会贯通、运用自如。基于数学思想方法的单元整体教学，不能凭空臆想、闭门造车，应从数学史、数学文化的宝库中搜集资料和线索，根据学生的实际水平和发展需求，立足教材并超越教材进行活动设计与实施，才能使学生获得更广阔的发展空间。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 王永春.小学数学与数学思想方法[M].上海：华东师范大学出版社，2014.

[2] 吴增生.数学思想方法及其教学策略初探[J].数学教育学报，2014，23（3）：11-15.

[3] 欧几里得.几何原本[M].燕晓东，译.南京：江苏人民出版社，2011.

[4] 岳增成，陈梓欣，林永伟.中华优秀传统数学文化进课堂：价值、标准与路径：以“出入相补原理”为例[J].小学教学（数学版），2022（4）：4-7.

[5] 郭书春.古代世界数学泰斗刘徽[M].济南：山东科学技术出版社，2013.

[6] 陈敏，许含英.三角形和梯形面积教学研究[M].北京：教育科学出版社，2014.

【本文系2020年度教育部人文社会科学研究青年基金项目“多路径数学科普的构建及其对少数民族学生数学观的影响研究（20YJC880117）”阶段性成果。】

（责编 金 铃）